Cele mai importante aspecte ale lecției
Pozițiile a două drepte în spațiu:
- Paralele: în același plan, nu se intersectează (\( \measuredangle = 0^\circ \)).
- Concurente: se intersectează într-un singur punct. Dacă unghiul lor este \(90^\circ\), sunt perpendiculare.
- Necoplanare: nu sunt în același plan, nu se intersectează.
În spațiu, două drepte se pot afla în următoarele trei situații:
- Drepte paralele: Sunt coplanare (se află în același plan) și nu au niciun punct comun. \[ a, b \text{ coplanare și } a \cap b = \varnothing \Rightarrow a \parallel b \]
- Drepte concurente: Au exact un singur punct comun. Dreptele concurente sunt întotdeauna coplanare. \[ a \cap b = \{O\} \Rightarrow a, b \text{ sunt concurente} \]
- Drepte necoplanare: Nu au niciun punct comun și nu există un plan care să le conțină pe amândouă. \[ a \cap b = \varnothing \text{ și } a \nparallel b \Rightarrow a, b \text{ sunt necoplanare} \]
Se consideră un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Stabiliți poziția relativă a următoarelor perechi de drepte: a) \(AB\) și \(A'B'\); b) \(AB\) și \(BC\); c) \(AB\) și \(CC'\).
a) \(AB\) și \(A'B'\) sunt paralele (nu se intersectează și fac parte din planul feței \(ABB'A'\)).
b) \(AB\) și \(BC\) sunt concurente (se intersectează în punctul \(B\)).
c) \(AB\) și \(CC'\) sunt necoplanare (nu se intersectează și nu există niciun plan care să le conțină pe ambele).
b) \(AB\) și \(BC\) sunt concurente (se intersectează în punctul \(B\)).
c) \(AB\) și \(CC'\) sunt necoplanare (nu se intersectează și nu există niciun plan care să le conțină pe ambele).
În spațiu, două drepte distincte paralele cu o a treia dreaptă sunt paralele între ele.
\[ a \parallel c \text{ și } b \parallel c \Rightarrow a \parallel b \]
Dacă într-un paralelipiped știm că \(AB \parallel DC\) și \(A'B' \parallel DC\), atunci rezultă automat că \(AB \parallel A'B'\).
Pentru a afla măsura unghiului format de două drepte în spațiu, analizăm poziția lor relativă:
Drepte paralele: Măsura unghiului dintre ele este de \(0^\circ\).
\[ a \parallel b \Rightarrow \measuredangle(a, b) = 0^\circ \]
Drepte concurente: Măsura unghiului lor este cea mai mică măsură a unghiurilor formate de cele două drepte la intersecția lor (o valoare între \(0^\circ\) și \(90^\circ\)).
Dacă unghiul este de \(90^\circ\), dreptele sunt perpendiculare (\(a \perp b\)).
Dacă unghiul este de \(90^\circ\), dreptele sunt perpendiculare (\(a \perp b\)).
Drepte necoplanare: Măsura unghiului lor este egală cu măsura unghiului format de două drepte concurente, paralele cu dreptele date.
Concret: printr-un punct oarecare \(P\), ducem \(a' \parallel a\) și \(b' \parallel b\). Atunci: \[ \measuredangle(a, b) = \measuredangle(a', b') \]
Concret: printr-un punct oarecare \(P\), ducem \(a' \parallel a\) și \(b' \parallel b\). Atunci: \[ \measuredangle(a, b) = \measuredangle(a', b') \]
De cele mai multe ori, punctul \(P\) se alege direct pe una dintre drepte. Dacă păstrăm dreapta \(a\) pe loc și luăm un punct \(P \in a\), ducem doar \(b' \parallel b\) prin \(P\), iar unghiul căutat va fi \( \measuredangle(a, b') \).
În spațiu pot exista drepte perpendiculare care nu sunt concurente! Dacă unghiul obținut prin deplasarea paralelă a dreptelor necoplanare este de \(90^\circ\), spunem că dreptele necoplanare inițiale sunt perpendiculare (\(a \perp b\)).
Exerciții
Ușoară: Fie \(ABCDA'B'C'D'\) un cub. Determinați măsura unghiului format de dreptele \(AA'\) și \(BB'\), respectiv măsura unghiului format de dreptele \(AB\) și \(BC\).
1. Dreptele \(AA'\) și \(BB'\) sunt muchii laterale ale cubului, deci sunt paralele. Unghiul dintre două drepte paralele este de \(0^\circ\). Rezultă \( \measuredangle(AA', BB') = 0^\circ \).
