Cele mai importante aspecte ale lecției
Lucrul mecanic (\( L \)): Măsoară transferul de energie provocat de o forță; \( L = F \cdot d \cdot \cos \alpha \). Este pozitiv (motor, \( \alpha < 90^\circ \)), negativ (rezistent, \( \alpha > 90^\circ \)) sau nul (\( \alpha = 90^\circ \)).
Puterea mecanică (\( P \)): Rata efectuării lucrului mecanic; \( P = \frac{L}{\Delta t} = F \cdot v \) (în wați, \( \text{W} \)).
Randamentul (\( \eta \)): Eficiența unui sistem; \( \eta = \frac{L_u}{L_c} \le 1 \) (sau \( \le 100\% \)).
Energia cinetică (\( E_c \)): Energia de mișcare; \( E_c = \frac{mv^2}{2} \). Variația ei este egală cu lucrul mecanic total: \( \Delta E_c = L_{\text{total}} \).
Energia potențială (\( E_p \)): Energia de poziție sau deformare:
Puterea mecanică (\( P \)): Rata efectuării lucrului mecanic; \( P = \frac{L}{\Delta t} = F \cdot v \) (în wați, \( \text{W} \)).
Randamentul (\( \eta \)): Eficiența unui sistem; \( \eta = \frac{L_u}{L_c} \le 1 \) (sau \( \le 100\% \)).
Energia cinetică (\( E_c \)): Energia de mișcare; \( E_c = \frac{mv^2}{2} \). Variația ei este egală cu lucrul mecanic total: \( \Delta E_c = L_{\text{total}} \).
Energia potențială (\( E_p \)): Energia de poziție sau deformare:
- Gravitațională: \( E_{pg} = mgh \) (depinde de înălțimea față de referință).
- Elastică: \( E_{pe} = \frac{k (\Delta l)^2}{2} \) (depinde de alungirea resortului).
Lucrul mecanic este mărimea fizică scalară ce caracterizează efortul depus de o forță pentru a deplasa punctul său de aplicație pe o anumită distanță.
În Sistemul Internațional, unitatea de măsură este joule-ul:
\[ [L]_{SI} = [F]_{SI} \cdot [d]_{SI} = \text{N} \cdot \text{m} = \text{J (joule)} \]
Un joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forță de \( 1\text{ N} \) când își deplasează punctul de aplicație pe o distanță de \( 1\text{ m} \) pe direcția și în sensul forței.
\[ L = F \cdot d \cdot \cos \alpha \]
unde \( F \) este modulul forței, \( d \) este distanța parcursă, iar \( \alpha \) este unghiul dintre direcția forței și direcția deplasării.
Tipuri de lucru mecanic în funcție de unghiul \( \alpha \):
- Lucru mecanic motor (\( L > 0 \)): forța favorizează mișcarea (\( 0^\circ \le \alpha < 90^\circ \)). Dacă forța este pe direcția și în sensul deplasării (\( \alpha = 0^\circ \)), atunci \( L = F \cdot d \).
- Lucru mecanic rezistent (\( L < 0 \)): forța se opune deplasării (\( 90^\circ < \alpha \le 180^\circ \)). Dacă forța acționează în sens opus deplasării (\( \alpha = 180^\circ \)), atunci \( L = -F \cdot d \) (ex.: forța de frecare).
- Lucru mecanic nul (\( L = 0 \)): forța este perpendiculară pe direcția deplasării (\( \alpha = 90^\circ \)) sau corpul nu se deplasează (\( d = 0 \)).
Lucrul mecanic este numeric egal cu aria figurii geometrice delimitate de graficul forței \( F(x) \) și axa deplasării \( Ox \).
Cazuri particulare uzuale:
- Forța de greutate: La coborârea pe verticală a unui corp de la înălțimea \( h \), \( L_G = mgh \) (lucru motor); la ridicare, \( L_G = -mgh \) (lucru rezistent).
- Forța elastică: La deformarea unui resort cu \( \Delta l \), lucrul mecanic rezistent al forței elastice este \( L_{el} = -\frac{k(\Delta l)^2}{2} \).
Un corp este tras pe o suprafață orizontală cu o forță de \( 50\text{ N} \) orientată sub un unghi de \( 60^\circ \) față de orizontală. Ce lucru mecanic efectuează forța pe o distanță de \( 10\text{ m} \)? (\( \cos 60^\circ = 0{,}5 \))
Se aplică formula generală:
\[ L = F \cdot d \cdot \cos \alpha = 50\text{ N} \cdot 10\text{ m} \cdot 0{,}5 = 250\text{ J} \]
Puterea mecanică este mărimea fizică scalară ce caracterizează rapiditatea cu care este efectuat un lucru mecanic (lucrul mecanic efectuat în unitatea de timp).
\[ P = \frac{L}{\Delta t} \]
Pentru o mișcare rectilinie uniformă (\( v = \frac{d}{\Delta t} \)), la un unghi \( \alpha \) între forță și viteză:
\[ P = F \cdot v \cdot \cos \alpha \]
Dacă forța și viteza au aceeași direcție și sens (\( \alpha = 0^\circ \)): \( P = F \cdot v \)
În Sistemul Internațional, unitatea de măsură este watt-ul:
\[ [P]_{SI} = \frac{[L]_{SI}}{[\Delta t]_{SI}} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W (watt)} \]
Un watt este puterea unui sistem care efectuează un lucru mecanic de \( 1\text{ J} \) într-o secundă.
- Calul-putere (CP): \( 1\text{ CP} \cong 736\text{ W} \) (reprezintă puterea dezvoltată pentru a ridica o masă de \( 75\text{ kg} \) la înălțimea de \( 1\text{ m} \) în timp de \( 1\text{ s} \)).
- Kilowatt-ora (kWh) (unitate de măsură pentru lucru mecanic/energie): \[ 1\text{ kWh} = 1\,000\text{ W} \cdot 3\,600\text{ s} = 3\,600\,000\text{ J} = 3{,}6\text{ MJ} \]
Motorul unei mașini dezvoltă o forță de tracțiune de \( 2\,000\text{ N} \) la o viteză constantă de \( 72\text{ km/h} \). Aflați puterea motorului în wați și în cai-putere.
Transformăm viteza în unități SI:
\[ v = 72\text{ km/h} = \frac{72\,000\text{ m}}{3\,600\text{ s}} = 20\text{ m/s} \]
Calculăm puterea:
\[ P = F \cdot v = 2\,000\text{ N} \cdot 20\text{ m/s} = 40\,000\text{ W} = 40\text{ kW} \]
Exprimată în cai-putere:
\[ P \cong \frac{40\,000}{736} \cong 54{,}35\text{ CP} \]
Randamentul mecanic (\( \eta \)) este mărimea fizică scalară egală cu raportul dintre lucrul mecanic util și lucrul mecanic consumat.
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{P_u}{P_c} \]
În procente: \( \eta = \frac{L_u}{L_c} \cdot 100\% \)
Lucrul mecanic consumat este întotdeauna mai mare decât lucrul mecanic util (\( L_c > L_u \)) din cauza apariției forțelor de frecare și rezistență. Prin urmare, randamentul este întotdeauna subunitar: \( \eta < 1 \) (sau \( \eta < 100\% \)).
Randamentul planului înclinat:
La urcarea uniformă a unui corp de masă \( m \) pe un plan înclinat de lungime \( l \) și înălțime \( h \) cu o forță de tracțiune \( F \): \[ L_u = mgh \quad \text{și} \quad L_c = F \cdot l \] \[ \eta = \frac{mgh}{F \cdot l} = \frac{mg \sin \alpha}{F} \quad \left(\text{unde } \sin \alpha = \frac{h}{l}\right) \]
La urcarea uniformă a unui corp de masă \( m \) pe un plan înclinat de lungime \( l \) și înălțime \( h \) cu o forță de tracțiune \( F \): \[ L_u = mgh \quad \text{și} \quad L_c = F \cdot l \] \[ \eta = \frac{mgh}{F \cdot l} = \frac{mg \sin \alpha}{F} \quad \left(\text{unde } \sin \alpha = \frac{h}{l}\right) \]
Un corp cu masa de \( 60\text{ kg} \) este ridicat la înălțimea de \( 2\text{ m} \) de-a lungul unui plan înclinat lung de \( 5\text{ m} \), exercitând o forță de tracțiune paralelă cu planul de \( 300\text{ N} \). Determinați randamentul planului înclinat (\( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
Calculăm lucrul mecanic util:
\[ L_u = mgh = 60\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 2\text{ m} = 1\,200\text{ J} \]
Calculăm lucrul mecanic consumat:
\[ L_c = F \cdot l = 300\text{ N} \cdot 5\text{ m} = 1\,500\text{ J} \]
Calculăm randamentul:
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{1\,200\text{ J}}{1\,500\text{ J}} = 0{,}8 = 80\% \]
Energia cinetică (\( E_c \)) reprezintă energia pe care o posedă un corp datorită stării sale de mișcare în raport cu un sistem de referință.
\[ E_c = \frac{m v^2}{2} \]
unde \( m \) este masa corpului, iar \( v \) este viteza acestuia.
Energia cinetică este o mărime scalară, totdeauna pozitivă (\( E_c \ge 0 \)), depinde de pătratul vitezei (nu de direcția sau sensul deplasării) și se măsoară în jouli (\( \text{J} \)). Dacă un corp este în repaus (\( v = 0 \)), atunci \( E_c = 0 \).
Teorema variației energiei cinetice:
Variația energiei cinetice a unui corp între două stări este egală cu lucrul mecanic total efectuat de rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului în acel interval: \[ \Delta E_c = E_{c_f} - E_{c_i} = L_{\text{total}} \]
Variația energiei cinetice a unui corp între două stări este egală cu lucrul mecanic total efectuat de rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului în acel interval: \[ \Delta E_c = E_{c_f} - E_{c_i} = L_{\text{total}} \]
O mașină cu masa de \( 1\,200\text{ kg} \) accelerează de la \( 10\text{ m/s} \) la \( 20\text{ m/s} \). Ce lucru mecanic total au efectuat forțele ce acționează asupra mașinii?
Conform teoremei variației energiei cinetice:
\[ L_{\text{total}} = \Delta E_c = \frac{m v_f^2}{2} - \frac{m v_i^2}{2} = \frac{m}{2}(v_f^2 - v_i^2) \]
\[ L_{\text{total}} = \frac{1\,200\text{ kg}}{2} \left((20\text{ m/s})^2 - (10\text{ m/s})^2\right) = 600 \cdot (400 - 100) = 180\,000\text{ J} = 180\text{ kJ} \]
Energia potențială (\( E_p \)) este energia asociată poziției relative a părților componente ale unui sistem fizic, determinată de interacțiunile dintre acestea.
1. Energia potențială gravitațională (\( E_{pg} \)):
\[ E_{pg} = mgh \]
unde \( m \) este masa, \( g \) este accelerația gravitațională, iar \( h \) este înălțimea față de nivelul de referință ales arbitrar (\( E_{pg} = 0 \)).
2. Energia potențială elastică (\( E_{pe} \)):
\[ E_{pe} = \frac{k (\Delta l)^2}{2} \]
unde \( k \) este constanta elastică a resortului, iar \( \Delta l \) este alungirea sau comprimarea față de starea nedeformată.
Unitatea de măsură pentru orice formă de energie potențială în SI este joule-ul (\( \text{J} \)).
Un resort cu constanta elastică \( k = 200\text{ N/m} \) este comprimat cu \( 4\text{ cm} \). Determinați energia potențială elastică înmagazinată în resort.
Transformăm deformarea în metri: \( \Delta l = 4\text{ cm} = 0{,}04\text{ m} \).
\[ E_{pe} = \frac{k (\Delta l)^2}{2} = \frac{200\text{ N/m} \cdot (0{,}04\text{ m})^2}{2} = 100 \cdot 0{,}0016 = 0{,}16\text{ J} \]
Energia mecanică totală (\( E \)) a unui sistem este egală cu suma dintre energia cinetică și energia potențială a acestuia:
\[ E = E_c + E_p \]
Legea conservării energiei mecanice:
Într-un sistem fizic izolat în care nu se manifestă forțe disipative (forțe de frecare, rezistență a aerului), energia mecanică totală este constantă în timp: \[ E = \text{constant} \iff E_{\text{inițial}} = E_{\text{final}} \] \[ E_{c_i} + E_{p_i} = E_{c_f} + E_{p_f} \]
Într-un sistem fizic izolat în care nu se manifestă forțe disipative (forțe de frecare, rezistență a aerului), energia mecanică totală este constantă în timp: \[ E = \text{constant} \iff E_{\text{inițial}} = E_{\text{final}} \] \[ E_{c_i} + E_{p_i} = E_{c_f} + E_{p_f} \]
Exemple de transformare a energiei:
- Cădere liberă: Pe măsură ce corpul coboară, înălțimea scade (\( E_p \) scade) și viteza crește (\( E_c \) crește). La baza căderii, toată energia potențială se transformă în energie cinetică: \( mgh = \frac{mv^2}{2} \implies v = \sqrt{2gh} \).
- Tobogan / Roller coaster: În vârful celei mai înalte pante energia este pur potențială; la coborâre devine preponderent cinetică, transformându-se ciclic între cele două forme.
Interdisciplinaritate: Energia furnizată de alimente este adesea exprimată în calorii (\( \text{cal} \)) sau kilocalorii (\( \text{kcal} \)):
\[ 1\text{ cal} \cong 4{,}2\text{ J} \implies 1\text{ kcal} \cong 4\,200\text{ J} \]
Un corp este lăsat să cadă liber fără frecare de la înălțimea de \( 20\text{ m} \) față de sol (\( v_0 = 0 \)). Cu ce viteză atinge solul? (\( g = 10\text{ m/s}^2 \))
Conform conservării energiei mecanice (\( E_i = E_f \)):
\[ mgh + 0 = 0 + \frac{mv^2}{2} \implies v = \sqrt{2gh} \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 20\text{ m}} = \sqrt{400} = 20\text{ m/s} \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): O macara ridică vertical și uniform un container cu masa de \( 400\text{ kg} \) la înălțimea de \( 15\text{ m} \) în timp de \( 30\text{ s} \). Se consideră \( g = 10\text{ m/s}^2 \).
a) Aflați lucrul mecanic efectuat de forța de tracțiune a macaralei.
b) Calculați puterea mecanică dezvoltată de macara.
a) Aflați lucrul mecanic efectuat de forța de tracțiune a macaralei.
b) Calculați puterea mecanică dezvoltată de macara.
Ridicarea fiind uniformă, forța de tracțiune este egală în modul cu greutatea:
\[ F = G = mg = 400\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 = 4\,000\text{ N} \]
a) Lucrul mecanic:
\[ L = F \cdot h = 4\,000\text{ N} \cdot 15\text{ m} = 60\,000\text{ J} = 60\text{ kJ} \]
b) Puterea mecanică medie:
\[ P = \frac{L}{\Delta t} = \frac{60\,000\text{ J}}{30\text{ s}} = 2\,000\text{ W} = 2\text{ kW} \]
Problema 2 (Medie): O mașină cu masa de \( 1\,000\text{ kg} \) se deplasează pe o șosea orizontală cu viteza de \( 72\text{ km/h} \). La acționarea frânelor, mașina se oprește complet după o distanță de \( 40\text{ m} \). Determinați mărimea forței medii de frânare care a acționat asupra mașinii.
Viteza inițială în unități SI este:
\[ v_i = 72\text{ km/h} = 20\text{ m/s}, \quad v_f = 0 \]
Aplicăm teorema variației energiei cinetice:
\[ \Delta E_c = L_{\text{total}} \implies E_{cf} - E_{ci} = L_{F_f} \]
\[ 0 - \frac{m v_i^2}{2} = -F_f \cdot d \]
\[ F_f = \frac{m v_i^2}{2d} \]
Înlocuim valorile numerice:
\[ F_f = \frac{1\,000\text{ kg} \cdot (20\text{ m/s})^2}{2 \cdot 40\text{ m}} = \frac{1\,000 \cdot 400}{80} = 5\,000\text{ N} \]
Problema 3 (Medie): O minge cu masa de \( 200\text{ g} \) este aruncată vertical în sus de la suprafața solului cu viteza inițială de \( 10\text{ m/s} \). Neglijând rezistența aerului și luând \( g = 10\text{ m/s}^2 \):
a) Calculați energia mecanică inițială a mingii față de sol.
