Cele mai importante aspecte ale lecției
Axa numerelor: O dreaptă orientată, având o origine \( O(0) \) și o unitate de măsură (u.m.). Coordonata unui punct reprezintă distanța sa față de origine (ex: \( A(3) \) este la 3 u.m. de origine).
Comparare:
Predecesor și succesor: Pentru orice număr \( n \), predecesorul este \( n-1 \), iar succesorul este \( n+1 \). Numerele \( n \) și \( n+1 \) sunt consecutive.
Comparare:
- Număr diferit de cifre: este mai mare cel cu mai multe cifre (\( 1\,002 > 999 \)).
- Număr egal de cifre: se compară cifrele de la stânga la dreapta până la prima diferență (\( 12\,540 > 12\,390 \), deoarece \( 5 > 3 \)).
Predecesor și succesor: Pentru orice număr \( n \), predecesorul este \( n-1 \), iar succesorul este \( n+1 \). Numerele \( n \) și \( n+1 \) sunt consecutive.
Axa numerelor este o dreaptă pe care se fixează trei elemente esențiale:
- O origine (un punct \( O \) căruia îi corespunde numărul \( 0 \));
- Un sens de parcurgere de la stânga la dreapta (indicat printr-o săgeată);
- O unitate de măsură (u.m.), de exemplu \( 1 \text{ cm} \) sau un anumit număr de pătrățele de caiet.
Fiecărui număr natural \( n \) îi corespunde un punct pe axă, situat la o distanță de \( n \) unități de măsură de origine. Numărul \( n \) se numește coordonata punctului. Se notează \( P(n) \) și se citește „punctul \( P \) de coordonată \( n \)”.
Dacă originea este \( O \), coordonata sa este întotdeauna \( 0 \), adică avem \( O(0) \).
Dacă punctul \( A \) se află la distanța de o unitate de măsură de origine, scriem \( A(1) \).
Dacă punctul \( A \) se află la distanța de o unitate de măsură de origine, scriem \( A(1) \).
Pe o axă a numerelor, coordonata punctului \( B \) este \( 9 \). Știind că distanța de la origine la punctul \( B \) este de \( 45 \text{ mm} \), aflați lungimea unității de măsură.
Notăm lungimea unității de măsură cu \( u \).
Distanța de la origine la punctul \( B(9) \) este de \( 9 \) unități de măsură: \[ 9 \cdot u = 45 \text{ mm} \] \[ u = 45 : 9 = 5 \text{ mm} \] Răspuns: Lungimea unității de măsură este de \( 5 \text{ mm} \).
Distanța de la origine la punctul \( B(9) \) este de \( 9 \) unități de măsură: \[ 9 \cdot u = 45 \text{ mm} \] \[ u = 45 : 9 = 5 \text{ mm} \] Răspuns: Lungimea unității de măsură este de \( 5 \text{ mm} \).
Cazul 1: Numere cu un număr diferit de cifre
Dintre două numere naturale cu număr diferit de cifre, este mai mare cel care are mai multe cifre.
Exemplu: \( 306\,798 > 77\,996 \), deoarece primul are 6 cifre, iar al doilea are 5 cifre.
Dintre două numere naturale cu număr diferit de cifre, este mai mare cel care are mai multe cifre.
Exemplu: \( 306\,798 > 77\,996 \), deoarece primul are 6 cifre, iar al doilea are 5 cifre.
Cazul 2: Numere cu același număr de cifre
Se compară cifră cu cifră, începând de la stânga (de la ordinul cel mai mare), până când găsim două cifre diferite de același ordin. Este mai mare numărul care are cifra respectivă mai mare.
Exemplu: Pentru a compara \( 56\,721 \) cu \( 56\,903 \), observăm că cifrele zecilor de mii și ale miilor sunt identice (\( 5=5 \), \( 6=6 \)). Comparând cifrele sutelor, avem \( 7 < 9 \), deci \( 56\,721 < 56\,903 \).
Se compară cifră cu cifră, începând de la stânga (de la ordinul cel mai mare), până când găsim două cifre diferite de același ordin. Este mai mare numărul care are cifra respectivă mai mare.
Exemplu: Pentru a compara \( 56\,721 \) cu \( 56\,903 \), observăm că cifrele zecilor de mii și ale miilor sunt identice (\( 5=5 \), \( 6=6 \)). Comparând cifrele sutelor, avem \( 7 < 9 \), deci \( 56\,721 < 56\,903 \).
Comparați numerele \( 123\,456 \) și \( 123\,409 \).
Ambele numere au câte 6 cifre. Comparăm de la stânga la dreapta:
- Sute de mii: \( 1 = 1 \)
- Zeci de mii: \( 2 = 2 \)
- Mii: \( 3 = 3 \)
- Sute: \( 4 = 4 \)
- Zeci: la primul număr avem cifra \( 5 \), la al doilea avem cifra \( 0 \).
