Cele mai importante aspecte ale lecției
- Adunări/Scăderi: Se efectuează exclusiv prin reducerea termenilor asemenea (ex: \( 2x + 3x = 5x \)).
- Înmulțiri: Se înmulțesc coeficienții între ei și părțile literale între ele (ex: \( 2x \cdot 3x^2 = 6x^3 \)).
- Împărțiri: Se împart coeficienții și se scad exponenții literelor (ex: \( 6x^3 : 2x = 3x^2 \)).
- Puteri: Se ridică la putere atât coeficientul, cât și fiecare exponent din litere (ex: \( (2x^2)^3 = 8x^6 \)).
Termenul algebric este format dintr-un coeficient și o parte literală.
\[ \text{Termen} = \text{Coeficient} \cdot \text{Partea literală} \]
Exemplu: În termenul \( -6x^2 \), coeficientul este \(-6\), iar partea literală este \(x^2\).
Dacă partea literală lipsește (ex: \(7\)), termenul se numește termen liber.
Termenii asemenea sunt termenii care au exact aceeași parte literală (aceleași litere la aceiași exponenți).
Sunt termeni asemenea: \( 2x^5 \) și \( -7x^5 \).
Nu sunt termeni asemenea: \( 3x^2 \) și \( 3x \) (exponenți diferiți).
Nu sunt termeni asemenea: \( 3x^2 \) și \( 3x \) (exponenți diferiți).
Expresia algebrică este o sumă de termeni algebrici. Literele se numesc variabile.
Valoarea numerică se obține înlocuind literele cu numere și efectuând calculele.
Calculați valoarea numerică a expresiei \( E(x) = -3x^2 + 2x + 7 \) pentru \( x = 0 \).
Înlocuim \(x\) cu \(0\):
\[ E(0) = -3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 7 = 0 + 0 + 7 = 7 \]
Adunarea și scăderea se pot efectua doar între termenii asemenea, adunând sau scăzând coeficienții și păstrând partea literală comună.
\[ c_1L \pm c_2L = (c_1 \pm c_2)L \]
unde \( L \) este partea literală comună.
\( 12x^2 - 7x^2 = (12 - 7)x^2 = 5x^2 \)
\( -7x + 2x + 6x = (-7 + 2 + 6)x = 1x = x \)
\( -7x + 2x + 6x = (-7 + 2 + 6)x = 1x = x \)
Înmulțim coeficienții între ei și părțile literale între ele (folosind regulile de calcul cu puteri).
\( (c_1L_1) \cdot (c_2L_2) = (c_1 \cdot c_2)(L_1 \cdot L_2) \)
\( (c_1L_1) \cdot (c_2L_2) = (c_1 \cdot c_2)(L_1 \cdot L_2) \)
Înmulțim termenul cu fiecare termen din paranteză.
\( F \cdot (T_1 + T_2) = F \cdot T_1 + F \cdot T_2 \)
\( F \cdot (T_1 + T_2) = F \cdot T_1 + F \cdot T_2 \)
Înmulțim fiecare termen al primei expresii cu fiecare termen al celeilalte expresii, apoi reducem termenii asemenea.
\( (A_1 + A_2)(B_1 + B_2) = A_1B_1 + A_1B_2 + A_2B_1 + A_2B_2 \)
\( (A_1 + A_2)(B_1 + B_2) = A_1B_1 + A_1B_2 + A_2B_1 + A_2B_2 \)
Calculați: a) \( (2x) \cdot (-5x^2) \) b) \( x(x^2 - x + 2) \)
a) \( 2 \cdot (-5) \cdot x^{1+2} = -10x^3 \)
b) \( x \cdot x^2 - x \cdot x + x \cdot 2 = x^3 - x^2 + 2x \)
b) \( x \cdot x^2 - x \cdot x + x \cdot 2 = x^3 - x^2 + 2x \)
Se împart coeficienții între ei și părțile literale între ele (scăzând exponenții literelor identice). Condiția este ca împărțitorul să nu conțină litere noi și exponenții să fie mai mici sau egali.
\( (12x^3) : (3x) = (12 : 3) \cdot x^{3-1} = 4x^2 \)
Dacă împărțim o sumă de termeni la un singur termen, împărțim fiecare termen al sumei pe rând și adunăm rezultatele.
\( (x^3 + 2x^2) : x = x^3:x + 2x^2:x = x^2 + 2x \)
Ridicarea la putere se realizează ridicând atât coeficientul, cât și fiecare literă din partea literală la puterea respectivă.
\( (-3a^2b^5)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^5)^3 = -27a^6b^{15} \)
Ordinea operațiilor:
- Operațiile din paranteze (întâi rotunde, apoi transformăm pătratele în rotunde etc.)
- Ridicarea la putere;
- Înmulțirile și împărțirile;
- Adunările și scăderile (reducerea termenilor asemenea).
Probleme practice
Ușoară: Reduceți termenii asemenea din expresia: \( 5x^2 - 3x + 2 + 4x - x^2 - 7 \).
Grupăm termenii asemenea:
\( (5x^2 - x^2) + (-3x + 4x) + (2 - 7) \)
\( = 4x^2 + x - 5 \)
\( (5x^2 - x^2) + (-3x + 4x) + (2 - 7) \)
\( = 4x^2 + x - 5 \)
Medie: Efectuați calculele: \( 3x(x - 2) - (2x^2 - 6x + 1) \).
1. Desfacem prima paranteză (înmulțim cu \(3x\)): \( 3x^2 - 6x \)
2. Desfacem a doua paranteză (schimbăm semnele din cauza minusului din față): \( -2x^2 + 6x - 1 \)
3. Scriem expresia și reducem termenii asemenea:
\( 3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x - 1 = (3x^2 - 2x^2) + (-6x + 6x) - 1 = x^2 - 1 \)
2. Desfacem a doua paranteză (schimbăm semnele din cauza minusului din față): \( -2x^2 + 6x - 1 \)
3. Scriem expresia și reducem termenii asemenea:
\( 3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x - 1 = (3x^2 - 2x^2) + (-6x + 6x) - 1 = x^2 - 1 \)
Dificilă: Efectuați calculele respectând ordinea operațiilor: \( (2x^3)^2 : x^4 - 2x(x - 3) \).
1. Efectuăm ridicarea la putere: \( (2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6 \)
2. Efectuăm împărțirea: \( 4x^6 : x^4 = 4x^{6-4} = 4x^2 \)
3. Efectuăm înmulțirea din dreapta: \( -2x(x - 3) = -2x^2 + 6x \)
4. Scriem rezultatele și adunăm/scădem:
\( 4x^2 - 2x^2 + 6x = 2x^2 + 6x \)
2. Efectuăm împărțirea: \( 4x^6 : x^4 = 4x^{6-4} = 4x^2 \)
3. Efectuăm înmulțirea din dreapta: \( -2x(x - 3) = -2x^2 + 6x \)
4. Scriem rezultatele și adunăm/scădem:
\( 4x^2 - 2x^2 + 6x = 2x^2 + 6x \)