b) Determinați înălțimea maximă la care ajunge mingea.
c) Aflați la ce înălțime energia cinetică a mingii devine egală cu energia sa potențială.
a) Calculați energia mecanică inițială a mingii față de sol.
b) Determinați înălțimea maximă la care ajunge mingea.
c) Aflați la ce înălțime energia cinetică a mingii devine egală cu energia sa potențială.
Masa mingii este \( m = 200\text{ g} = 0{,}2\text{ kg} \).
a) La sol (\( h = 0 \)), energia potențială este nulă: \[ E = E_c = \frac{m v_0^2}{2} = \frac{0{,}2\text{ kg} \cdot (10\text{ m/s})^2}{2} = 10\text{ J} \] b) La înălțimea maximă \( h_{\text{max}} \), viteza este zero (\( E_c = 0 \)), deci toată energia este potențială: \[ E = mgh_{\text{max}} \implies h_{\text{max}} = \frac{E}{mg} = \frac{10\text{ J}}{0{,}2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2} = 5\text{ m} \] c) Când \( E_c = E_p \), energia mecanică totală este: \[ E = E_c + E_p = 2 E_p = 2 mgh' \] \[ h' = \frac{E}{2mg} = \frac{5\text{ m}}{2} = 2{,}5\text{ m} \]
a) La sol (\( h = 0 \)), energia potențială este nulă: \[ E = E_c = \frac{m v_0^2}{2} = \frac{0{,}2\text{ kg} \cdot (10\text{ m/s})^2}{2} = 10\text{ J} \] b) La înălțimea maximă \( h_{\text{max}} \), viteza este zero (\( E_c = 0 \)), deci toată energia este potențială: \[ E = mgh_{\text{max}} \implies h_{\text{max}} = \frac{E}{mg} = \frac{10\text{ J}}{0{,}2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2} = 5\text{ m} \] c) Când \( E_c = E_p \), energia mecanică totală este: \[ E = E_c + E_p = 2 E_p = 2 mgh' \] \[ h' = \frac{E}{2mg} = \frac{5\text{ m}}{2} = 2{,}5\text{ m} \]
Problema 4 (Dificilă): Un corp cu masa de \( 50\text{ kg} \) este urcat uniform pe un plan înclinat de lungime \( l = 10\text{ m} \) și înălțime \( h = 6\text{ m} \) sub acțiunea unei forțe de tracțiune paralelă cu planul \( F = 400\text{ N} \) (\( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
a) Calculați randamentul planului înclinat.
b) Determinați mărimea forței de frecare ce se opune mișcării pe planul înclinat.
a) Calculați randamentul planului înclinat.
b) Determinați mărimea forței de frecare ce se opune mișcării pe planul înclinat.
a) Lucrul mecanic util este cel necesar ridicării verticale a greutății:
\[ L_u = mgh = 50\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ m} = 3\,000\text{ J} \]
Lucrul mecanic consumat de forța de tracțiune:
\[ L_c = F \cdot l = 400\text{ N} \cdot 10\text{ m} = 4\,000\text{ J} \]
Randamentul planului înclinat:
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{3\,000\text{ J}}{4\,000\text{ J}} = 0{,}75 = 75\% \]
b) Lucrul mecanic consumat acoperă lucrul mecanic util și lucrul mecanic rezistent efectuat împotriva forței de frecare:
\[ L_c = L_u + |L_{F_f}| \implies |L_{F_f}| = L_c - L_u = 4\,000\text{ J} - 3\,000\text{ J} = 1\,000\text{ J} \]
Cum \( |L_{F_f}| = F_f \cdot l \), rezultă:
\[ F_f = \frac{|L_{F_f}|}{l} = \frac{1\,000\text{ J}}{10\text{ m}} = 100\text{ N} \]
