Cele mai importante aspecte ale lecției
Echilibrul de translație: Se realizează când rezultanta forțelor exterioare este nulă (\( \vec{R} = \vec{0} \)). Implică repaus (\( v = 0 \)) sau mișcare rectilinie uniformă (\( v = \text{ct.} \)).
Echilibru sub 2 forțe: Forțele sunt coliniare, de aceeași mărime și de sensuri contrare (\( \vec{F}_1 = -\vec{F}_2 \)). Exemplu: un corp atârnat la capătul unui fir (\( T = G \)).
Echilibru sub 3 forțe: Rezultanta oricăror două forțe trebuie să fie coliniară, egală în modul și de sens contrar cu a treia forță (\( \vec{F}_3 = -\vec{F}_{12} \)).
Echilibru sub 2 forțe: Forțele sunt coliniare, de aceeași mărime și de sensuri contrare (\( \vec{F}_1 = -\vec{F}_2 \)). Exemplu: un corp atârnat la capătul unui fir (\( T = G \)).
Echilibru sub 3 forțe: Rezultanta oricăror două forțe trebuie să fie coliniară, egală în modul și de sens contrar cu a treia forță (\( \vec{F}_3 = -\vec{F}_{12} \)).
Punctul material aflat în translație se deplasează de-a lungul unei traiectorii rectilinii.
Solidul rigid este un model teoretic de corp nedeformabil, pentru care distanța dintre oricare două puncte ale sale rămâne neschimbată în timp, indiferent de forțele care acționează asupra lui.
În mișcarea de translație a unui solid rigid, orice segment de dreaptă determinat de două puncte ale corpului rămâne paralel cu poziția sa inițială pe tot parcursul deplasării.
Deplasarea rectilinie a unui autovehicul pe o porțiune dreaptă de șosea reprezintă o mișcare de translație.
Un corp se află în echilibru de translație dacă și numai dacă rezultanta tuturor forțelor exterioare care acționează asupra sa este egală cu zero:
\[ \vec{R} = \sum \vec{F} = \vec{0} \]
Echilibrul de translație nu implică neapărat nemișcarea corpului! Corpul își menține starea cinetică inițială:
- rămâne în repaus dacă se afla inițial în repaus (\( \vec{v} = \vec{0} \));
- se deplasează rectiliniu și uniform dacă avea o viteză inițială nenulă (\( \vec{v} = \text{constant} \)).
Un corp se deplasează pe o linie dreaptă cu viteza constantă de \( 5 \text{ m/s} \). Se află corpul în echilibru de translație?
Da. Deoarece viteza este constantă în modul, direcție și sens (mișcare rectilinie uniformă), accelerația este nulă, ceea ce înseamnă că rezultanta forțelor este \( \vec{R} = \vec{0} \). Astfel, corpul este în echilibru de translație dinamic.
Un punct material sau un corp este în echilibru de translație sub acțiunea a două forțe dacă cele două forțe au:
- aceeași dreaptă-suport (sunt coliniare);
- aceeași valoare numerică (același modul: \( F_1 = F_2 \));
- sensuri opuse.
\[ \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0} \implies \vec{F}_1 = -\vec{F}_2 \]
O lampă cu greutatea de \( 40 \text{ N} \) este suspendată în repaus de tavan printr-un cablu vertical. Care este forța de tensiune din cablu?
Asupra lămpii acționează două forțe pe direcție verticală: greutatea \( \vec{G} \) (în jos) și tensiunea din fir \( \vec{T} \) (în sus).
Condiția de echilibru este: \[ \vec{T} + \vec{G} = \vec{0} \implies T = G = 40 \text{ N} \]
Condiția de echilibru este: \[ \vec{T} + \vec{G} = \vec{0} \implies T = G = 40 \text{ N} \]
Un punct material este în echilibru sub acțiunea a trei forțe dacă rezultanta a oricăror două dintre forțe este egală în modul și opusă ca sens celei de-a treia forțe.
\[ \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \]
Notând rezultanta forțelor \( \vec{F}_1 \) și \( \vec{F}_2 \) cu \( \vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \), condiția devine:
\[ \vec{F}_{12} + \vec{F}_3 = \vec{0} \implies \vec{F}_3 = -\vec{F}_{12} \]
Trei forțe coplanare cu module egale \( F_1 = F_2 = F_3 = F \), care formează între ele unghiuri de câte \( 120^\circ \), sunt în echilibru deoarece rezultanta oricăror două forțe are modulul egal cu \( F \) și sensul opus celei de-a treia forțe (\( \vec{F}_{12} = -\vec{F}_3 \)).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Un resort vertical, nedeformat inițial, are lungimea \( l_0 = 30 \text{ cm} \) și constanta elastică \( k = 200 \text{ N/m} \). Resortul este prins la capătul superior de un suport fix, iar de capătul inferior se agață un corp de masă \( m = 2 \text{ kg} \). Aflați lungimea finală \( l \) a resortului când sistemul a ajuns în echilibru (\( g = 10 \text{ m/s}^2 \)).
