Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru orice problemă legată de sfera de rază \( R \), amintește-ți elementele de bază:
- Aria sferei: \( \mathcal{A} = 4\pi R^2 \)
- Volumul sferei: \( \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \)
- Secțiuni plane: Intersecția cu un plan este un cerc. Folosește triunghiul dreptunghic (\( R^2 = r^2 + d^2 \)) pentru a lega raza sferei de raza cercului de secțiune și de distanța planului față de centru.
Sfera este corpul de rotație obținut prin rotirea unui cerc în jurul unuia dintre diametrele sale. Centrul sferei coincide cu centrul cercului, iar raza sferei este egală cu raza cercului.
Matematic, sfera de centru $O$ și rază $R$ este mulțimea punctelor aflate exact la distanța $R$ de centru: \(\mathcal{S}(O, R) = \{M \mid OM = R\}\).
Corpul sferic (bila) reprezintă întregul spațiu delimitat de sferă, inclusiv interiorul acesteia. Este mulțimea punctelor aflate la o distanță mai mică sau egală cu $R$ față de centru.
Bila se notează: \(\mathcal{B}(O, R) = \{M \mid OM \le R\}\).
Pentru o sferă de rază \( R \):
Aria sferei: \[ \mathcal{A} = 4\pi R^2 \] Volumul corpului sferic: \[ \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \]
Aria sferei: \[ \mathcal{A} = 4\pi R^2 \] Volumul corpului sferic: \[ \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} \]
Dacă o sferă are raza \( R = 3 \text{ cm} \):
\( \mathcal{A} = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi \text{ cm}^2 \)
\( \mathcal{V} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 3^3}{3} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 27}{3} = \frac{108\pi}{3} = 36\pi \text{ cm}^3 \)
\( \mathcal{A} = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi \text{ cm}^2 \)
\( \mathcal{V} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 3^3}{3} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 27}{3} = \frac{108\pi}{3} = 36\pi \text{ cm}^3 \)
Aria unei sfere este egală cu \( 64\pi \text{ cm}^2 \). Află raza sferei.
Aplicăm formula ariei: \( 4\pi R^2 = 64\pi \).
Împărțim prin \( 4\pi \): \( R^2 = 16 \).
Deoarece raza este o lungime pozitivă, obținem \( R = 4 \text{ cm} \).
Împărțim prin \( 4\pi \): \( R^2 = 16 \).
Deoarece raza este o lungime pozitivă, obținem \( R = 4 \text{ cm} \).
Intersecția dintre o sferă și un plan este întotdeauna un cerc (sau un punct, dacă planul este tangent). Când planul trece prin centrul sferei, secțiunea se numește cerc mare al sferei.
Pentru a rezolva problemele cu secțiuni, se formează un triunghi dreptunghic folosind:
- \( R \) = raza sferei (ipotenuza)
- \( r \) = raza cercului de secțiune (catetă)
- \( d \) = distanța de la centrul sferei la planul de secțiune (catetă)
Exerciții
Ușoară: O sferă are raza egală cu \( 6 \text{ cm} \). Calculează aria și volumul sferei.
Folosim formulele directe, înlocuind \( R = 6 \text{ cm} \):
Aria: \( \mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2 \).
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 6^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 216}{3} = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3 \).
Aria: \( \mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2 \).
Volumul: \( \mathcal{V} = \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 6^3}{3} = \frac{4\pi \cdot 216}{3} = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3 \).
Medie: O sferă cu raza de \( 15 \text{ cm} \) este secționată cu un plan. Secțiunea obținută este un cerc cu lungimea de \( 24\pi \text{ cm} \). Determină distanța de la centrul sferei la planul de secțiune.
1. Aflăm raza cercului de secțiune (\( r \)) folosind formula lungimii cercului (\( L = 2\pi r \)):
\( 2\pi r = 24\pi \implies r = 12 \text{ cm} \).
2. Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format din raza sferei (\( R = 15 \)), raza secțiunii (\( r = 12 \)) și distanța căutată (\( d \)):
\( R^2 = r^2 + d^2 \)
\( 15^2 = 12^2 + d^2 \)
\( 225 = 144 + d^2 \implies d^2 = 81 \)
\( d = 9 \text{ cm} \).
\( 2\pi r = 24\pi \implies r = 12 \text{ cm} \).
2. Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format din raza sferei (\( R = 15 \)), raza secțiunii (\( r = 12 \)) și distanța căutată (\( d \)):
\( R^2 = r^2 + d^2 \)
\( 15^2 = 12^2 + d^2 \)
\( 225 = 144 + d^2 \implies d^2 = 81 \)
\( d = 9 \text{ cm} \).
Dificilă: Opt bile metalice identice în formă de sferă, fiecare având aria de \( 16\pi \text{ cm}^2 \), sunt topite. Din tot metalul obținut se confecționează o singură bilă în formă de sferă. Care este raza noii bile?
1. Aflăm raza unei bile mici (\( r \)):
\( \mathcal{A} = 4\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 4 \implies r = 2 \text{ cm} \).
2. Calculăm volumul unei bile mici:
\( \mathcal{V}_{\text{mică}} = \frac{4\pi \cdot 2^3}{3} = \frac{32\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
3. Aflăm volumul total al celor 8 bile (care va fi volumul noii bile mari):
\( \mathcal{V}_{\text{total}} = 8 \cdot \frac{32\pi}{3} = \frac{256\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
4. Aflăm raza noii bile (\( R \)):
\( \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{256\pi}{3} \)
Înmulțim cu 3 și împărțim la \( 4\pi \):
\( R^3 = \frac{256}{4} = 64 \)
\( R^3 = 4^3 \implies R = 4 \text{ cm} \).
\( \mathcal{A} = 4\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 4 \implies r = 2 \text{ cm} \).
2. Calculăm volumul unei bile mici:
\( \mathcal{V}_{\text{mică}} = \frac{4\pi \cdot 2^3}{3} = \frac{32\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
3. Aflăm volumul total al celor 8 bile (care va fi volumul noii bile mari):
\( \mathcal{V}_{\text{total}} = 8 \cdot \frac{32\pi}{3} = \frac{256\pi}{3} \text{ cm}^3 \).
4. Aflăm raza noii bile (\( R \)):
\( \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{256\pi}{3} \)
Înmulțim cu 3 și împărțim la \( 4\pi \):
\( R^3 = \frac{256}{4} = 64 \)
\( R^3 = 4^3 \implies R = 4 \text{ cm} \).
