Cele mai importante aspecte ale lecției
Metode de aflare a numărului necunoscut:
- Factorul necunoscut în înmulțire: \( a \cdot x = b \implies x = b : a \)
- Deîmpărțitul (\(d\)):
- La împărțirea exactă: \( d = c \cdot î \)
- La împărțirea cu rest: \( d = c \cdot î + r \)
- Împărțitorul (\(î\)):
- La împărțirea exactă: \( î = d : c \)
- La împărțirea cu rest: \( î = (d - r) : c \)
Dacă într-o relație de înmulțire unul dintre factori este necunoscut, acesta se determină efectuând operația inversă înmulțirii, adică împărțirea.
Factorul necunoscut se află prin împărțirea produsului la factorul cunoscut.
Dacă \(a \cdot x = b\), atunci:
\[ x = b : a \quad (\text{pentru } a \neq 0) \]
Alexandra are \(114\) mărgele și a realizat \(3\) brățări identice. Câte mărgele conține o brățară?
Scriem relația: \(3 \cdot a = 114\)
Calculăm factorul necunoscut: \[ a = 114 : 3 \] \[ a = 38 \text{ mărgele} \]
Scriem relația: \(3 \cdot a = 114\)
Calculăm factorul necunoscut: \[ a = 114 : 3 \] \[ a = 38 \text{ mărgele} \]
Aflați numărul necunoscut \(x\) din relația: \(15 \cdot x = 225\).
Pentru a afla factorul necunoscut \(x\), împărțim produsul la factorul cunoscut:
\[ x = 225 : 15 \]
\[ x = 15 \]
Împărțirea exactă este împărțirea în care restul este \(0\). Elementele sale sunt: deîmpărțitul (\(d\)), împărțitorul (\(î\)) și câtul (\(c\)).
Aflarea deîmpărțitului (\(d\))
La împărțirea exactă, deîmpărțitul se află înmulțind câtul cu împărțitorul.
Dacă \(d : î = c\), atunci:
\[ d = c \cdot î \]
Dacă împărțim o cantitate de bomboane la \(16\) copii, fiecare primește câte \(18\) bomboane și nu mai rămâne niciuna. Câte bomboane au fost în total?
Scriem relația: \(b : 16 = 18\)
Calculăm deîmpărțitul: \[ b = 18 \cdot 16 \] \[ b = 288 \text{ bomboane} \]
Scriem relația: \(b : 16 = 18\)
Calculăm deîmpărțitul: \[ b = 18 \cdot 16 \] \[ b = 288 \text{ bomboane} \]
Aflarea împărțitorului (\(î\))
La împărțirea exactă, împărțitorul se află prin împărțirea deîmpărțitului la cât.
Dacă \(d : î = c\), atunci:
\[ î = d : c \]
Avem \(273\) de bomboane împărțite în mod egal în mai multe punguțe. Știind că s-au obținut \(21\) de punguțe, câte bomboane sunt într-o punguță?
Scriem relația: \(273 : î = 21\)
Calculăm împărțitorul: \[ î = 273 : 21 \] \[ î = 13 \text{ bomboane} \]
Scriem relația: \(273 : î = 21\)
Calculăm împărțitorul: \[ î = 273 : 21 \] \[ î = 13 \text{ bomboane} \]
Atunci când împărțirea are un rest diferit de zero, deîmpărțitul se reconstituie aplicând Teorema împărțirii cu rest.
La împărțirea cu rest, deîmpărțitul se află înmulțind câtul cu împărțitorul, la care se adaugă restul.
Dacă \(d : î = c \text{ rest } r\), atunci:
\[ d = c \cdot î + r \]
Condiție obligatorie: \(r < î\).
Bunica a împărțit celor \(20\) de colindători câte \(12\) nuci și i-au mai rămas \(18\) nuci. Câte nuci avea bunica la început?
Scriem relația: \(b : 20 = 12 \text{ rest } 18\)
Calculăm deîmpărțitul: \[ b = 12 \cdot 20 + 18 \] \[ b = 240 + 18 \] \[ b = 258 \text{ nuci} \]
Scriem relația: \(b : 20 = 12 \text{ rest } 18\)
Calculăm deîmpărțitul: \[ b = 12 \cdot 20 + 18 \] \[ b = 240 + 18 \] \[ b = 258 \text{ nuci} \]
Dacă într-o împărțire cu rest împărțitorul este necunoscut, îl putem afla parcurgând doi pași simpli.
La împărțirea cu rest, împărțitorul se află împărțind diferența dintre deîmpărțit și rest la câtul împărțirii.
Dacă \(d : î = c \text{ rest } r\), atunci:
\[ î = (d - r) : c \]
Condiție obligatorie: \(r < î\).
Bunica avea \(50\) de covrigi. A dat fiecărui colindător câte \(4\) covrigi și i-au rămas \(6\) covrigi. Câți colindători erau în ceată?
Scriem relația: \(50 : î = 4 \text{ rest } 6\)
Calculăm împărțitorul: \[ î = (50 - 6) : 4 \] \[ î = 44 : 4 \] \[ î = 11 \text{ colindători} \]
Scriem relația: \(50 : î = 4 \text{ rest } 6\)
Calculăm împărțitorul: \[ î = (50 - 6) : 4 \] \[ î = 44 : 4 \] \[ î = 11 \text{ colindători} \]
Practice problems
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Aflați numărul necunoscut \(x\) din ecuația: \[ x \cdot 45 = 3735 \]
Aflați numărul necunoscut \(x\) din ecuația: \[ x \cdot 45 = 3735 \]
Deoarece \(x\) este un factor necunoscut, îl aflăm împărțind produsul la factorul cunoscut:
\[ x = 3735 : 45 \]
Efectuăm împărțirea:
\[ x = 83 \]
Răspuns: \(x = 83\)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Aflați numărul necunoscut \(n\) din următoarea expresie: \[ 974 - 124 : n = 943 \]
Aflați numărul necunoscut \(n\) din următoarea expresie: \[ 974 - 124 : n = 943 \]
Considerăm termenul \(124 : n\) ca fiind un scăzător necunoscut:
\[ 124 : n = 974 - 943 \]
\[ 124 : n = 31 \]
Acum, \(n\) este împărțitorul dintr-o împărțire exactă. Îl aflăm împărțind deîmpărțitul la cât:
\[ n = 124 : 31 \]
\[ n = 4 \]
Răspuns: \(n = 4\)
Problema 3 (Dificultate: Medie)
Câtul unei împărțiri este \(28\), iar restul este \(6\). Aflați deîmpărțitul, știind că împărțitorul este egal cu jumătate din cât.
Câtul unei împărțiri este \(28\), iar restul este \(6\). Aflați deîmpărțitul, știind că împărțitorul este egal cu jumătate din cât.
Notăm termenii împărțirii:
- Câtul \(c = 28\)
- Restul \(r = 6\)
- Împărțitorul \(î = c : 2 = 28 : 2 = 14\)
Verificăm condiția existenței împărțirii cu rest: \(r < î\) (\(6 < 14\)), condiție îndeplinită.
Aplicăm formula deîmpărțitului: \[ d = c \cdot î + r \] \[ d = 28 \cdot 14 + 6 \] \[ d = 392 + 6 \] \[ d = 398 \] Răspuns: Deîmpărțitul este \(398\).
- Câtul \(c = 28\)
- Restul \(r = 6\)
- Împărțitorul \(î = c : 2 = 28 : 2 = 14\)
Verificăm condiția existenței împărțirii cu rest: \(r < î\) (\(6 < 14\)), condiție îndeplinită.
Aplicăm formula deîmpărțitului: \[ d = c \cdot î + r \] \[ d = 28 \cdot 14 + 6 \] \[ d = 392 + 6 \] \[ d = 398 \] Răspuns: Deîmpărțitul este \(398\).
Problema 4 (Dificultate: Dificilă)
Aflați numărul necunoscut \(a\) din ecuația: \[ 360 - (2 \cdot a + 64) = 278 \]
Aflați numărul necunoscut \(a\) din ecuația: \[ 360 - (2 \cdot a + 64) = 278 \]
Considerăm paranteza rotundă ca pe un termen necunoscut (scăzător):
\[ 2 \cdot a + 64 = 360 - 278 \]
\[ 2 \cdot a + 64 = 82 \]
Acum aflăm termenul necunoscut al adunării:
\[ 2 \cdot a = 82 - 64 \]
\[ 2 \cdot a = 18 \]
Aflăm factorul necunoscut \(a\):
\[ a = 18 : 2 \]
\[ a = 9 \]
Răspuns: \(a = 9\)
