Aplic

Lecția IV.4.3 conține următoarele grupuri de exerciții:

IV.4.3. Aplic IV.4.3. Lucrați În Perechi!

Alege rezolvarea exercițiului:

Fie paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\). Unghiurile diedre formate de fețele alăturate ale paralelipipedului sunt asociate celor \(12\) muchii ale acestuia:

1. Diedrele pe muchiile bazei inferioare:\[ \text{Muchia } AB \Rightarrow \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (ABB'A') \]\[ \text{Muchia } BC \Rightarrow \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (BCC'B') \]\[ \text{Muchia } CD \Rightarrow \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (CDD'C') \]\[ \text{Muchia } DA \Rightarrow \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (ADD'A') \]2. Diedrele pe muchiile bazei superioare:\[ \text{Muchia } A'B' \Rightarrow \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (ABB'A') \]\[ \text{Muchia } B'C' \Rightarrow \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (BCC'B') \]\[ \text{Muchia } C'D' \Rightarrow \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (CDD'C') \]\[ \text{Muchia } D'A' \Rightarrow \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (ADD'A') \]3. Diedrele pe muchiile laterale:\[ \text{Muchia } AA' \Rightarrow \text{Fețele: } (ABB'A') \text{ și } (ADD'A') \]\[ \text{Muchia } BB' \Rightarrow \text{Fețele: } (ABB'A') \text{ și } (BCC'B') \]\[ \text{Muchia } CC' \Rightarrow \text{Fețele: } (BCC'B') \text{ și } (CDD'C') \]\[ \text{Muchia } DD' \Rightarrow \text{Fețele: } (CDD'C') \text{ și } (ADD'A') \]

Pasul 1: Desenarea paralelipipedului dreptunghic
Un paralelipiped dreptunghic are \(12\) muchii și \(6\) fețe dreptunghiulare. Pentru a vizualiza unghiurile diedre, vom realiza un desen standard al corpului geometric \(ABCDA'B'C'D'\).


Desenează un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) în perspectivă oblică.
- Poziționează vârful A în partea stânga-jos a desenului, reprezentând colțul din stânga-față al bazei inferioare.
- Baza inferioară ABCD este reprezentată ca un paralelogram în perspectivă. Punctele sunt dispuse în ordinea A (stânga-față), B (dreapta-față), C (dreapta-spate), D (stânga-spate). Asigură-te că lungimea vizuală a muchiei AB este semnificativ mai mare decât lungimea vizuală a muchiei AD (adâncimea).
- De la fiecare vârf al bazei inferioare, ridică muchii verticale egale: AA', BB', CC', DD'. Aceste muchii definesc înălțimea paralelipipedului.
- Unește vârfurile superioare A', B', C', D' pentru a forma baza superioară, unde A' este direct deasupra lui A, B' deasupra lui B, C' deasupra lui C și D' deasupra lui D. Respectă aceeași ordine a pozițiilor (stânga-față, dreapta-față, dreapta-spate, stânga-spate) pentru A'B'C'D'.
- Muchiile vizibile se desenează cu linii continue de culoare neagră: AB, BC, AA', BB', CC', A'B', B'C'.
- Muchiile nevăzute se desenează cu linii punctate (densely dashed) de culoare gri: AD, DC, DD', D'A', C'D'.
- Etichetează clar toate vârfurile A, B, C, D, A', B', C', D' cu caractere latine, poziționându-le astfel încât să nu obstrucționeze liniile desenului și să fie ușor lizibile.

Pasul 2: Definirea unghiului diedru
Un unghi diedru este o figură geometrică formată din două semieplane (numite fețe) delimitate de aceeași dreaptă comună (numită muchie). 
În cazul unui paralelipiped dreptunghic, fețele adiacente se intersectează de-a lungul muchiilor corpului. Deoarece corpul are \(12\) muchii, se vor forma exact \(12\) unghiuri diedre drepte (cu măsura de \(90^\circ\)), determinate de perechile de fețe vecine care se întâlnesc pe fiecare dintre aceste muchii.

