I.3.1. Investigație

Indicele de masă corporală (IMC) este un indicator utilizat pentru clasificarea stării de greutate, calculat prin formula: \[ \text{IMC} = \frac{\text{masa (kg)}}{\text{înălțime (m)}^2} \]

a) Scrierea sub formă de intervale

Pe baza pragurilor menționate în text, definim mulțimile pentru fiecare categorie:

Pasul 1: Subponderal

Textul precizează că IMC este mai mic decât \( 18,5 \). Deoarece masa și înălțimea sunt pozitive, IMC > 0. \[ I_{subponderal} = (0, 18,5) \]

Pasul 2: Normoponderal

Textul precizează că IMC este între \( 18,5 \) (inclusiv) și \( 25 \) (exclusiv). \[ I_{normoponderal} = [18,5, 25) \]

Pasul 3: Supraponderal

Textul precizează că IMC este între \( 25 \) (inclusiv) și \( 30 \) (exclusiv). \[ I_{supraponderal} = [25, 30) \]

Pasul 4: Obez

Textul precizează că IMC este mai mare sau egal cu \( 30 \). \[ I_{obez} = [30, +\infty) \]

b) Analiza numerelor reale din intervale

Da, există valori matematice în aceste intervale care sunt biologic imposibile. De exemplu, în intervalul \( (0, 18,5) \), o valoare precum \( 0,001 \) ar însemna o masă extrem de mică (câteva grame la un adult), ceea ce este incompatibil cu viața. De asemenea, în intervalul \( [30, +\infty) \), valori precum \( 500 \) sunt teoretic imposibile pentru ființa umană.

c) Completarea tabelului

Vom utiliza formula \( \text{IMC} = \frac{M}{h^2} \) și derivatele sale: \( M = \text{IMC} \cdot h^2 \) și \( h = \sqrt{\frac{M}{\text{IMC}}} \).

Pasul 1: Coloana 1

\( M = 60 \), \( h = 1,60 \). \( h^2 = 2,56 \). \( \text{IMC} = 60 : 2,56 = 23,4375 \).

Pasul 2: Coloana 2

\( M = 80 \), \( h = 1,75 \). \( h^2 = 3,0625 \). \( \text{IMC} = 80 : 3,0625 \approx 26,12 \).

Pasul 3: Coloana 3

\( M = 45 \), \( h = 1,50 \). \( h^2 = 2,25 \). \( \text{IMC} = 45 : 2,25 = 20 \).

Pasul 4: Coloana 4

\( M = 85 \), \( h = 1,65 \). \( h^2 = 2,7225 \). \( \text{IMC} = 85 : 2,7225 \approx 31,22 \).

Pasul 5: Coloana 5

\( \text{IMC} = 25 \), \( h = 1,80 \). \( h^2 = 3,24 \). \( M = 25 \cdot 3,24 = 81 \text{ kg} \).

Pasul 6: Coloana 6

\( \text{IMC} = 30 \), \( h = 1,60 \). \( h^2 = 2,56 \). \( M = 30 \cdot 2,56 = 76,8 \text{ kg} \).

Pasul 7: Coloana 7

\( \text{IMC} = 24 \), \( M = 54 \). \( h^2 = 54 : 24 = 2,25 \Rightarrow h = \sqrt{2,25} = 1,50 \text{ m} \).

Pasul 8: Coloana 8

\( \text{IMC} = 20 \), \( M = 51,2 \). \( h^2 = 51,2 : 20 = 2,56 \Rightarrow h = \sqrt{2,56} = 1,60 \text{ m} \). Rezultatul sub formă de tabel: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Înălțime (m)} & 1,60 & 1,75 & 1,50 & 1,65 & 1,80 & 1,60 & 1,50 & 1,60 \\ \hline \text{Masa (kg)} & 60 & 80 & 45 & 85 & 81 & 76,8 & 54 & 51,2 \\ \hline \text{IMC} & 23,44 & 26,12 & 20 & 31,22 & 25 & 30 & 24 & 20 \\ \hline \end{array} \]

d) Intervalul masei pentru h = 1,6 m (normoponderal)

O persoană este normoponderală dacă \( 18,5 \leq \text{IMC} < 25 \).

Pasul 1: Înlocuirea formulei în inegalitate

\( 18,5 \leq \frac{M}{1,6^2} < 25 \) \( 18,5 \leq \frac{M}{2,56} < 25 \)

Pasul 2: Izolarea masei M

Înmulțim ambii membri cu \( 2,56 \): \( 18,5 \cdot 2,56 \leq M < 25 \cdot 2,56 \) \( 47,36 \leq M < 64 \) Masa trebuie să aparțină intervalului \( [47,36, 64) \text{ kg} \).

e) Intervalul masei pentru înălțimea proprie

Presupunem o înălțime de \( 1,70 \) m.

Pasul 1: Calcularea pătratului înălțimii

\( h^2 = 1,70^2 = 2,89 \)

Pasul 2: Calcularea limitelor masei

\( M_{min} = 18,5 \cdot 2,89 = 53,465 \text{ kg} \) \( M_{max} = 25 \cdot 2,89 = 72,25 \text{ kg} \) Pentru \( h = 1,70 \text{ m} \), intervalul este \( [53,465, 72,25) \text{ kg} \).

a) \( (0, 18,5); [18,5, 25); [25, 30); [30, +\infty) \) b) Da, \( \text{IMC} = 1 \) (biologic imposibil). c) IMC: 23,44; 26,12; 20; 31,22. Mase: 81 kg; 76,8 kg. Înălțimi: 1,50 m; 1,60 m. d) \( 18,5 \cdot 1,6^2 \leq M < 25 \cdot 1,6^2 \Rightarrow 47,36 \leq M < 64 \Rightarrow M \in [47,36, 64) \). e) Pentru \( h=1,70 \): \( M \in [18,5 \cdot 1,7^2, 25 \cdot 1,7^2) = [53,465, 72,25) \).