Pentru a rezolva inecuațiile de gradul întâi în mulțimea numerelor reale, vom izola necunoscuta \( x \) folosind proprietățile inegalităților și vom exprima soluția sub formă de interval.
a) \( 2x + 8 < 0 \)
Mai întâi, izolăm termenul care conține pe \( x \) prin scăderea lui \( 8 \) din ambii membri ai inecuației:
\[ 2x < -8 \]
Apoi, pentru a-l afla pe \( x \), împărțim întreaga inegalitate la numărul pozitiv \( 2 \). Deoarece \( 2 > 0 \), sensul inegalității rămâne neschimbat:
\[ x < \frac{-8}{2} \]
\[ x < -4 \]
Mulțimea soluțiilor este formată din toate numerele reale mai mici decât \( -4 \). Scris sub formă de interval, avem:
\[ x \in (-\infty, -4) \]
b) \( \frac{6x - 1}{5} - \frac{x}{2} > 2 \)
Pentru a elimina numitorii, determinăm cel mai mic numitor comun pentru \( 5 \) și \( 2 \), care este \( 10 \). Înmulțim fiecare termen al inecuației cu \( 10 \):
\[ \cancel{10}^2 \cdot \frac{6x - 1}{\cancel{5}_1} - \cancel{10}^5 \cdot \frac{x}{\cancel{2}_1} > 10 \cdot 2 \]
Efectuăm înmulțirile:
\[ 2(6x - 1) - 5x > 20 \]
Desfacem paranteza:
\[ 12x - 2 - 5x > 20 \]
Grupăm termenii cu \( x \):
\[ 7x - 2 > 20 \]
Adunăm \( 2 \) în ambii membri pentru a izola termenul cu \( x \):
\[ 7x > 20 + 2 \]
\[ 7x > 22 \]
Împărțim la \( 7 \):
\[ x > \frac{22}{7} \]
Sub formă de interval, soluția este:
\[ x \in \left(\frac{22}{7}, +\infty\right) \]
Rezolvare scurtă:
a)
\( 2x + 8 < 0 \implies 2x < -8 \implies x < -4 \implies x \in (-\infty, -4) \)
