Cele mai importante aspecte ale lecției
Energia potențială elastică: Se calculează cu relația \( E_{pe} = \frac{k\Delta l^2}{2} \) și depinde de rigiditatea resortului (\( k \)) și de pătratul deformării acestuia (\( \Delta l \)). Starea de referință cu energie nulă este cea nedeformată.
Energia mecanică totală: Reprezintă suma energiei cinetice și a celei potențiale: \( E = E_c + E_p \).
Legea conservării energiei mecanice: Într-un sistem izolat fără forțe de frecare, energia mecanică nu se modifică în timp (\( E_{\text{inițial}} = E_{\text{final}} \)). Energia cinetică se transformă în energie potențială și invers, păstrând suma totală constantă.
Principiul general al conservării: Energia nu poate fi creată din nimic și nici distrusă, ci doar transformată dintr-o formă în alta (chimică, mecanică, termică, electrică, radiantă).
Energia mecanică totală: Reprezintă suma energiei cinetice și a celei potențiale: \( E = E_c + E_p \).
Legea conservării energiei mecanice: Într-un sistem izolat fără forțe de frecare, energia mecanică nu se modifică în timp (\( E_{\text{inițial}} = E_{\text{final}} \)). Energia cinetică se transformă în energie potențială și invers, păstrând suma totală constantă.
Principiul general al conservării: Energia nu poate fi creată din nimic și nici distrusă, ci doar transformată dintr-o formă în alta (chimică, mecanică, termică, electrică, radiantă).
Energia potențială elastică (\( E_{pe} \)) este energia înmagazinată într-un sistem corp-resort atunci când resortul este deformat (alungit sau comprimat).
\[ E_{pe} = \frac{k\Delta l^2}{2} \]
unde \( k \) este constanta elastică a resortului, iar \( \Delta l \) reprezintă deformarea (alungirea sau comprimarea).
În Sistemul Internațional (S.I.), energia se măsoară în Jouli (\(\text{J}\)), constanta elastică în Newtoni pe metru (\(\text{N/m}\)), iar alungirea în metri (\(\text{m}\)).
Configurația de referință căreia îi corespunde o energie potențială nulă (\( E_{pe} = 0 \)) este starea în care resortul este nedeformat (\( \Delta l = 0 \)).
Prin comprimarea cu \( \Delta l = 5\text{ cm} \) a resortului unui pistol de jucărie, o tijă este pregătită pentru lansare. Știind că resortul are constanta elastică \( k = 100\text{ N/m} \), calculați energia potențială elastică înmagazinată.
Transformăm deformarea în unități S.I.:
\[ \Delta l = 5\text{ cm} = 0,05\text{ m} \]
Aplicăm formula energiei potențiale elastice:
\[ E_{pe} = \frac{k\Delta l^2}{2} = \frac{100\text{ N/m} \cdot (0,05\text{ m})^2}{2} = \frac{100 \cdot 0,0025}{2} = 0,125\text{ J} \]
Răspuns: Energia înmagazinată este de \( 0,125\text{ J} \).
Energia unui sistem se modifică atunci când forțele care acționează asupra lui efectuează lucru mecanic. Energia nu se pierde, ci se transferă sau se transformă continuu dintr-o formă în alta.
Forme principale de energie:
- Energie cinetică (\( E_c \)): energia datorată mișcării corpurilor;
- Energie potențială (\( E_p \)): energia de poziție sau de configurare a unui sistem (gravitațională sau elastică);
- Energie chimică: înmagazinată în combustibili, alimente sau baterii, eliberată prin reacții chimice;
- Energie termică: energia legată de agitația termică a particulelor, transferată sub formă de căldură;
- Energie electrică: energia asociată sarcinilor electrice în mișcare;
- Energie radiantă (luminoasă) și nucleară: energia transportată de unde electromagnetice, respectiv energia din nucleele atomilor.
| Banii sunt ca energia | Banii NU sunt ca energia |
|---|---|
| Pot lua diferite forme (monede, bancnote, cont bancar). | Banii pot fi creați sau distruși. |
| Se pot transfera sau transforma fără a modifica suma totală. | Energia NU poate fi creată și NU poate fi distrusă! |
| Pot fi acumulați sau cheltuiți. | Cantitatea totală de energie din univers rămâne strict constantă. |
Exemple de transformări de energie:
- Chimică \(\to\) Cinetică: substanțele nutritive din alimente sunt utilizate de mușchi pentru a pedala o bicicletă;
- Radiantă \(\to\) Chimică: lumina solară este absorbită de plante în procesul de fotosinteză;
- Electrică \(\to\) Termică: curentul electric încălzește rezistența unui reșou.
Energia mecanică totală (\( E \)) a unui sistem reprezintă suma energiei potențiale și a energiei cinetice ale sistemului.
\[ E = E_c + E_p \]
unde \( E_c = \frac{mv^2}{2} \), iar \( E_p = E_{pg} + E_{pe} = mgh + \frac{k\Delta l^2}{2} \).
Un avion cu masa \( m = 560\text{ t} = 560\,000\text{ kg} \) zboară la o altitudine \( h = 12\,000\text{ m} \) cu viteza \( v = 990\text{ km/h} = 275\text{ m/s} \). Avionul are atât energie cinetică (fiind în mișcare), cât și energie potențială gravitațională (față de Pământ):
\[ E_c = \frac{mv^2}{2} \cong 2,12 \cdot 10^{10}\text{ J} \]
\[ E_p = mgh = 560\,000 \cdot 9,81 \cdot 12\,000 \cong 6,59 \cdot 10^{10}\text{ J} \]
\[ E = E_c + E_p \cong 8,71 \cdot 10^{10}\text{ J} \]
O minge cu masa de \( 500\text{ g} \) este aruncată de la înălțimea de \( 1,7\text{ m} \) cu viteza inițială de \( 4\text{ m/s} \). Calculați energia mecanică a mingii față de sol în momentul aruncării (\( g = 10\text{ m/s}^2 \)).
Transformăm masa în unități S.I.: \( m = 500\text{ g} = 0,5\text{ kg} \).
Energia cinetică este: \[ E_c = \frac{mv^2}{2} = \frac{0,5\text{ kg} \cdot (4\text{ m/s})^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 16}{2} = 4\text{ J} \] Energia potențială gravitațională față de sol este: \[ E_p = mgh = 0,5\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 1,7\text{ m} = 8,5\text{ J} \] Energia mecanică totală este: \[ E = E_c + E_p = 4\text{ J} + 8,5\text{ J} = 12,5\text{ J} \]
Energia cinetică este: \[ E_c = \frac{mv^2}{2} = \frac{0,5\text{ kg} \cdot (4\text{ m/s})^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 16}{2} = 4\text{ J} \] Energia potențială gravitațională față de sol este: \[ E_p = mgh = 0,5\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2 \cdot 1,7\text{ m} = 8,5\text{ J} \] Energia mecanică totală este: \[ E = E_c + E_p = 4\text{ J} + 8,5\text{ J} = 12,5\text{ J} \]
Legea conservării energiei mecanice: Energia mecanică totală a unui sistem izolat (asupra căruia nu acționează forțe din exterior sau forțe de frecare) este constantă în timp, adică se conservă.
\[ E = \text{const} \iff E_{\text{inițial}} = E_{\text{final}} \]
„În natură nimic nu se pierde, nimic nu se câștigă, totul se transformă.” - Antoine Lavoisier
Căderea liberă a unui corp:
La înălțimea inițială, viteza este nulă, corpul având energie mecanică formată exclusiv din energie potențială (\( E = E_p = mgh \)). Pe măsură ce corpul cade, înălțimea scade (\( E_p \) scade), iar viteza crește (\( E_c \) crește). La baza căderii, întreaga energie potențială s-a transformat în energie cinetică (\( E = E_c = \frac{mv^2}{2} \)). În fiecare punct intermediar al traiectoriei, suma \( E_p + E_c \) este aceeași.
La înălțimea inițială, viteza este nulă, corpul având energie mecanică formată exclusiv din energie potențială (\( E = E_p = mgh \)). Pe măsură ce corpul cade, înălțimea scade (\( E_p \) scade), iar viteza crește (\( E_c \) crește). La baza căderii, întreaga energie potențială s-a transformat în energie cinetică (\( E = E_c = \frac{mv^2}{2} \)). În fiecare punct intermediar al traiectoriei, suma \( E_p + E_c \) este aceeași.
Un corp de \( 0,5\text{ kg} \) este lăsat să cadă liber de la înălțimea de \( 20\text{ m} \) fără viteză inițială. Neglijând frecarea cu aerul și luând \( g = 10\text{ m/s}^2 \), care va fi energia cinetică a corpului la jumătatea înălțimii de cădere?
Energia mecanică inițială este:
\[ E = E_{p0} = mgh_0 = 0,5 \cdot 10 \cdot 20 = 100\text{ J} \]
La jumătatea înălțimii (\( h = 10\text{ m} \)), energia potențială devine:
\[ E_p = mgh = 0,5 \cdot 10 \cdot 10 = 50\text{ J} \]
Conform legii conservării energiei mecanice:
\[ E_c + E_p = E \implies E_c = E - E_p = 100\text{ J} - 50\text{ J} = 50\text{ J} \]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Care dintre cele două obiecte are o energie potențială elastică mai mare: un resort cu constanta elastică \( k_1 = 100\text{ N/m} \) alungit cu \( \Delta l_1 = 0,01\text{ m} \) sau un resort cu constanta \( k_2 = 50\text{ N/m} \) alungit cu \( \Delta l_2 = 5\text{ cm} \)?
Calculăm energia pentru fiecare resort:
Pentru primul resort: \[ E_{pe1} = \frac{k_1 \Delta l_1^2}{2} = \frac{100 \cdot (0,01)^2}{2} = \frac{100 \cdot 0,0001}{2} = 0,005\text{ J} \] Pentru al doilea resort (\( \Delta l_2 = 5\text{ cm} = 0,05\text{ m} \)): \[ E_{pe2} = \frac{k_2 \Delta l_2^2}{2} = \frac{50 \cdot (0,05)^2}{2} = \frac{50 \cdot 0,0025}{2} = 0,0625\text{ J} \] Răspuns: Al doilea resort are o energie potențială elastică mai mare (\( 0,0625\text{ J} > 0,005\text{ J} \)).
Pentru primul resort: \[ E_{pe1} = \frac{k_1 \Delta l_1^2}{2} = \frac{100 \cdot (0,01)^2}{2} = \frac{100 \cdot 0,0001}{2} = 0,005\text{ J} \] Pentru al doilea resort (\( \Delta l_2 = 5\text{ cm} = 0,05\text{ m} \)): \[ E_{pe2} = \frac{k_2 \Delta l_2^2}{2} = \frac{50 \cdot (0,05)^2}{2} = \frac{50 \cdot 0,0025}{2} = 0,0625\text{ J} \] Răspuns: Al doilea resort are o energie potențială elastică mai mare (\( 0,0625\text{ J} > 0,005\text{ J} \)).
Problemă 2 (Medie): De la o înălțime de \( 30\text{ m} \), un corp cu masa de \( 0,5\text{ kg} \) este lansat vertical de sus în jos cu viteza inițială de \( 5\text{ m/s} \). Se neglijează rezistența aerului și se consideră \( g = 10\text{ m/s}^2 \).
a) Calculați energia mecanică inițială a corpului față de sol;
b) Determinați viteza corpului în momentul impactului cu solul.
a) Calculați energia mecanică inițială a corpului față de sol;
b) Determinați viteza corpului în momentul impactului cu solul.
a) Calculul energiei mecanice inițiale:
\[ E_c = \frac{m v_0^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 5^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 25}{2} = 6,25\text{ J} \]
\[ E_p = mgh = 0,5 \cdot 10 \cdot 30 = 150\text{ J} \]
\[ E = E_c + E_p = 6,25\text{ J} + 150\text{ J} = 156,25\text{ J} \]
b) Viteza la sol: La sol, înălțimea este \( h = 0 \), deci toată energia mecanică este energie cinetică: \[ E = E_{c,\text{sol}} \implies \frac{m v^2}{2} = 156,25\text{ J} \] \[ v^2 = \frac{2 \cdot 156,25}{0,5} = 625 \implies v = \sqrt{625} = 25\text{ m/s} \] Răspuns: Energia inițială este de \( 156,25\text{ J} \), iar viteza la sol este de \( 25\text{ m/s} \).
b) Viteza la sol: La sol, înălțimea este \( h = 0 \), deci toată energia mecanică este energie cinetică: \[ E = E_{c,\text{sol}} \implies \frac{m v^2}{2} = 156,25\text{ J} \] \[ v^2 = \frac{2 \cdot 156,25}{0,5} = 625 \implies v = \sqrt{625} = 25\text{ m/s} \] Răspuns: Energia inițială este de \( 156,25\text{ J} \), iar viteza la sol este de \( 25\text{ m/s} \).
Problemă 3 (Dificilă): O bilă din plumb este suspendată printr-un fir inextensibil de lungime \( l = 1\text{ m} \). Bila este deviată din poziția de echilibru \( B \) în punctul \( A \), unde are o energie potențială de \( 0,5\text{ J} \) față de nivelul punctului \( B \). Din punctul \( A \), bila este aruncată cu o viteză inițială \( v = 4\text{ m/s} \). Se consideră \( g = 10\text{ m/s}^2 \) și se neglijează frecările.
a) Determinați masa bilei;
b) Calculați energia mecanică totală în punctul \( A \) față de nivelul lui \( B \);
c) Aflați viteza bilei în momentul trecerii prin punctul cel mai de jos (\( B \)).
a) Determinați masa bilei;
b) Calculați energia mecanică totală în punctul \( A \) față de nivelul lui \( B \);
c) Aflați viteza bilei în momentul trecerii prin punctul cel mai de jos (\( B \)).
a) Aflarea masei:
Știm că diferența de nivel corespunde firului deviat la \( 90^\circ \) sau că \( E_p = mgh = 0,5\text{ J} \), unde \( h \) este înălțimea punctului \( A \) față de \( B \). Dacă punctul \( A \) se află la nivelul suspensiei (\( h = l = 1\text{ m} \)):
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \implies 0,5 = m \cdot 10 \cdot 1 \implies m = \frac{0,5}{10} = 0,05\text{ kg} = 50\text{ g} \]
b) Energia mecanică în punctul A: \[ E_c(A) = \frac{mv^2}{2} = \frac{0,05 \cdot 4^2}{2} = \frac{0,05 \cdot 16}{2} = 0,4\text{ J} \] \[ E(A) = E_p(A) + E_c(A) = 0,5\text{ J} + 0,4\text{ J} = 0,9\text{ J} \]
c) Viteza în punctul B: În punctul \( B \), nivelul de referință este \( h_B = 0 \), deci \( E_p(B) = 0 \). Conform conservării energiei mecanice: \[ E(B) = E(A) = 0,9\text{ J} \implies \frac{m v_B^2}{2} = 0,9\text{ J} \] \[ v_B^2 = \frac{2 \cdot 0,9}{0,05} = 36 \implies v_B = 6\text{ m/s} \] Răspuns: Masa bilei este \( 0,05\text{ kg} \), energia mecanică în \( A \) este \( 0,9\text{ J} \), iar viteza în \( B \) este \( 6\text{ m/s} \).
b) Energia mecanică în punctul A: \[ E_c(A) = \frac{mv^2}{2} = \frac{0,05 \cdot 4^2}{2} = \frac{0,05 \cdot 16}{2} = 0,4\text{ J} \] \[ E(A) = E_p(A) + E_c(A) = 0,5\text{ J} + 0,4\text{ J} = 0,9\text{ J} \]
c) Viteza în punctul B: În punctul \( B \), nivelul de referință este \( h_B = 0 \), deci \( E_p(B) = 0 \). Conform conservării energiei mecanice: \[ E(B) = E(A) = 0,9\text{ J} \implies \frac{m v_B^2}{2} = 0,9\text{ J} \] \[ v_B^2 = \frac{2 \cdot 0,9}{0,05} = 36 \implies v_B = 6\text{ m/s} \] Răspuns: Masa bilei este \( 0,05\text{ kg} \), energia mecanică în \( A \) este \( 0,9\text{ J} \), iar viteza în \( B \) este \( 6\text{ m/s} \).
