I.1. Exersează

a) Mulțimi definite prin puteri și divizori

Pasul 1: Analiza elementelor și identificarea proprietăților

Observăm elementele din diagrame: - \( A = \{1, 2, 3, 6\} \). Toate aceste numere sunt divizori naturali ai numărului 6. - \( B = \{1, 2, 4, 8, 16\} \). Acestea sunt puteri ale lui 2, de forma \( 2^n \), unde \( n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \). - \( A \cap B = \{1, 2\} \). Acestea sunt divizorii comuni sau puterile lui 2 mai mici sau egale cu 2. - \( A \setminus B = \{3, 6\} \). Divizorii lui 6 care nu sunt puteri ale lui 2. - \( B \setminus A = \{4, 8, 16\} \). Puterile lui 2 mai mari decât 2 și mai mici sau egale cu 16. Proprietățile caracteristice sunt: \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este divizor al lui } 6\} \) \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x = 2^n, n \in \mathbb{N}, n \leq 4\} \) \( A \cap B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este divizor al lui 2}\} \) \( A \setminus B = \{x \in A \mid x \text{ este multiplu de 3}\} \) \( B \setminus A = \{x \in B \mid x > 2\} \)

b) Mulțimi de litere (Literele cuvintelor)

Pasul 2: Identificarea cuvintelor sursă

- \( A = \{a, r, t, \breve{a}\} \). Literele formează cuvântul „artă”. - \( B = \{a, c, e, r, t\} \). Literele formează cuvântul „certă”. - \( A \cap B = \{a, r, t\} \). Literele comune. - \( A \setminus B = \{\breve{a}\} \). - \( B \setminus A = \{c, e\} \). Proprietățile caracteristice sunt: \( A = \{x \mid x \text{ este literă a cuvântului „artă”}\} \) \( B = \{x \mid x \text{ este literă a cuvântului „certă”}\} \) \( A \cap B = \{x \mid x \text{ este literă comună cuvintelor „artă” și „certă”}\} \) \( A \setminus B = \{x \in A \mid x \text{ este vocala „ă”}\} \) \( B \setminus A = \{x \in B \mid x \text{ este literă a cuvântului „ce”}\} \)

c) Numere prime și numere pare

Pasul 3: Analiza naturii numerelor

- \( A = \{2, 3, 5, 7, 11\} \). Acestea sunt primele 5 numere prime. - \( B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \). Acestea sunt numere pare pozitive mai mici sau egale cu 12. - \( A \cap B = \{2\} \). Singurul număr prim par. - \( A \setminus B = \{3, 5, 7, 11\} \). Numere prime impare mai mici decât 12. - \( B \setminus A = \{4, 6, 8, 10, 12\} \). Numere pare compuse mai mici sau egale cu 12. Proprietățile caracteristice sunt: \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este număr prim}, x \leq 11\} \) \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este număr par}, 2 \leq x \leq 12\} \) \( A \cap B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este singurul număr prim par}\} \) \( A \setminus B = \{x \in A \mid x \text{ este număr impar}\} \) \( B \setminus A = \{x \in B \mid x > 2\} \)

d) Puteri și multipli

Pasul 4: Relații matematice între elemente

- \( A = \{1, 2, 4\} \). Puterile lui 2 mai mici sau egale cu 4. - \( B = \{4, 8, 12, 16, 20\} \). Multiplii lui 4 mai mici sau egali cu 20. - \( A \cap B = \{4\} \). - \( A \setminus B = \{1, 2\} \). Puterile lui 2 mai mici decât 4. - \( B \setminus A = \{8, 12, 16, 20\} \). Multiplii lui 4 strict mai mari decât 4 și \(\leq 20\). Proprietățile caracteristice sunt: \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x = 2^n, n \in \{0, 1, 2\}\} \) \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este multiplu de 4}, 4 \leq x \leq 20\} \) \( A \cap B = \{x \in \mathbb{N} \mid x = 2^2 = 4 \cdot 1\} \) \( A \setminus B = \{x \in A \mid x < 4\} \) \( B \setminus A = \{x \in B \mid x > 4\} \)

a) \( A=\{x \in \mathbb{N} | x|6\} \), \( B=\{x=2^n | n \leq 4\} \), \( A \cap B=\{1, 2\} \), \( A \setminus B=\{3, 6\} \), \( B \setminus A=\{4, 8, 16\} \) b) \( A=\{\text{litere „artă”}\} \), \( B=\{\text{litere „certă”}\} \), \( A \cap B=\{a, r, t\} \), \( A \setminus B=\{\breve{a}\} \), \( B \setminus A=\{c, e\} \) c) \( A=\{x \text{ prim} | x \leq 11\} \), \( B=\{x \text{ par} | 2 \leq x \leq 12\} \), \( A \cap B=\{2\} \), \( A \setminus B=\{3, 5, 7, 11\} \), \( B \setminus A=\{4, 6, 8, 10, 12\} \) d) \( A=\{x=2^n | n \leq 2\} \), \( B=\{x=4k | 1 \leq k \leq 5\} \), \( A \cap B=\{4\} \), \( A \setminus B=\{1, 2\} \), \( B \setminus A=\{8, 12, 16, 20\} \)