Ordonarea numerelor reprezintă așezarea lor în ordine crescătoare (de la cel mai mic la cel mai mare) sau descrescătoare (de la cel mai mare la cel mai mic).
Dintre două numere reprezentate pe axa numerelor, cel mai mare se află întotdeauna poziționat în dreapta celuilalt.
Exemplu: \( 1\,027 > 1\,024 \) deoarece punctul corespunzător lui \( 1\,027 \) se află la dreapta punctului corespunzător lui \( 1\,024 \).
Exemplu: \( 1\,027 > 1\,024 \) deoarece punctul corespunzător lui \( 1\,027 \) se află la dreapta punctului corespunzător lui \( 1\,024 \).
Numerele situate imediat unul lângă altul pe axa numerelor se numesc numere consecutive. Diferența dintre două numere naturale consecutive este întotdeauna \( 1 \).
Dacă avem numerele consecutive \( n \) și \( n + 1 \):
- \( n \) este predecesorul lui \( n + 1 \) (numărul care se află imediat în stânga sa);
- \( n + 1 \) este succesorul lui \( n \) (numărul care se află imediat în dreapta sa).
Pentru numărul \( 99 \):
- Predecesorul său este \( 98 \) (calculat ca \( 99 - 1 \));
- Succesorul său este \( 100 \) (calculat ca \( 99 + 1 \mu \)).
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Care sunt coordonatele punctelor \( A \), \( B \) și \( C \) reprezentate pe axa de mai jos, știind că originea este \( O(0) \) și unitatea de măsură este egală cu un segment de pe axă?
\( O \) este la poziția 0, \( A \) se află la 2 unități la dreapta lui \( O \), \( B \) se află la 5 unități la dreapta lui \( O \), iar \( C \) se află la 8 unități la dreapta lui \( O \).
\( O \) este la poziția 0, \( A \) se află la 2 unități la dreapta lui \( O \), \( B \) se află la 5 unități la dreapta lui \( O \), iar \( C \) se află la 8 unități la dreapta lui \( O \).
Măsurând distanțele de la origine în unități de măsură:
- Pentru \( A \), distanța este de 2 unități de măsură, deci \( A(2) \).
- Pentru \( B \), distanța este de 5 unități de măsură, deci \( B(5) \).
- Pentru \( C \), distanța este de 8 unități de măsură, deci \( C(8) \).
Problemă 2 (Medie): Pe o axă a numerelor cu unitatea de măsură egală cu \( 4\text{ cm} \), sunt reprezentate punctele \( M(3) \) și \( N(8) \). Calculați distanța dintre punctele \( M \) și \( N \), exprimată în centimetri.
Mai întâi calculăm diferența dintre coordonatele celor două puncte pentru a afla distanța în unități de măsură:
\[ 8 - 3 = 5 \text{ unități de măsură} \]
Deoarece o unitate de măsură are lungimea de \( 4\text{ cm} \), distanța totală în centimetri va fi:
\[ 5 \cdot 4\text{ cm} = 20\text{ cm} \]
Răspuns: Distanța dintre punctele \( M \) și \( N \) este de \( 20\text{ cm} \).
Problemă 3 (Dificilă): Se consideră numărul natural \( x \). Știind că succesorul succesorului lui \( x \) este \( 1\,001 \), determinați predecesorul lui \( x \), apoi ordonați crescător numerele: \( x \), predecesorul său, succesorul său și numărul \( 998 \).
1. Succesorul lui \( x \) este \( x + 1 \).
Succesorul succesorului lui \( x \) este \( (x + 1) + 1 = x + 2 \).
Avem relația: \[ x + 2 = 1\,001 \Rightarrow x = 999 \] 2. Găsim numerele cerute:
Ordonarea crescătoare (folosind semnul \( \leq \), deoarece numărul \( 998 \) se repetă) este: \[ 998 = 998 < 999 < 1\,000 \] Răspuns: Predecesorul lui \( x \) este \( 998 \); ordinea crescătoare este \( 998, 998, 999, 1\,000 \).
Succesorul succesorului lui \( x \) este \( (x + 1) + 1 = x + 2 \).
Avem relația: \[ x + 2 = 1\,001 \Rightarrow x = 999 \] 2. Găsim numerele cerute:
- Numărul \( x \) este \( 999 \).
- Predecesorul lui \( x \) este \( 999 - 1 = 998 \).
- Succesorul lui \( x \) este \( 999 + 1 = 1\,000 \).
Ordonarea crescătoare (folosind semnul \( \leq \), deoarece numărul \( 998 \) se repetă) este: \[ 998 = 998 < 999 < 1\,000 \] Răspuns: Predecesorul lui \( x \) este \( 998 \); ordinea crescătoare este \( 998, 998, 999, 1\,000 \).
