V.5.1. Exerciții Recapitulative

Pasul 1: Schițarea figurii și identificarea elementelor bazei

Desenăm piramida triunghiulară regulată \( VABC \) cu vârful \( V \) și baza triunghiul echilateral \( ABC \). Centrul bazei este punctul \( O \), iar \( VO \) este înălțimea piramidei.
O piramidă triunghiulară regulată VABC, cu vârful V orientat în sus și baza triunghiul echilateral ABC. Pentru bază, vârful A este poziționat în stânga-jos, vârful B în dreapta-jos (creând muchia AB ca segment frontal vizibil), iar vârful C este în spate, astfel încât muchiile bazei AC și BC sunt desenate cu linii întrerupte. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Segmentul AM, reprezentând înălțimea bazei triunghiului ABC, este desenat cu linie întreruptă. Pe segmentul AM se află punctul O, centrul bazei, respectând proporția AM = 3 * OM. Segmentul VO, înălțimea piramidei, este desenat vertical și cu linie întreruptă, indicând perpendicularitatea pe planul bazei. Segmentul VM reprezintă apotema piramidei. Muchiile laterale VA și VB sunt vizibile, iar muchia VC este desenată cu linie întreruptă. Punctul P este marcat ca fiind mijlocul înălțimii VO. Din punctul P se duce o perpendiculară PQ pe muchia laterală VA, cu punctul Q situat pe segmentul VA. Segmentul PQ, desenat ca o linie continuă, reprezintă distanța căutată și formează un unghi drept în Q cu VA (\(\measuredangle PQV = 90^\circ\)). Deoarece \( ABC \) este un triunghi echilateral cu latura \( l = AB = 6\text{ cm} \), segmentul \( AM \) este înălțime și mediană în \( \triangle ABC \). Formula pentru lungimea înălțimii unui triunghi echilateral este: \[ AM = \frac{l\sqrt{3}}{2} \] Înlocuind \( l = 6\text{ cm} \), obținem: \[ AM = \frac{\cancel{6}^3\sqrt{3}}{\cancel{2}_1} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \] Punctul \( O \) aparține segmentului \( AM \) astfel încât \( AM = 3 \cdot OM \). Această relație înseamnă: \[ OM = \frac{AM}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\text{ cm} \] Deoarece \( O \) se află la o treime de bază pe mediana \( AM \), rezultă că \( O \) este într-adevăr centrul bazei \( ABC \), iar \( VO \perp (ABC) \). Distanța \( AO \) se calculează astfel: \[ AO = AM - OM = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm} \]

a) Arată că aria totală a piramidei VABC este egală cu \( 36\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)

Pasul 2: Calcularea ariei bazei și a ariei laterale

Baza piramidei este triunghiul echilateral \( ABC \) cu latura \( l = 6\text{ cm} \). Aria bazei este: \[ \mathcal{A}_{bază} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} \] \[ \mathcal{A}_{bază} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{36}^9\sqrt{3}}{\cancel{4}_1} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Aria laterală a piramidei se determină folosind formula: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\mathcal{P}_{bază} \cdot a_p}{2} \] unde \( \mathcal{P}_{bază} \) este perimetrul bazei, iar \( a_p = VM = 3\sqrt{3}\text{ cm} \) este apotema piramidei. Perimetrul bazei este: \[ \mathcal{P}_{bază} = 3 \cdot l = 3 \cdot 6 = 18\text{ cm} \] Înlocuim valorile în formula ariei laterale: \[ \mathcal{A}_{lat} = \frac{\cancel{18}^9 \cdot 3\sqrt{3}}{\cancel{2}_1} = 27\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]

Pasul 3: Calcularea ariei totale

Aria totală este suma dintre aria laterală și aria bazei: \[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{bază} + \mathcal{A}_{lat} \] \[ \mathcal{A}_{tot} = 9\sqrt{3} + 27\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2 \] Astfel, am demonstrat că aria totală a piramidei este \( 36\sqrt{3}\text{ cm}^2 \).

b) Arată că volumul piramidei VABC este egal cu \( 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \)

Pasul 4: Calcularea înălțimii piramidei \( VO \)

Deoarece \( VO \perp (ABC) \) și \( OM \subset (ABC) \), rezultă că \( VO \perp OM \), deci triunghiul \( \triangle VOM \) este dreptunghic în \( O \). Aplicăm teorema lui Pitagora în \( \triangle VOM \): \[ VO^2 + OM^2 = VM^2 \] \[ VO^2 + (\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 \] \[ VO^2 + 3 = 27 \] \[ VO^2 = 24 \Rightarrow VO = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\text{ cm} \]

