Cele mai importante aspecte ale lecției
Compunerea forțelor: Determinarea rezultantei \(\vec{R}\), forța echivalentă care produce același efect ca toate forțele sistemului: \(\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\).
Regula paralelogramului: Metodă geometrică pentru 2 forțe concurente cu aceeași origine; rezultanta este diagonala ce pornește din originea comună a paralelogramului format de cei doi vectori.
Formula de calcul a modulului: \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}\). Pentru \(\alpha = 90^\circ\), relația devine teorema lui Pitagora: \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\).
Regula poligonului: Se folosește pentru mai mulți vectori așezați cap-la-coadă (originea următorului în vârful precedentului). Rezultanta închide poligonul, pornind din originea primului vector până în vârful ultimului.
Regula paralelogramului: Metodă geometrică pentru 2 forțe concurente cu aceeași origine; rezultanta este diagonala ce pornește din originea comună a paralelogramului format de cei doi vectori.
Formula de calcul a modulului: \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}\). Pentru \(\alpha = 90^\circ\), relația devine teorema lui Pitagora: \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\).
Regula poligonului: Se folosește pentru mai mulți vectori așezați cap-la-coadă (originea următorului în vârful precedentului). Rezultanta închide poligonul, pornind din originea primului vector până în vârful ultimului.
Compunerea forțelor reprezintă operația de determinare a unei forțe unice, numită rezultantă, care produce asupra unui corp același efect mecanic ca întregul sistem de forțe considerat.
Suma vectorială a două forțe se notează:
\[ \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \]
Relația vectorială \(\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\) indică o compunere geometrică (vectorială) și nu trebuie confundată cu adunarea algebrică a valorilor numerice ale forțelor (\(R \neq F_1 + F_2\), în general).
Ce este forța rezultantă a unui sistem de forțe?
Forța rezultantă este acea forță unică ce înlocuiește sistemul de forțe și produce asupra corpului exact același efect mecanic ca toate forțele din sistem acționând simultan.
Regula paralelogramului este o metodă de construcție geometrică utilizată pentru determinarea rezultantei a două forțe concurente (forțe ale căror direcții se intersectează într-un punct comun).
Alegerea scării: Se stabilește o scară convenabilă de reprezentare (de exemplu, \(1\text{ cm} \mathrel{\hat{=}} 100\text{ N}\)).
Reprezentarea vectorilor: Se desenează cei doi vectori forță \(\vec{F}_1\) și \(\vec{F}_2\) pornind din același punct comun de aplicație \(O\), respectând direcțiile, unghiul format între direcții (măsurat cu raportorul) și lungimile corespunzătoare scării alese.
Construcția paralelogramului: Prin vârful forței \(\vec{F}_1\) se trasează o paralelă la direcția forței \(\vec{F}_2\), iar prin vârful forței \(\vec{F}_2\) se trasează o paralelă la direcția forței \(\vec{F}_1\). Punctul lor de intersecție formează al patrulea vârf al paralelogramului.
Trasarea rezultantei: Se desenează vectorul rezultantă \(\vec{R}\), reprezentat de diagonala paralelogramului care are originea în punctul comun de aplicație \(O\).
Mărimea (modulul) rezultantei se află măsurând lungimea diagonalei cu rigla și înmulțind cu valoarea scării, iar direcția se indică prin unghiul \(\phi\) format de rezultantă cu una dintre direcțiile forțelor componente (măsurat cu raportorul).
Două forțe concurente cu mărimile de \(300\text{ N}\) și \(400\text{ N}\) sunt reprezentate la scara \(1\text{ cm} \mathrel{\hat{=}} 100\text{ N}\). Ce lungimi vor avea segmentele ce reprezintă cei doi vectori?
Pentru forța de \(300\text{ N}\): lungimea segmentului este \(\frac{300}{100} = 3\text{ cm}\).
Pentru forța de \(400\text{ N}\): lungimea segmentului este \(\frac{400}{100} = 4\text{ cm}\).
Pentru forța de \(400\text{ N}\): lungimea segmentului este \(\frac{400}{100} = 4\text{ cm}\).
\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha} \]
\(F_1, F_2\) sunt mărimile celor două forțe componente, iar \(\alpha\) este unghiul format între direcțiile forțelor.
Cazuri particulare importante:
- Forțe perpendiculare (\(\alpha = 90^\circ\), \(\cos 90^\circ = 0\)): \[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \]
- Forțe cu aceeași direcție și același sens (\(\alpha = 0^\circ\), \(\cos 0^\circ = 1\)): \[ R = F_1 + F_2 \]
- Forțe cu aceeași direcție și sensuri contrare (\(\alpha = 180^\circ\), \(\cos 180^\circ = -1\)): \[ R = |F_1 - F_2| \]
Dacă \(F_1 = 30\text{ N}\), \(F_2 = 40\text{ N}\) și \(\alpha = 60^\circ\) (\(\cos 60^\circ = 0{,}5\)):
\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2 + 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 0{,}5} = \sqrt{900 + 1600 + 1200} = \sqrt{3700} \approx 60{,}82\text{ N} \]
Calculați modulul rezultantei a două forțe perpendiculare cu mărimile \(F_1 = 3\text{ N}\) și \(F_2 = 4\text{ N}\).