Pasul 3: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei inferioare ABCD
Analizăm cele \(4\) muchii ale bazei inferioare:
Muchia \(AB\): format de fața bazei inferioare \(ABCD\) și fața laterală din față \(ABB'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (ABB'A') \]
Muchia \(BC\): format de fața bazei inferioare \(ABCD\) și fața laterală din dreapta \(BCC'B'\).
  \[ \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (BCC'B') \]
Muchia \(CD\): format de fața bazei inferioare \(ABCD\) și fața laterală din spate \(CDD'C'\).
  \[ \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (CDD'C') \]
Muchia \(DA\): format de fața bazei inferioare \(ABCD\) și fața laterală din stânga \(ADD'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (ABCD) \text{ și } (ADD'A') \]


Pasul 4: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei superioare A'B'C'D'
Analizăm cele \(4\) muchii ale bazei superioare:
Muchia \(A'B'\): format de fața bazei superioare \(A'B'C'D'\) și fața laterală din față \(ABB'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (ABB'A') \]
Muchia \(B'C'\): format de fața bazei superioare \(A'B'C'D'\) și fața laterală din dreapta \(BCC'B'\).
  \[ \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (BCC'B') \]
Muchia \(C'D'\): format de fața bazei superioare \(A'B'C'D'\) și fața laterală din spate \(CDD'C'\).
  \[ \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (CDD'C') \]
Muchia \(D'A'\): format de fața bazei superioare \(A'B'C'D'\) și fața laterală din stânga \(ADD'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (A'B'C'D') \text{ și } (ADD'A') \]


Pasul 5: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile laterale
Analizăm cele \(4\) muchii laterale verticale:
Muchia \(AA'\): format de fața laterală stângă \(ADD'A'\) și fața laterală din față \(ABB'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (ADD'A') \text{ și } (ABB'A') \]
Muchia \(BB'\): format de fața laterală din față \(ABB'A'\) și fața laterală dreaptă \(BCC'B'\).
  \[ \text{Fețele: } (ABB'A') \text{ și } (BCC'B') \]
Muchia \(CC'\): format de fața laterală dreaptă \(BCC'B'\) și fața laterală din spate \(CDD'C'\).
  \[ \text{Fețele: } (BCC'B') \text{ și } (CDD'C') \]
Muchia \(DD'\): format de fața laterală din spate \(CDD'C'\) și fața laterală stângă \(ADD'A'\).
  \[ \text{Fețele: } (CDD'C') \text{ și } (ADD'A') \]

Rezolvare scurtă:

Într-un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) se formează \(12\) unghiuri diedre corespunzătoare celor \(12\) muchii:

- Muchia \(AB\): fețele \((ABCD)\) și \((ABB'A')\)
- Muchia \(BC\): fețele \((ABCD)\) și \((BCC'B')\)
- Muchia \(CD\): fețele \((ABCD)\) și \((CDD'C')\)
- Muchia \(DA\): fețele \((ABCD)\) și \((ADD'A')\)

- Muchia \(A'B'\): fețele \((A'B'C'D')\) și \((ABB'A')\)
- Muchia \(B'C'\): fețele \((A'B'C'D')\) și \((BCC'B')\)
- Muchia \(C'D'\): fețele \((A'B'C'D')\) și \((CDD'C')\)
- Muchia \(D'A'\): fețele \((A'B'C'D')\) și \((ADD'A')\)

- Muchia \(AA'\): fețele \((ABB'A')\) și \((ADD'A')\)
- Muchia \(BB'\): fețele \((ABB'A')\) și \((BCC'B')\)
- Muchia \(CC'\): fețele \((BCC'B')\) și \((CDD'C')\)
- Muchia \(DD'\): fețele \((CDD'C')\) și \((ADD'A')\)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Unghiul diedru: Este reprezentat prin unghiul plan obținut ducând două perpendiculare pe muchia comună din același punct.
Unghiul a două plane: Este unghiul $\le 90^\circ$ format de acestea. Dacă este de $90^\circ$, planele se numesc perpendiculare.
Teorema celor trei perpendiculare: Găsește o perpendiculară pe un plan ($d \perp \alpha$) și o perpendiculară pe o dreaptă din plan din baza primeia ($OA \perp a$). Segmentul care unește un punct de pe prima dreaptă cu punctul de pe a doua dreaptă va fi perpendicular pe dreapta din plan ($PA \perp a$).

