Lecția I.3.3 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
A.
\( 8 = \sqrt{64} \) a) \( 4\sqrt{3} = \sqrt{48} \); \( 2\sqrt{15} = \sqrt{60} \Rightarrow 8 \notin [\sqrt{48}, \sqrt{60}] \) b) \( 3\sqrt{7} = \sqrt{63} \); \( 6\sqrt{2} = \sqrt{72} \Rightarrow \sqrt{63} \le \sqrt{64} < \sqrt{72} \Rightarrow 8 \in [3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}) \) Răspuns: b)B.
\( 2x - 1 \le 5 \) \( 2x \le 5 + 1 = 6 \) \( x \le \frac{6}{2} = 3 \) \( x \in (-\infty, 3] \) Răspuns: d)C.
\( A = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \le 3\} \) \( -3 < x \Rightarrow x \in (-3, \dots \) \( x \le 3 \Rightarrow x \in \dots, 3] \) \( A = (-3, 3] \) Răspuns: c)Rezolvare detaliată
Vom rezolva fiecare subpunct în parte, aplicând regulile de încadrare a radicalilor, rezolvarea inecuațiilor și reprezentarea mulțimilor sub formă de interval.
A. Numărul real 8 aparține intervalului
Pasul 1: Transformarea numărului 8 în radical
Pentru a compara numărul 8 cu extremitățile intervalelor date sub formă de radicali, îl scriem ca: \[ 8 = \sqrt{64} \]Pasul 2: Analiza variantelor de răspuns
a) \( [4\sqrt{3}, 2\sqrt{15}] \): \( 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \) \( 2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60} \) Deoarece \( \sqrt{48} < \sqrt{60} < \sqrt{64} \), numărul 8 nu aparține acestui interval. b) \( [3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}) \): \( 3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63} \) \( 6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72} \) Deoarece \( \sqrt{63} \le \sqrt{64} < \sqrt{72} \), rezultă că \( 8 \in [\sqrt{63}, \sqrt{72}) \). Răspuns corect: b).B. Mulțimea soluțiilor inecuației \( 2x - 1 \le 5 \)
Pasul 1: Izolarea termenului cu \( x \)
Adunăm 1 în ambele părți ale inegalității: \[ 2x \le 5 + 1 \] \[ 2x \le 6 \]Pasul 2: Aflarea valorii lui \( x \)
Împărțim prin 2 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează): \[ x \le \frac{6}{2} \] \[ x \le 3 \]Pasul 3: Scrierea soluției sub formă de interval
Valorile mai mici sau egale cu 3 formează intervalul \( (-\infty, 3] \). Răspuns corect: d).C. Scrierea mulțimii \( A = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ și } -3 < x \le 3\} \) sub formă de interval
Pasul 1: Identificarea tipului de paranteze
Semnul \( < \) (strict mai mic) indică o margine deschisă, deci folosim paranteză rotundă \( ( \). Semnul \( \le \) (mai mic sau egal) indică o margine închisă, deci folosim paranteză pătrată \( ] \).Pasul 2: Scrierea intervalului
Mulțimea numerelor reale cuprinse între -3 (exclus) și 3 (inclus) este \( (-3, 3] \). Răspuns corect: c).Rezolvare scurtă:
A. \( 8 = \sqrt{64} \); \( [3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}) = [\sqrt{63}, \sqrt{72}) \). \( \sqrt{63} \le \sqrt{64} < \sqrt{72} \). Răspuns: b)
B. \( 2x - 1 \le 5 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3 \Rightarrow x \in (-\infty, 3] \). Răspuns: d)
C. \( -3 < x \le 3 \Rightarrow x \in (-3, 3] \). Răspuns: c)