Fiind perpendiculare, unghiul este \(\alpha = 90^\circ\):
\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ N} \]
Regula poligonului este o metodă grafică utilizată pentru compunerea a trei sau mai mulți vectori (forțe), prin așezarea lor succesivă (cap-la-coadă).
Se alege un punct de pornire și se trasează primul vector forță \(\vec{F}_1\).
În vârful primului vector se plasează originea celui de-al doilea vector \(\vec{F}_2\), păstrând mărimea, direcția și sensul acestuia.
În vârful celui de-al doilea vector se plasează originea celui de-al treilea vector \(\vec{F}_3\) și se repetă procedura pentru toți vectorii rămași.
Rezultanta \(\vec{R}\) este vectorul care închide poligonul: pornește din originea primului vector și are vârful în vârful ultimului vector adăugat.
Pentru două forțe, această regulă se reduce la metoda triunghiului forțelor, fiind echivalentă ca rezultat cu regula paralelogramului.
Ce orientare are vectorul rezultantă determinat prin regula poligonului?
Vectorul rezultantă are originea în punctul de aplicație al primului vector și vârful orientat spre vârful ultimului vector din lanțul poligonal.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Asupra unui punct material acționează două forțe orizontale cu mărimile \(F_1 = 12\text{ N}\) și \(F_2 = 5\text{ N}\), orientate perpendicular una pe cealaltă. Să se determine modulul rezultantei forțelor.
Deoarece forțele sunt perpendiculare, unghiul dintre direcțiile lor este \(\alpha = 90^\circ\).
Aplicăm formula pentru cazul forțelor perpendiculare: \[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \] \[ R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ N} \] Răspuns: Modulul forței rezultante este \(R = 13\text{ N}\).
Aplicăm formula pentru cazul forțelor perpendiculare: \[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \] \[ R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ N} \] Răspuns: Modulul forței rezultante este \(R = 13\text{ N}\).
Problema 2 (Medie): Două forțe concurente de mărimi egale, \(F_1 = F_2 = 10\text{ N}\), acționează asupra aceluiași punct sub un unghi de \(120^\circ\) (\(\cos 120^\circ = -0{,}5\)). Determinați modulul rezultantei acestora.
Folosim formula generală a modulului rezultantei:
\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha} \]
Înlocuim datele numerice:
\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-0{,}5)} \]
\[ R = \sqrt{100 + 100 - 100} = \sqrt{100} = 10\text{ N} \]
Răspuns: Rezultanta are modulul de \(10\text{ N}\) (când două forțe egale fac între ele un unghi de \(120^\circ\), rezultanta este egală cu fiecare dintre forțe).
Problema 3 (Dificilă): Asupra unui corp acționează trei forțe coplanare concurente: \(\vec{F}_1\) de mărime \(7\text{ N}\) orientată spre dreapta, \(\vec{F}_2\) de mărime \(4\text{ N}\) orientată vertical în sus și \(\vec{F}_3\) de mărime \(4\text{ N}\) orientată spre stânga. Să se determine modulul rezultantei sistemului de forțe.
Compunem mai întâi forțele coliniare (care au aceeași direcție orizontală):
Forțele orizontale sunt \(\vec{F}_1\) (spre dreapta) și \(\vec{F}_3\) (spre stânga, sens opus).
Rezultanta pe direcție orizontală are modulul: \[ F_{13} = F_1 - F_3 = 7\text{ N} - 4\text{ N} = 3\text{ N} \quad \text{(orientată spre dreapta)} \] Această rezultantă parțială este perpendiculară pe forța verticală \(\vec{F}_2 = 4\text{ N}\).
Rezultanta totală \(\vec{R}\) a celor două forțe perpendiculare rămase este: \[ R = \sqrt{F_{13}^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ N} \] Răspuns: Rezultanta sistemului de trei forțe are mărimea de \(5\text{ N}\).
Forțele orizontale sunt \(\vec{F}_1\) (spre dreapta) și \(\vec{F}_3\) (spre stânga, sens opus).
Rezultanta pe direcție orizontală are modulul: \[ F_{13} = F_1 - F_3 = 7\text{ N} - 4\text{ N} = 3\text{ N} \quad \text{(orientată spre dreapta)} \] Această rezultantă parțială este perpendiculară pe forța verticală \(\vec{F}_2 = 4\text{ N}\).
Rezultanta totală \(\vec{R}\) a celor două forțe perpendiculare rămase este: \[ R = \sqrt{F_{13}^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ N} \] Răspuns: Rezultanta sistemului de trei forțe are mărimea de \(5\text{ N}\).