Unghiul diedru este figura geometrică formată de două semiplane mărginite de aceeași dreaptă.

Fețele diedrului: cele două semiplane.
Muchia diedrului: dreapta comună care mărginește fețele.

Unghiul plan corespunzător diedrului este unghiul format de două perpendiculare duse pe muchia diedrului, din același punct al muchiei, câte una în fiecare semiplan (față).

$O reprezentare tridimensională în perspectivă a unui unghi diedru. Două semiplane, etichetate 'fața 1' și 'fața 2', se intersectează de-a lungul unei drepte 'd'. Dreapta 'd', muchia diedrului, este desenată orizontal, extinzându-se la stânga și la dreapta. Pe muchia 'd' este marcat un punct 'O' central. Din 'O', pornesc două segmente, 'OA' și 'OB'. Segmentul 'OA' se află pe 'fața 1' și se extinde din 'O' către privitor (în prim-plan), iar segmentul 'OB' se află pe 'fața 2' și se extinde din 'O' în direcția opusă (în fundal). Ambele segmente, 'OA' și 'OB', sunt perpendiculare pe muchia 'd' în punctul 'O'. Perpendicularitatea este indicată vizual prin simboluri standard de unghi drept la 'O', între 'OA' și 'd', și respectiv între 'OB' și 'd'. Punctele 'A', 'O', 'B' și muchia 'd' sunt etichetate clar. Unghiul 'AOB' este evidențiat cu un arc și etichetat (de exemplu, cu o literă grecească sau direct '$\sphericalangle AOB$'), reprezentând unghiul plan corespunzător diedrului.$

\[ \left. \begin{matrix} O \in d \\ OA \perp d \text{ (în prima față)} \\ OB \perp d \text{ (în a doua față)} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \text{măsura diedrului este } m(\sphericalangle AOB) \]

Măsura unui unghi diedru poate varia de la $ 0^\circ $ la $ 180^\circ $. Ea nu depinde de alegerea punctului $ O $ pe muchie.

Două plane concurente formează patru unghiuri diedre (două câte două opuse la vârf și egale).

Unghiul a două plane este definit ca fiind cel mai mic (sau egal) unghi dintre cele patru unghiuri diedre formate.

Prin definiție, măsura unghiului dintre două plane concurente este cuprinsă între $ 0^\circ $ (exclusiv) și $ 90^\circ $ (inclusiv). Unghiul a două plane paralele este de $ 0^\circ $.

Plane perpendiculare: Dacă măsura unghiului dintre două plane este egală cu $ 90^\circ $, atunci cele două plane sunt perpendiculare (se notează $ \alpha \perp \beta $).

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan într-un punct, iar din acel punct ducem o perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci dreapta care unește orice punct de pe prima perpendiculară cu intersecția celorlalte două va fi perpendiculară pe dreapta din plan.

Un plan alfa este reprezentat în perspectivă ca un paralelogram orizontal, transparent și de culoare deschisă. O dreaptă 'a' este trasată în interiorul planului alfa. Un punct 'O' este situat în planul alfa. O dreaptă 'd' este desenată vertical, trecând prin punctul 'O'. Se indică vizual că dreapta 'd' este perpendiculară pe planul alfa în punctul 'O', folosind un simbol de unghi drept la intersecția dintre 'd' și plan. Din punctul 'O', în planul alfa, este trasat un segment 'OA' perpendicular pe dreapta 'a'. Punctul 'A' este situat pe dreapta 'a'. Unghiul drept dintre segmentul 'OA' și dreapta 'a' este marcat la punctul 'A'. Un punct 'P' este situat pe dreapta 'd', deasupra punctului 'O'. Segmentul 'PA' unește punctul 'P' cu punctul 'A'. Unghiul dintre segmentul 'PA' și dreapta 'a' este marcat ca fiind un unghi drept la punctul 'A'.

