IV.4.3. Lucrați În Perechi!

Înțelegerea noțiunii de axă de simetrie a unui corp geometric

Conform definiției din manual, o dreaptă \( d \) este axă de simetrie pentru un corp geometric dacă simetricul oricărui punct al corpului față de dreapta \( d \) aparține de asemenea corpului respectiv. În cazul unei prisme patrulatere regulate, bazele sunt pătrate congruente, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Construcția geometrică

Fie \( ABCDA'B'C'D' \) o prismă patrulateră regulată cu bazele pătratele \( ABCD \) și \( A'B'C'D' \). Muchiile laterale sunt \( AA', BB', CC', DD' \). Considerăm două muchii laterale opuse, de exemplu \( AA' \) și \( CC' \). Fie \( M \) mijlocul muchiei \( AA' \) și \( N \) mijlocul muchiei \( CC' \). Dreapta din enunț este dreapta \( MN \).
Desenează o prismă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' în perspectivă 3D. Baza de jos ABCD este un pătrat, iar baza de sus A'B'C'D' este un pătrat congruent, situat direct deasupra bazei ABCD. Poziționează vârful A în partea din față-stânga-jos a desenului, astfel încât baza ABCD să fie vizibilă. Etichetează toate vârfurile: A, B, C, D pentru baza de jos și A', B', C', D' pentru baza de sus, urmând o ordine antiorară pentru fiecare bază privită de sus. Muchiile invizibile (cum ar fi AD, CD, DD', A'D', C'D') trebuie desenate cu linii întrerupte. Toate celelalte muchii vizibile se desenează cu linii continue. Notează mijlocul muchiei laterale AA' cu M și mijlocul muchiei laterale opuse CC' cu N. Trasează segmentul MN cu o linie continuă, distinctă, de culoare roșie, care trece vizibil prin interiorul prismei, unind punctele M și N.

Pasul 1: Determinarea proprietăților segmentului MN

Deoarece \( AA' \parallel CC' \) și \( AA' = CC' \), patrulaterul \( ACC'A' \) este un dreptunghi (fiind secțiune diagonală în prismă). Punctele \( M \) și \( N \) fiind mijloacele laturilor opuse \( AA' \) și \( CC' \), rezultă că segmentul \( MN \) este paralel cu bazele prismei și trece prin centrul de simetrie al dreptunghiului \( ACC'A' \). Mai mult, linia \( MN \) este perpendiculară pe planele fețelor laterale care conțin muchiile \( AA' \) și \( CC' \). De asemenea, proiecțiile punctelor \( M \) și \( N \) pe planele bazelor sunt chiar centrele bazelor \( O \) (centrul pătratului \( ABCD \)) și \( O' \) (centrul pătratului \( A'B'C'D' \)). Astfel, mijlocul segmentului \( MN \), notat cu \( I \), coincide cu mijlocul segmentului \( OO' \), care este centrul de simetrie al prismei.

Pasul 2: Demonstrarea simetriei punctelor prismei față de dreapta MN

Pentru a arăta că dreapta \( MN \) este axă de simetrie, trebuie să demonstrăm că pentru orice punct \( P \) din prismă, simetricul său \( P' \) față de dreapta \( MN \) aparține prismei. Fie \( P \) un punct oarecare al prismei. Putem raporta poziția lui \( P \) la planele de simetrie ale prismei:

• O rotație de \( 180^\circ \) în spațiu în jurul dreptei \( MN \) conservă poziția prismei deoarece:
• Dreapta \( MN \) este perpendiculară pe axa verticală \( OO' \) (care unește centrele bazelor) și o intersectează în mijlocul ei.
• Dreapta \( MN \) este paralelă cu diagonalele bazelor \( AC \) și \( A'C' \).

Dacă efectuăm o simetrie față de dreapta \( MN \): 1. Vârful \( A \) (aflat la o distanță egală de \( MN \) ca și \( C' \)) se va proiecta și se va reflecta în vârful \( C' \). 2. Vârful \( A' \) se transformă în \( C \). 3. Vârful \( B \) se transformă în \( D' \), iar \( B' \) se transformă în \( D \). Deoarece toate vârfurile prismei se transformă în alte vârfuri ale aceleiași prisme prin simetria față de dreapta \( MN \), înseamnă că întreaga structură a prismei (muchii, fețe și interior) este conservată. Prin urmare, dreapta \( MN \) este o axă de simetrie a prismei patrulatere regulate.

\[ \text{Fie } M \in AA', N \in CC' \text{ mijloacele muchiilor.} \] \[ ACC'A' \text{ dreptunghi} \Rightarrow MN \parallel AC \parallel A'C'. \] \[ \text{Fie } S_{MN} \text{ simetria față de dreapta } MN: \] \[ S_{MN}(\{A, B, C, D, A', B', C', D'\}) = \{C', D', A', B', C, D, A, B\}. \] \[ \text{Vârfurile prismei sunt conservate } \Rightarrow MN \text{ este axă de simetrie.} \]