Cele mai importante aspecte ale lecției
Prisma regulată are ca bază un poligon regulat (toate laturile egale, unghiurile egale) și muchiile laterale perpendiculare pe bază.
Formule cheie:
Formule cheie:
- Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h \)
- Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} \)
- Volumul: \( \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h \)
Prisma dreaptă cu baza un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat) se numește prismă regulată.
Înălțimea prismei regulate coincide cu lungimea muchiei laterale și se notează, de regulă, cu \( h \). Latura poligonului de la bază se notează cu \( l \).
Cubul și paralelipipedul dreptunghic (cu baza pătrat) sunt cazuri particulare de prisme drepte, așadar toate regulile prismei regulate li se aplică.
Pentru a calcula ariile și volumul oricărei prisme regulate, se folosesc următoarele formule generale, unde \( \mathcal{P}_{bază} \) este perimetrul bazei, iar \( \mathcal{A}_{bază} \) este aria poligonului de la bază.
Aria laterală:
\[ \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h \]
sau suma ariilor tuturor fețelor laterale (care sunt dreptunghiuri identice): \( \mathcal{A}_{lat} = n \cdot \mathcal{A}_{față} \), unde \( n \) este numărul laturilor bazei.
Aria totală:
\[ \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} \]
Volumul:
\[ \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h \]
Deoarece tipul prismei regulate dictează forma bazei, pentru a aplica formulele de volum și arie totală, trebuie să cunoaștem aria poligoanelor regulate.
1. Prisma triunghiulară regulată (baza triunghi echilateral):
\[ \mathcal{A}_{bază} = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4} \]
\[ \mathcal{P}_{bază} = 3l \]
2. Prisma patrulateră regulată (baza pătrat):
\[ \mathcal{A}_{bază} = l^2 \]
\[ \mathcal{P}_{bază} = 4l \]
3. Prisma hexagonală regulată (baza hexagon regulat):
\[ \mathcal{A}_{bază} = \frac{3l^2 \sqrt{3}}{2} \]
\[ \mathcal{P}_{bază} = 6l \]
Dacă avem o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei \( l = 4 \) cm și înălțimea \( h = 10 \) cm, calculăm volumul astfel:
1. Aflăm aria bazei: \( \mathcal{A}_{bază} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) cm\(^2\).
2. Aplicăm formula volumului: \( \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 10 = 40\sqrt{3} \) cm\(^3\).
1. Aflăm aria bazei: \( \mathcal{A}_{bază} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) cm\(^2\).
2. Aplicăm formula volumului: \( \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 10 = 40\sqrt{3} \) cm\(^3\).
Probleme de exersare
Ușoară: O prismă patrulateră regulată are latura bazei \( l = 5 \) cm și înălțimea \( h = 8 \) cm. Calculați aria laterală și volumul prismei.
Baza este un pătrat, deci perimetrul bazei este \( \mathcal{P}_{bază} = 4 \cdot 5 = 20 \) cm, iar aria bazei este \( \mathcal{A}_{bază} = 5^2 = 25 \) cm\(^2\).
Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h = 20 \cdot 8 = 160 \) cm\(^2\).
Volumul: \( \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h = 25 \cdot 8 = 200 \) cm\(^3\).
Aria laterală: \( \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h = 20 \cdot 8 = 160 \) cm\(^2\).
Volumul: \( \mathcal{V} = \mathcal{A}_{bază} \cdot h = 25 \cdot 8 = 200 \) cm\(^3\).
Medie: Aria laterală a unei prisme triunghiulare regulate este de \( 144 \) cm\(^2\). Știind că înălțimea prismei este de \( 8 \) cm, aflați latura bazei și aria totală a prismei.
Din formula \( \mathcal{A}_{lat} = \mathcal{P}_{bază} \cdot h \), deducem perimetrul bazei:
\( 144 = \mathcal{P}_{bază} \cdot 8 \Rightarrow \mathcal{P}_{bază} = 144 : 8 = 18 \) cm.
Deoarece baza este un triunghi echilateral, \( \mathcal{P}_{bază} = 3l \Rightarrow 3l = 18 \Rightarrow l = 6 \) cm.
Calculăm aria bazei: \( \mathcal{A}_{bază} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \) cm\(^2\).
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \) cm\(^2\).
(Poate fi scris și sub formă factorizată: \( 18(8 + \sqrt{3}) \) cm\(^2\)).
\( 144 = \mathcal{P}_{bază} \cdot 8 \Rightarrow \mathcal{P}_{bază} = 144 : 8 = 18 \) cm.
Deoarece baza este un triunghi echilateral, \( \mathcal{P}_{bază} = 3l \Rightarrow 3l = 18 \Rightarrow l = 6 \) cm.
Calculăm aria bazei: \( \mathcal{A}_{bază} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \) cm\(^2\).
Aria totală: \( \mathcal{A}_{tot} = \mathcal{A}_{lat} + 2 \cdot \mathcal{A}_{bază} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \) cm\(^2\).
(Poate fi scris și sub formă factorizată: \( 18(8 + \sqrt{3}) \) cm\(^2\)).
Dificilă: Fie o prismă patrulateră regulată cu latura bazei \( l = 6 \) cm și înălțimea \( h = 8 \) cm. Calculați distanța de la un vârf al bazei superioare la diagonala corespunzătoare bazei inferioare (de exemplu, distanța de la \( A' \) la diagonala \( BD \), știind că prisma este \( ABCDA'B'C'D' \)).
Pentru a găsi distanța, aplicăm Teorema celor trei perpendiculare (T3\(\perp\)):
1. Muchia \( AA' \perp (ABC) \).
2. În planul bazei, fie \( \{O\} = AC \cap BD \). Deoarece \( ABCD \) este pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci \( AO \perp BD \).
3. Din T3\(\perp \Rightarrow A'O \perp BD \). Prin urmare, distanța de la \( A' \) la \( BD \) este lungimea segmentului \( A'O \).
Calculăm \( AO \), care este jumătate din diagonala pătratului: \( AO = \frac{l\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) cm.
În triunghiul dreptunghic \( A'AO \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora:
\( A'O^2 = AA'^2 + AO^2 = 8^2 + (3\sqrt{2})^2 = 64 + 18 = 82 \).
Distanța căutată este \( d(A', BD) = \sqrt{82} \) cm.
1. Muchia \( AA' \perp (ABC) \).
2. În planul bazei, fie \( \{O\} = AC \cap BD \). Deoarece \( ABCD \) este pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci \( AO \perp BD \).
3. Din T3\(\perp \Rightarrow A'O \perp BD \). Prin urmare, distanța de la \( A' \) la \( BD \) este lungimea segmentului \( A'O \).
Calculăm \( AO \), care este jumătate din diagonala pătratului: \( AO = \frac{l\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) cm.
În triunghiul dreptunghic \( A'AO \) (\( \sphericalangle A = 90^\circ \)), aplicăm Teorema lui Pitagora:
\( A'O^2 = AA'^2 + AO^2 = 8^2 + (3\sqrt{2})^2 = 64 + 18 = 82 \).
Distanța căutată este \( d(A', BD) = \sqrt{82} \) cm.
