Cele mai importante aspecte ale lecției
- Diferența de pătrate: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \). Folositoare pentru simplificări rapide. Ex: \( y^2 - 9 = (y-3)(y+3) \).
- Pătratul binomului: \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \). Atenție să nu uitați termenul din mijloc (\( 2ab \))! Ex: \( (x+1)^2 = x^2+2x+1 \).
- Pătratul trinomului: \( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \).
- Raționalizarea numitorului: Se bazează pe utilizarea conjugatelor pentru a aplica diferența de pătrate la numitor și a elimina astfel radicalii. Conjugata expresiei \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) este \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \).
Produsul dintre suma și diferența a doi termeni este egal cu diferența pătratelor celor doi termeni.
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
pentru orice numere reale a și b.
Calcul direct aplicând formula:
\( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25 \)
\( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25 \)
Binom = sumă algebrică formată din doi termeni.
Aceste formule ne permit să ridicăm rapid la pătrat o sumă sau o diferență de doi termeni, fără a mai efectua înmulțirea parantezelor termen cu termen.
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Pătratul sumei:
\( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)
Pătratul diferenței:
\( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \)
\( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)
Pătratul diferenței:
\( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \)
Pătratul unei sume de trei termeni se calculează adunând pătratele fiecărui termen cu dublul produsului fiecărei perechi posibile de termeni.
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
\( (x + y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 1^2 + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot x \cdot 1 + 2 \cdot y \cdot 1 = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y \)
Raționalizarea numitorului este operația de amplificare a unei fracții pentru a transforma numitorul său dintr-un număr irațional (cu radical) într-un număr rațional (fără radical).
Cantitatea prin care amplificăm fracția se numește conjugata numitorului. Două expresii cu radicali sunt conjugate dacă produsul lor este un număr rațional.
Dacă \( n \in \mathbb{Z}^* \) și \( a, b > 0 \), cu \( a \neq b \):
- Pentru un numitor de forma \( n\sqrt{a} \), amplificăm fracția cu \( \sqrt{a} \):
\[ \frac{1}{n\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{n \cdot a} \] - Pentru un numitor de forma \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \), conjugata este \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \):
\[ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \] - Pentru un numitor de forma \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), conjugata este \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):
\[ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b} \]
Când amplificăm cu o expresie conjugată de forma \( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \), ne folosim practic de formula diferenței de pătrate: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b \), eliminând astfel complet radicalii de la numitor.
Raționalizarea unui numitor compus dintr-o sumă de radicali:
\[ \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} - \sqrt{5} \]
\[ \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} - \sqrt{5} \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Efectuați calculele folosind formulele de calcul prescurtat:
a) \( (x + 7)(x - 7) \)
b) \( (y - 4)^2 \)
a) \( (x + 7)(x - 7) \)
b) \( (y - 4)^2 \)
a) Aplicăm formula \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
\( (x + 7)(x - 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49 \).
b) Aplicăm formula \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\( (y - 4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16 \).
\( (x + 7)(x - 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49 \).
b) Aplicăm formula \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\( (y - 4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16 \).
Medie: Folosind formulele de calcul prescurtat, calculați rapid și fără calculator produsul: \( 104 \cdot 96 \).
Observăm că numerele sunt simetrice față de 100. Rescriem produsul astfel:
\( 104 \cdot 96 = (100 + 4)(100 - 4) \)
Aplicăm formula produsului sumei cu diferența:
\( (100 + 4)(100 - 4) = 100^2 - 4^2 = 10000 - 16 = 9984 \).
\( 104 \cdot 96 = (100 + 4)(100 - 4) \)
Aplicăm formula produsului sumei cu diferența:
\( (100 + 4)(100 - 4) = 100^2 - 4^2 = 10000 - 16 = 9984 \).
Medie: Raționalizați numitorul fracției: \( \frac{12}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \).
Pentru a elimina radicalii de la numitor, amplificăm fracția cu conjugata numitorului, care este \( 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \):
\[ \frac{12(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})} \]
Aplicăm formula la numitor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\[ (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (9 \cdot 2) - (4 \cdot 3) = 18 - 12 = 6 \]
Fracția devine:
\[ \frac{12(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{6} \]
Simplificăm numărul 12 de la numărător cu 6 de la numitor:
\[ 2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \]
\[ \frac{12(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})} \]
Aplicăm formula la numitor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\[ (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (9 \cdot 2) - (4 \cdot 3) = 18 - 12 = 6 \]
Fracția devine:
\[ \frac{12(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{6} \]
Simplificăm numărul 12 de la numărător cu 6 de la numitor:
\[ 2(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \]
Dificilă: Demonstrați că expresia \( E(x) = (x + 3)^2 - (x - 3)^2 \) este egală cu \( 12x \), oricare ar fi numărul real \( x \).
Metoda 1 (Folosind pătratul binomului):
Calculăm fiecare paranteză la pătrat separat:
\( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
\( (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \)
Scădem cele două rezultate (atenție la schimbarea semnelor!):
\( E(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x \).
Metoda 2 (Folosind diferența de pătrate):
Privim întreaga expresie ca pe o formă \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), unde \( a = x+3 \) și \( b = x-3 \):
\( E(x) = [(x+3) - (x-3)] \cdot [(x+3) + (x-3)] \)
\( E(x) = (x + 3 - x + 3) \cdot (x + 3 + x - 3) \)
\( E(x) = 6 \cdot 2x = 12x \).
Oricare metodă este corectă și demonstrează egalitatea.
Calculăm fiecare paranteză la pătrat separat:
\( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
\( (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \)
Scădem cele două rezultate (atenție la schimbarea semnelor!):
\( E(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x \).
Metoda 2 (Folosind diferența de pătrate):
Privim întreaga expresie ca pe o formă \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), unde \( a = x+3 \) și \( b = x-3 \):
\( E(x) = [(x+3) - (x-3)] \cdot [(x+3) + (x-3)] \)
\( E(x) = (x + 3 - x + 3) \cdot (x + 3 + x - 3) \)
\( E(x) = 6 \cdot 2x = 12x \).
Oricare metodă este corectă și demonstrează egalitatea.
