Lecția 0.2 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
Notăm \( x \) = preț caiet dictando și \( y \) = preț caiet velină.
a)
Presupunem \( x = 11 \).
Înlocuim în ecuația Marei: \( 7 \cdot 11 + 2y = 77 \)
\( 77 + 2y = 77 \)
\( 2y = \cancel{77} - \cancel{77} = 0 \)
\( y = 0 \), imposibil.
b)
\( \begin{cases} 7x + 2y = 77 \quad | \cdot 3 \\ 8x + 3y = 93 \quad | \cdot (-2) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 21x + 6y = 231 \\ -16x - 6y = -186 \end{cases} \)
Adunând ecuațiile:
\( 21x - 16x + \cancel{6y} - \cancel{6y} = 231 - 186 \)
\( 5x = 45 \)
\( x = \frac{45}{5} = 9 \text{ lei} \)
Înlocuim în prima ecuație:
\( 7 \cdot 9 + 2y = 77 \)
\( 63 + 2y = 77 \)
\( 2y = 77 - 63 = 14 \)
\( y = \frac{14}{2} = 7 \text{ lei} \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Identificarea necunoscutelor și scrierea sistemului de ecuații
Notăm cu \( x \) prețul unui caiet dictando și cu \( y \) prețul unui caiet cu foaie velină. Conform enunțului, putem scrie cheltuielile celor doi copii sub formă de ecuații: Pentru Mara: \( 7x + 2y = 77 \) Pentru David: \( 8x + 3y = 93 \)a) Verificarea posibilității ca prețul unui caiet dictando să fie 11 lei
Pasul 2: Analiza ipotezei prin înlocuire
Presupunem că \( x = 11 \) lei. Vom înlocui această valoare în prima ecuație (cheltuielile Marei) pentru a vedea ce preț ar rezulta pentru caietul velină: \[ 7 \cdot 11 + 2y = 77 \] \[ 77 + 2y = 77 \] Scădem \( 77 \) din ambele părți ale ecuației: \[ \cancel{77} + 2y - \cancel{77} = 0 \] \[ 2y = 0 \] \[ y = 0 \text{ lei} \] Deoarece prețul unui obiect nu poate fi 0 lei în contextul unei tranzacții comerciale reale, rezultă că nu este posibil ca prețul unui caiet dictando să fie 11 lei.b) Determinarea prețului fiecărui tip de caiet
Pasul 3: Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda reducerii
Avem sistemul: \[ \begin{cases} 7x + 2y = 77 \quad | \cdot 3 \\ 8x + 3y = 93 \quad | \cdot (-2) \end{cases} \] Înmulțim prima ecuație cu 3 și pe a doua cu -2 pentru a egala coeficienții lui \( y \) cu semne opuse: \[ \begin{cases} 21x + 6y = 231 \\ -16x - 6y = -186 \end{cases} \] Adunăm cele două ecuații: \[ (21x - 16x) + (\cancel{6y} - \cancel{6y}) = 231 - 186 \] \[ 5x = 45 \] Împărțim la 5: \[ x = \frac{45}{5} \] \[ x = 9 \text{ lei (prețul unui caiet dictando)} \]Pasul 4: Calcularea prețului celui de-al doilea tip de caiet
Înlocuim \( x = 9 \) în prima ecuație inițială: \[ 7 \cdot 9 + 2y = 77 \] \[ 63 + 2y = 77 \] \[ 2y = 77 - 63 \] \[ 2y = 14 \] \[ y = \frac{14}{2} \] \[ y = 7 \text{ lei (prețul unui caiet velină)} \]Pasul 5: Concluzie
Prețul unui caiet dictando este de 9 lei, iar prețul unui caiet cu foaie velină este de 7 lei.Rezolvare scurtă:
a) \( 7 \cdot 11 + 2y = 77 \Rightarrow 77 + 2y = 77 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0 \) (Fals).
b) \( x = \) dictando, \( y = \) velină.
\( \begin{cases} 21x + 6y = 231 \\ -16x - 6y = -186 \end{cases} \Rightarrow 5x = 45 \Rightarrow x = 9 \text{ lei} \).
\( 7 \cdot 9 + 2y = 77 \Rightarrow 63 + 2y = 77 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7 \text{ lei} \).