Scriere matematică: \[ \left. \begin{matrix} d \perp \alpha, \ d \cap \alpha = \{O\} \\ OA \perp a, \ A \in a, \ a \subset \alpha, \ O \notin a \\ P \in d \end{matrix} \right\} \Rightarrow PA \perp a \]

Probleme de antrenament

Ușoară: Fie $ \alpha $ și $ \beta $ două plane care se intersectează după dreapta $ d $. Pe dreapta $ d $ se consideră un punct $ M $. În planul $ \alpha $ se construiește $ MA \perp d $, iar în planul $ \beta $ se construiește $ MB \perp d $. Dacă $ m(\sphericalangle AMB) = 45^\circ $, care este măsura unghiului dintre cele două plane?

Unghiul $ AMB $ este unghiul plan corespunzător diedrului. Deoarece $ 45^\circ \le 90^\circ $, unghiul a două plane este chiar măsura acestui unghi plan.
Răspuns: $ \sphericalangle(\alpha, \beta) = 45^\circ $.

Medie: Fie un pătrat $ ABCD $ de latură $ 5 \text{ cm} $. Pe planul pătratului se ridică perpendiculara $ MA \perp (ABC) $. Demonstrați că $ MB \perp BC $.

Se aplică Teorema celor trei perpendiculare.
Avem:
1. $ MA \perp (ABC) $ (din ipoteză)
2. $ AB \perp BC $ (deoarece $ ABCD $ este pătrat)
3. $ BC \subset (ABC) $ și $ AB \subset (ABC) $
Din cele trei relații, conform Teoremei celor trei perpendiculare, rezultă direct că $ MB \perp BC $.

Dificilă: Fie $ VABCD $ o piramidă patrulateră regulată cu baza $ ABCD $ și vârful $ V $. Fie $ O $ centrul bazei $ ABCD $, iar $ M $ mijlocul laturii $ BC $. Identificați unghiul plan corespunzător unghiului diedru format de planul lateral $ (VBC) $ și planul bazei $ (ABC) $.

Muchia diedrului (dreapta de intersecție a celor două plane) este $ BC $.
În planul bazei $ (ABC) $, $ OM $ este apotema bazei, deci $ OM \perp BC $.
În planul lateral $ (VBC) $, triunghiul $ VBC $ este isoscel cu baza $ BC $. Deoarece $ M $ este mijlocul lui $ BC $, mediana $ VM $ este și înălțime, deci $ VM \perp BC $.
Cum $ BC $ este muchia diedrului, iar din punctul $ M $ aparținând muchiei avem $ OM \perp BC $ (în planul bazei) și $ VM \perp BC $ (în planul lateral), rezultă că unghiul plan corespunzător diedrului format de cele două plane este $ \sphericalangle VMO $.

IV.4.3. Aplic

Lecția IV.4.3 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

1. Diedrele pe muchiile bazei inferioare:

2. Diedrele pe muchiile bazei superioare:

3. Diedrele pe muchiile laterale:

Pasul 1: Desenarea paralelipipedului dreptunghic

Pasul 2: Definirea unghiului diedru

Pasul 3: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei inferioare ABCD

Pasul 4: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei superioare A'B'C'D'

Pasul 5: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile laterale

Rezolvare scurtă:

Cele mai importante aspecte ale lecției

Probleme de antrenament

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Lecția IV.4.3 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

1. Diedrele pe muchiile bazei inferioare:

2. Diedrele pe muchiile bazei superioare:

3. Diedrele pe muchiile laterale:

Rezolvare detaliată

Pasul 1: Desenarea paralelipipedului dreptunghic

Pasul 2: Definirea unghiului diedru

Pasul 3: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei inferioare ABCD

Pasul 4: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile bazei superioare A'B'C'D'

Pasul 5: Identificarea unghiurilor diedre pe muchiile laterale

Rezolvare scurtă:

Probleme de antrenament

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: