I.3. Aplic

Pentru a determina valoarea de adevăr a fiecărei propoziții, vom analiza inecuațiile date în mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)), aplicând regulile de rezolvare și proprietățile intervalelor.

a) Numărul real -1 este soluție a inecuației \( 2x - 2 < -2, x \in \mathbb{R} \)

Pasul 1: Substituția valorii în inecuație

Înlocuim \( x \) cu valoarea \( -1 \) în expresia inecuației: \[ 2 \cdot (-1) - 2 < -2 \]

Pasul 2: Efectuarea calculelor

Calculăm membrul stâng: \[ -2 - 2 < -2 \] \[ -4 < -2 \]

Pasul 3: Evaluarea inegalității

Deoarece \( -4 \) se află la stânga lui \( -2 \) pe axa numerelor, inegalitatea \( -4 < -2 \) este adevărată. Deci, \( -1 \) este o soluție. Răspuns: A

b) Mulțimea soluțiilor inecuației \( -x > 0, x \in \mathbb{R} \) este \( \{..., -3, -2, -1\} \)

Pasul 1: Rezolvarea inecuației în \( \mathbb{R} \)

Avem inecuația \( -x > 0 \). Pentru a-l izola pe \( x \), înmulțim ambii membri cu \( -1 \). La înmulțirea cu un număr negativ, schimbăm sensul inegalității: \[ -x > 0 \quad | \cdot (-1) \] \[ x < 0 \]

Pasul 2: Identificarea mulțimii soluțiilor

În mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)), soluția \( x < 0 \) reprezintă intervalul \( (-\infty, 0) \). Mulțimea \( \{..., -3, -2, -1\} \) dată în enunț conține doar numere întregi negative (\( \mathbb{Z}_-^* \)). Deoarece inecuația este definită pe \( \mathbb{R} \), ea include și numere precum \( -0,5 \), care nu se regăsesc în mulțimea prin enumerare. Răspuns: F

c) Mulțimea soluțiilor inecuației \( (-2) \cdot x \ge -4, x \in \mathbb{R} \) este \( [2, +\infty) \)

Pasul 1: Izolarea necunoscutei

Avem inecuația \( -2x \ge -4 \). Împărțim ambii membri la \( -2 \). Fiind un număr negativ, schimbăm sensul inegalității de la \( \ge \) la \( \le \): \[ x \le \frac{-4}{-2} \] \[ x \le 2 \]

Pasul 2: Scrierea soluției sub formă de interval

Condiția \( x \le 2 \) corespunde intervalului numerelor reale de la minus infinit până la 2, inclusiv: \[ S = (-\infty, 2] \] Enunțul propune intervalul \( [2, +\infty) \), care reprezintă numerele mai mari sau egale cu 2. Cele două mulțimi sunt diferite. Răspuns: F

a) \( 2(-1) - 2 < -2 \implies -4 < -2 \) (A). b) \( -x > 0 \implies x < 0 \implies S = (-\infty, 0) \neq \{..., -1\} \) (F). c) \( -2x \ge -4 \implies x \le 2 \implies S = (-\infty, 2] \neq [2, \infty) \) (F).