Pasul 5: Calcularea volumului

Formula pentru volumul piramidei este: \[ \mathcal{V} = \frac{\mathcal{A}_{bază} \cdot VO}{3} \] Înlocuind valorile cunoscute, obținem: \[ \mathcal{V} = \frac{\cancel{9}^3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{\cancel{3}_1} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18}\text{ cm}^3 \] Simplificăm radicalul \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \): \[ \mathcal{V} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\text{ cm}^3 \] Astfel, volumul piramidei este \( 18\sqrt{2}\text{ cm}^3 \).

c) Demonstrează că distanța de la mijlocul segmentului VO la dreapta VA este mai mică decât \( 1,5 \text{ cm} \)

Pasul 6: Calcularea muchiei laterale \( VA \)

Deoarece \( VO \perp (ABC) \) și \( AO \subset (ABC) \), triunghiul \( \triangle VAO \) este dreptunghic în \( O \). Aplicăm teorema lui Pitagora în \( \triangle VAO \): \[ VA^2 = VO^2 + AO^2 \] Am calculat anterior \( VO^2 = 24 \) și \( AO = 2\sqrt{3}\text{ cm} \): \[ VA^2 = 24 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36 \] \[ VA = \sqrt{36} = 6\text{ cm} \]

Pasul 7: Determinarea distanței de la mijlocul lui \( VO \) la \( VA \)

Fie \( P \) mijlocul segmentului \( VO \). Atunci: \[ VP = PO = \frac{VO}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}\text{ cm} \] Construim perpendiculara din \( P \) pe dreapta \( VA \), adică \( PQ \perp VA \) cu \( Q \in VA \). Distanța căutată este lungimea segmentului \( PQ \). În triunghiurile dreptunghice \( \triangle VQP \) (\( \measuredangle VQP = 90^\circ \)) și \( \triangle VOA \) (\( \measuredangle VOA = 90^\circ \)): - Unghiul \( \measuredangle QVP \) (sau \( \measuredangle OVA \)) este comun. Conform cazului de asemănare U.U. (Unghi-Unghi), avem: \[ \triangle VQP \sim \triangle VOA \] Scriem rapoartele de asemănare: \[ \frac{PQ}{AO} = \frac{VP}{VA} \] De aici, determinăm \( PQ \): \[ PQ = \frac{VP \cdot AO}{VA} \] Înlocuim valorile cunoscute: \[ PQ = \frac{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{18}}{6} = \frac{\cancel{6}^1\sqrt{2}}{\cancel{6}_1} = \sqrt{2}\text{ cm} \]

Pasul 8: Compararea distanței cu valoarea de \( 1,5\text{ cm} \)

Avem de demonstrat că: \[ \sqrt{2} < 1,5 \] Ridicăm ambele numere pozitive la pătrat: \[ (\sqrt{2})^2 = 2 \] \[ 1,5^2 = 2,25 \] Deoarece \( 2 < 2,25 \), rezultă că \( \sqrt{2} < 1,5 \). Prin urmare, distanța de la mijlocul segmentului \( VO \) la dreapta \( VA \) este mai mică decât \( 1,5\text{ cm} \).

Fie \( O \) centrul bazei \( ABC \). Atunci \( AM = 3\sqrt{3}\text{ cm} \), \( OM = \sqrt{3}\text{ cm} \), \( AO = 2\sqrt{3}\text{ cm} \). a) \( \mathcal{A}_{tot} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} + \frac{18 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} + 27\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2 \). b) In \( \triangle VOM \), \( VO = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}\text{ cm} \). \( \mathcal{V} = \frac{9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{3} = 18\sqrt{2}\text{ cm}^3 \). c) In \( \triangle VAO \), \( VA = \sqrt{24+12}=6\text{ cm} \). Fie \( P \) mijlocul \( VO \), \( VP = \sqrt{6}\text{ cm} \) si \( PQ \perp VA \). \( \triangle VQP \sim \triangle VOA \Rightarrow PQ = \frac{VP \cdot AO}{VA} = \frac{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}}{6} = \sqrt{2}\text{ cm} \). Cum \( \sqrt{2} < 1,5 \Rightarrow PQ < 1,5\text{ cm} \).