Cele mai importante aspecte ale lecției
Conceptele geometriei în spațiu se bazează pe relațiile dintre puncte (0D), drepte (1D) și plane (2D).
• O dreaptă este unic determinată de oricare două puncte de pe ea (\(d = AB\)). Dacă două plane se taie, o fac de-a lungul unei drepte (\(\alpha \cap \beta = d\)).
• Un plan poate fi determinat prin patru metode sigure: 3 puncte necoliniare, 2 drepte paralele, 2 drepte concurente sau o dreaptă și un punct exterior ei.
• Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci toată dreapta este inclusă în acel plan (\(AB \subset \alpha\)).
• O dreaptă este unic determinată de oricare două puncte de pe ea (\(d = AB\)). Dacă două plane se taie, o fac de-a lungul unei drepte (\(\alpha \cap \beta = d\)).
• Un plan poate fi determinat prin patru metode sigure: 3 puncte necoliniare, 2 drepte paralele, 2 drepte concurente sau o dreaptă și un punct exterior ei.
• Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci toată dreapta este inclusă în acel plan (\(AB \subset \alpha\)).
Punctul nu are nicio dimensiune (este doar un loc bine definit în spațiu). Se notează cu litere mari din alfabetul latin (\(A, B, C, \dots\)).
Dreapta este prelungită infinit în ambele direcții și are o singură dimensiune (lungimea). Este lipsită de grosime. Se notează cu litere mici din alfabetul latin (\(a, b, d, \dots\)) sau prin două puncte distincte de pe ea (\(AB\)).
Planul se extinde infinit în toate direcțiile, având două dimensiuni. Intuitiv, ne putem imagina o suprafață perfect plată, precum o foaie infinită. Se reprezintă geometric printr-un paralelogram și se notează cu litere mici din alfabetul grecesc (\(\alpha, \beta, \gamma, \dots\)) sau prin 3 puncte necoliniare (\((ABC)\)).
Cum se citește notația \(\alpha = (MNP)\)?
Se citește: planul \(\alpha\) este determinat de (și coincide cu) planul format de punctele necoliniare \(M, N\) și \(P\).
Axiomele sunt propoziții matematice fundamentale considerate adevărate fără a necesita demonstrație. Ele stau la baza oricărui raționament geometric.
P1. Prin două puncte diferite trece o dreaptă și numai una. Două puncte diferite determină o dreaptă unică.
\[ A \neq B \Rightarrow d = AB \]
P2. (Axioma lui Euclid) Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă la dreapta dată (ambele drepte aflându-se în același plan).
P3. Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul.
\[ A, B, C \text{ necoliniare} \Rightarrow \text{determină planul } (ABC) \]
P4. Dacă o dreaptă are două puncte diferite comune cu un plan, atunci întreaga dreaptă este inclusă în acel plan.
\[ A, B \in d \text{ și } A, B \in \alpha \Rightarrow d \subset \alpha \]
P5. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă.
\[ \alpha \cap \beta = d \]
P6. În spațiu există (cel puțin) patru puncte nesituate în același plan (puncte necoplanare). Această axiomă confirmă trecerea la geometria tridimensională.
Pe baza axiomelor, există patru modalități prin care un plan poate fi determinat în mod unic:
Trei puncte necoliniare determină un plan. Notăm \(\alpha = (ABC)\).
Două drepte paralele determină un plan. Dacă \(a \parallel b\), notăm planul unic \(\alpha = (a, b)\).
Două drepte concurente (care se intersectează într-un punct) determină un plan. Dacă \(a \cap b = \{O\}\), notăm \(\alpha = (a, b)\).
O dreaptă și un punct exterior ei determină un plan. Dacă \(A \notin d\), notăm \(\alpha = (d, A)\).
Avem două drepte, \(m\) și \(n\), care se intersectează în punctul \(P\). Pot exista două plane diferite care să conțină ambele drepte?
Nu. Două drepte concurente determină un plan unic. Prin urmare, există un singur plan care conține atât dreapta \(m\), cât și dreapta \(n\).
Probleme practice
Ușoară: Punctele distincte \(M\) și \(N\) aparțin planului \(\beta\). Dreapta \(d\) trece prin punctele \(M\) și \(N\). Care este relația dintre dreapta \(d\) și planul \(\beta\)?
Conform axiomei P4, dacă o dreaptă are două puncte diferite comune cu un plan, atunci dreapta este inclusă în acel plan. Deoarece \(M \in \beta\) și \(N \in \beta\), rezultă că dreapta \(MN\) (adică dreapta \(d\)) este inclusă în planul \(\beta\).
Scriem: \(d \subset \beta\).
Scriem: \(d \subset \beta\).
Medie: Fie planul \((ABC)\) și un punct \(D\) situat în exteriorul acestui plan. Care este intersecția dintre planul \((ABC)\) și planul \((ABD)\)?
Analizăm denumirile celor două plane: \((ABC)\) conține punctele \(A, B, C\), iar \((ABD)\) conține punctele \(A, B, D\).
Cele două plane au punctele \(A\) și \(B\) în comun.
Conform axiomei P5, intersecția a două plane distincte care au un punct comun (în cazul nostru au două) este o dreaptă. Punctele comune determină dreapta de intersecție.
Răspuns: \((ABC) \cap (ABD) = AB\) (dreapta \(AB\)).
Cele două plane au punctele \(A\) și \(B\) în comun.
Conform axiomei P5, intersecția a două plane distincte care au un punct comun (în cazul nostru au două) este o dreaptă. Punctele comune determină dreapta de intersecție.
Răspuns: \((ABC) \cap (ABD) = AB\) (dreapta \(AB\)).
Dificilă: Fie 4 puncte necoplanare, notate \(A, B, C, D\). Câte plane distincte determină aceste 4 puncte, luându-le câte 3? Scrieți denumirile lor.
Știm că 3 puncte necoliniare determină un plan unic. Deoarece cele 4 puncte sunt necoplanare (nu se află toate în același plan), oricare 3 dintre ele vor fi automat necoliniare și vor forma un plan distinct.
Combinând punctele câte 3, obținem următoarele plane:
Combinând punctele câte 3, obținem următoarele plane:
- Planul format de \(A, B, C\) \(\Rightarrow (ABC)\)
- Planul format de \(A, B, D\) \(\Rightarrow (ABD)\)
- Planul format de \(A, C, D\) \(\Rightarrow (ACD)\)
- Planul format de \(B, C, D\) \(\Rightarrow (BCD)\)
