Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte de reținut despre dreapta paralelă cu un plan:
- O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu au niciun punct comun (\( d \cap \alpha = \varnothing \)).
- Cum demonstrăm: Găsim o dreaptă \( a \) în planul \( \alpha \) astfel încât \( d \parallel a \). Acesta este cel mai folosit instrument în probleme.
- O dreaptă paralelă cu un plan se aliniază perfect (este paralelă) cu unele drepte din acel plan, dar nu cu toate.
- Teorema Acoperișului și Teorema Umbrei sunt extinderi utile atunci când lucrăm cu intersecții de plane (muchii) și drepte paralele conținute în aceste plane.
În spațiu, o dreaptă poate avea trei poziții distincte față de un plan, clasificate în funcție de numărul de puncte comune.
1. Dreaptă inclusă în plan
Dacă o dreaptă \( d \) are două puncte comune cu un plan \( \alpha \), atunci toată dreapta este conținută în acel plan (are o infinitate de puncte comune).
\[ A \neq B; A \in d, B \in d \text{ și } A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow d \subset \alpha \]
2. Dreaptă secantă cu un plan
Dacă o dreaptă \( d \) are un singur punct comun cu planul \( \alpha \), spunem că dreapta intersectează (sau "înțeapă") planul.
\[ d \cap \alpha = \{A\} \]
3. Dreaptă paralelă cu un plan
Dacă o dreaptă \( d \) nu are niciun punct comun cu planul \( \alpha \), atunci dreapta este paralelă cu planul.
\[ d \cap \alpha = \varnothing \Rightarrow d \parallel \alpha \]
Teorema 1: O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan este paralelă cu planul sau conținută în el.
Pentru a demonstra că o dreaptă \( d \) este paralelă cu un plan \( \alpha \) (și nu este inclusă în el), este suficient să găsim o singură dreaptă \( a \) inclusă în planul \( \alpha \), astfel încât \( d \parallel a \).
Matematic: \( d \parallel a \) și \( a \subset \alpha \), iar \( d \not\subset \alpha \Rightarrow d \parallel \alpha \).
Matematic: \( d \parallel a \) și \( a \subset \alpha \), iar \( d \not\subset \alpha \Rightarrow d \parallel \alpha \).
Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, ea este paralelă cu o infinitate de drepte din acel plan, dar nu este paralelă cu orice dreaptă din plan (cu unele drepte din plan formează unghiuri, fiind necoplanare).
Dacă dreapta \( d \) este paralelă cu planul \( \alpha \), este obligatoriu ca \( d \) să fie paralelă cu o dreaptă oarecare \( m \subset \alpha \)?
Răspuns: Fals. Dreapta \( d \) este paralelă cu o infinitate de drepte din planul \( \alpha \), dar nu cu toate. Față de dreapta \( m \), dreapta \( d \) poate fi paralelă sau necoplanară.
Teorema Umbrei: Dacă dreapta \( d \) este paralelă cu planul \( \alpha \), iar planul \( \beta \) (care conține dreapta \( d \)) intersectează planul \( \alpha \) după dreapta \( a \), atunci dreptele \( a \) și \( d \) sunt paralele.
Teorema Acoperișului: Dacă dreapta \( d \) este intersecția a două plane \( \alpha \) și \( \beta \), iar planul \( \alpha \) conține dreapta \( a \), planul \( \beta \) conține dreapta \( b \), și \( a \parallel b \), atunci dreapta de intersecție \( d \) este paralelă cu ambele drepte (\( d \parallel a \) și \( d \parallel b \)).
Probleme de antrenament
Ușoară: Se consideră un cub \( ABCDA'B'C'D' \). Stabiliți poziția dreptei \( A'B' \) față de planul \( (ABCD) \).
Rezolvare:
Căutăm o dreaptă în planul feței de jos \( (ABCD) \) care să fie paralelă cu \( A'B' \).
Deoarece fața laterală \( ABB'A' \) este un pătrat (sau dreptunghi), știm că \( A'B' \parallel AB \).
Cum \( AB \subset (ABCD) \) și \( A'B' \not\subset (ABCD) \), conform Teoremei 1 rezultă că \( A'B' \parallel (ABCD) \).
Căutăm o dreaptă în planul feței de jos \( (ABCD) \) care să fie paralelă cu \( A'B' \).
Deoarece fața laterală \( ABB'A' \) este un pătrat (sau dreptunghi), știm că \( A'B' \parallel AB \).
Cum \( AB \subset (ABCD) \) și \( A'B' \not\subset (ABCD) \), conform Teoremei 1 rezultă că \( A'B' \parallel (ABCD) \).
Medie: Fie o piramidă triunghiulară regulată \( VABC \). Notăm cu \( M \) mijlocul muchiei \( VA \) și cu \( N \) mijlocul muchiei \( VB \). Demonstrați că dreapta \( MN \) este paralelă cu planul bazei \( (ABC) \).
Rezolvare:
În triunghiul \( VAB \), punctele \( M \) și \( N \) sunt mijloacele laturilor \( VA \), respectiv \( VB \).
Prin urmare, segmentul \( MN \) este linie mijlocie în \( \triangle VAB \).
Conform proprietății liniei mijlocii, \( MN \parallel AB \).
Deoarece \( AB \subset (ABC) \) și \( MN \not\subset (ABC) \), aplicând criteriul de paralelism obținem \( MN \parallel (ABC) \).
În triunghiul \( VAB \), punctele \( M \) și \( N \) sunt mijloacele laturilor \( VA \), respectiv \( VB \).
Prin urmare, segmentul \( MN \) este linie mijlocie în \( \triangle VAB \).
Conform proprietății liniei mijlocii, \( MN \parallel AB \).
Deoarece \( AB \subset (ABC) \) și \( MN \not\subset (ABC) \), aplicând criteriul de paralelism obținem \( MN \parallel (ABC) \).
Dificilă: Planele \( \alpha \) și \( \beta \) se intersectează după dreapta \( d \) (\( \alpha \cap \beta = d \)). În planul \( \alpha \) se consideră o dreaptă \( a \) astfel încât \( a \parallel d \). Demonstrați că \( a \parallel \beta \).
Rezolvare:
Avem \( \alpha \cap \beta = d \), ceea ce înseamnă că dreapta \( d \) este inclusă în ambele plane: \( d \subset \alpha \) și \( d \subset \beta \).
Din ipoteză știm că dreapta \( a \) din planul \( \alpha \) este paralelă cu dreapta \( d \).
Deoarece \( a \parallel d \) și \( d \subset \beta \), iar dreapta \( a \) nu este inclusă în planul \( \beta \) (fiind în planul \( \alpha \) și paralelă cu intersecția lor), rezultă conform Teoremei fundamentale de paralelism că \( a \parallel \beta \).
Avem \( \alpha \cap \beta = d \), ceea ce înseamnă că dreapta \( d \) este inclusă în ambele plane: \( d \subset \alpha \) și \( d \subset \beta \).
Din ipoteză știm că dreapta \( a \) din planul \( \alpha \) este paralelă cu dreapta \( d \).
Deoarece \( a \parallel d \) și \( d \subset \beta \), iar dreapta \( a \) nu este inclusă în planul \( \beta \) (fiind în planul \( \alpha \) și paralelă cu intersecția lor), rezultă conform Teoremei fundamentale de paralelism că \( a \parallel \beta \).