2. Dreptele \(AB\) și \(BC\) sunt laturi alăturate ale bazei \(ABCD\) (care este un pătrat). Ele sunt concurente în \(B\), iar unghiul pătratului este de \(90^\circ\). Rezultă \( \measuredangle(AB, BC) = 90^\circ \).
2. Dreptele \(AB\) și \(BC\) sunt laturi alăturate ale bazei \(ABCD\) (care este un pătrat). Ele sunt concurente în \(B\), iar unghiul pătratului este de \(90^\circ\). Rezultă \( \measuredangle(AB, BC) = 90^\circ \).
Medie: În paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\), determinați măsura unghiului format de dreptele necoplanare \(AD\) și \(B'C'\).
Dreptele \(AD\) și \(B'C'\) sunt necoplanare. Pentru a afla unghiul dintre ele, trebuie să construim (sau să identificăm) o paralelă la una dintre ele, care să o intersecteze pe cealaltă.
Știm că \(B'C' \parallel BC\) (fiind muchii opuse pe fața \(BCC'B'\)).
Înlocuim dreapta \(B'C'\) cu paralela sa \(BC\).
Astfel, \( \measuredangle(AD, B'C') = \measuredangle(AD, BC) \).
Cum \(AD \parallel BC\), unghiul dintre ele este de \(0^\circ\). (De fapt, și \(AD \parallel B'C'\), din tranzitivitatea paralelismului: \(AD \parallel BC\) și \(BC \parallel B'C'\)).
Știm că \(B'C' \parallel BC\) (fiind muchii opuse pe fața \(BCC'B'\)).
Înlocuim dreapta \(B'C'\) cu paralela sa \(BC\).
Astfel, \( \measuredangle(AD, B'C') = \measuredangle(AD, BC) \).
Cum \(AD \parallel BC\), unghiul dintre ele este de \(0^\circ\). (De fapt, și \(AD \parallel B'C'\), din tranzitivitatea paralelismului: \(AD \parallel BC\) și \(BC \parallel B'C'\)).
Dificilă: Considerăm un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Determinați măsura unghiului format de dreptele \(A'B\) și \(AD'\).
Dreptele \(A'B\) și \(AD'\) sunt necoplanare. Păstrăm dreapta \(A'B\) și căutăm o paralelă la \(AD'\) care să se intersecteze cu \(A'B\).
În fețele laterale paralele \(ADD'A'\) și \(BCC'B'\), diagonalele corespunzătoare sunt paralele: \(AD' \parallel BC'\).
Prin urmare, înlocuim \(AD'\) cu paralela sa, \(BC'\), care se intersectează cu \(A'B\) în punctul \(B\).
\( \measuredangle(A'B, AD') = \measuredangle(A'B, BC') \).
Pentru a afla acest unghi, unim \(A'\) cu \(C'\) și formăm triunghiul \(A'BC'\).
Laturile triunghiului \(A'BC'\) sunt diagonale în pătratele care formează fețele cubului (\(A'B\), \(BC'\), \(A'C'\)). Deoarece toate fețele sunt pătrate congruente, diagonalele lor sunt egale.
Deci triunghiul \(A'BC'\) este echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile au \(60^\circ\).
Rezultă că \( \measuredangle(A'B, BC') = 60^\circ \).
Răspuns final: \( \measuredangle(A'B, AD') = 60^\circ \).
În fețele laterale paralele \(ADD'A'\) și \(BCC'B'\), diagonalele corespunzătoare sunt paralele: \(AD' \parallel BC'\).
Prin urmare, înlocuim \(AD'\) cu paralela sa, \(BC'\), care se intersectează cu \(A'B\) în punctul \(B\).
\( \measuredangle(A'B, AD') = \measuredangle(A'B, BC') \).
Pentru a afla acest unghi, unim \(A'\) cu \(C'\) și formăm triunghiul \(A'BC'\).
Laturile triunghiului \(A'BC'\) sunt diagonale în pătratele care formează fețele cubului (\(A'B\), \(BC'\), \(A'C'\)). Deoarece toate fețele sunt pătrate congruente, diagonalele lor sunt egale.
Deci triunghiul \(A'BC'\) este echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile au \(60^\circ\).
Rezultă că \( \measuredangle(A'B, BC') = 60^\circ \).
Răspuns final: \( \measuredangle(A'B, AD') = 60^\circ \).