La echilibru, greutatea corpului este egalată de forța elastică din resort:
\[ \vec{F}_e + \vec{G} = \vec{0} \implies F_e = G \]
\[ k \cdot \Delta l = m \cdot g \]
Calculăm alungirea \( \Delta l \):
\[ \Delta l = \frac{m \cdot g}{k} = \frac{2 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2}{200 \text{ N/m}} = \frac{20}{200} \text{ m} = 0{,}1 \text{ m} = 10 \text{ cm} \]
Lungimea finală a resortului este:
\[ l = l_0 + \Delta l = 30 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 40 \text{ cm} \]
Problema 2 (Medie): O ladă cu masa \( m = 20 \text{ kg} \) este trasă rectiliniu și uniform pe o suprafață orizontală de o forță orizontală \( \vec{F} \). Coeficientul de frecare la alunecare dintre ladă și podea este \( \mu = 0{,}3 \). Considerând \( g = 10 \text{ m/s}^2 \), reprezentați schematic forțele și calculați valoarea forței de tracțiune \( F \).
Deoarece lada se deplasează rectiliniu și uniform, este în echilibru de translație: \( \vec{R} = \vec{0} \).
1. Pe direcția verticală (\( Oy \)): \[ N - G = 0 \implies N = G = m \cdot g = 20 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 200 \text{ N} \] 2. Pe direcția orizontală (\( Ox \)): \[ F - F_f = 0 \implies F = F_f \] Folosind formula forței de frecare: \[ F_f = \mu \cdot N = 0{,}3 \cdot 200 \text{ N} = 60 \text{ N} \] Deci forța de tracțiune necesară este: \[ F = 60 \text{ N} \]
1. Pe direcția verticală (\( Oy \)): \[ N - G = 0 \implies N = G = m \cdot g = 20 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 200 \text{ N} \] 2. Pe direcția orizontală (\( Ox \)): \[ F - F_f = 0 \implies F = F_f \] Folosind formula forței de frecare: \[ F_f = \mu \cdot N = 0{,}3 \cdot 200 \text{ N} = 60 \text{ N} \] Deci forța de tracțiune necesară este: \[ F = 60 \text{ N} \]
Problema 3 (Dificilă): Un corp punctiform cu masa \( m = 3 \text{ kg} \) este suspendat de tavan printr-un fir inextensibil. Asupra corpului se exercită o forță orizontală \( \vec{F} \), astfel încât firul este deviat și rămâne în echilibru formând un unghi \( \alpha = 30^\circ \) cu verticala (\( g = 10 \text{ m/s}^2 \)). Determinați forța de tracțiune orizontală \( F \) și tensiunea \( T \) din fir.
Asupra corpului acționează trei forțe: greutatea \( \vec{G} \), forța orizontală \( \vec{F} \) și tensiunea din fir \( \vec{T} \).
Condiția de echilibru vectorial este: \[ \vec{F} + \vec{G} + \vec{T} = \vec{0} \] Proiectăm forțele pe două axe perpendiculare:
Pe axa verticală (\( Oy \)): \[ T \cos \alpha - G = 0 \implies T \cos 30^\circ = m \cdot g \] \[ T = \frac{m \cdot g}{\cos 30^\circ} = \frac{3 \cdot 10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \text{ N} \approx 34{,}64 \text{ N} \] Pe axa orizontală (\( Ox \)): \[ F - T \sin \alpha = 0 \implies F = T \sin 30^\circ \] \[ F = 20\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 10\sqrt{3} \text{ N} \approx 17{,}32 \text{ N} \]
Condiția de echilibru vectorial este: \[ \vec{F} + \vec{G} + \vec{T} = \vec{0} \] Proiectăm forțele pe două axe perpendiculare:
Pe axa verticală (\( Oy \)): \[ T \cos \alpha - G = 0 \implies T \cos 30^\circ = m \cdot g \] \[ T = \frac{m \cdot g}{\cos 30^\circ} = \frac{3 \cdot 10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \text{ N} \approx 34{,}64 \text{ N} \] Pe axa orizontală (\( Ox \)): \[ F - T \sin \alpha = 0 \implies F = T \sin 30^\circ \] \[ F = 20\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 10\sqrt{3} \text{ N} \approx 17{,}32 \text{ N} \]
