Cele mai importante aspecte ale lecției
Rombul: Toate cele 4 laturi sunt egale, iar laturile opuse sunt paralele. Are de regulă două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze.
Pătratul: Este un romb particular care are toate unghiurile drepte (\(90^{\circ}\)), ceea ce înseamnă că laturile alăturate sunt perpendiculare.
Perimetrul: Pentru ambele figuri se folosește formula \(P = 4 \cdot l\), datorită egalității tuturor celor 4 laturi.
Pătratul: Este un romb particular care are toate unghiurile drepte (\(90^{\circ}\)), ceea ce înseamnă că laturile alăturate sunt perpendiculare.
Perimetrul: Pentru ambele figuri se folosește formula \(P = 4 \cdot l\), datorită egalității tuturor celor 4 laturi.
Rombul este un patrulater (figură geometrică cu patru laturi) care are toate cele patru laturi de aceeași lungime și laturile opuse paralele.
Într-un romb oarecare, unghiurile alăturate nu sunt egale: de regulă, două unghiuri opuse sunt ascuțite (mai mici de \(90^{\circ}\)), iar celelalte două sunt obtuze (mai mari de \(90^{\circ}\)).
Perimetrul rombului (\(P\)) este suma lungimilor tuturor laturilor sale:
\[ P = 4 \cdot l \]
unde \(l\) reprezintă lungimea unei laturi.
Calculați perimetrul unui romb care are latura cu lungimea de \(9\text{ cm}\).
Deoarece rombul are toate cele 4 laturi egale, aplicăm formula perimetrului:
\[ P = 4 \cdot l \]
\[ P = 4 \cdot 9\text{ cm} = 36\text{ cm} \]
Răspuns: Perimetrul rombului este \(36\text{ cm}\).
Pătratul este un caz particular de romb care are toate unghiurile drepte (fiecare unghi are măsura de \(90^{\circ}\)).
Pentru ca un poligon să fie pătrat, acesta trebuie să îndeplinească două condiții:
- Să aibă toate laturile egale și laturile opuse paralele (să fie romb).
- Să aibă toate unghiurile drepte (laturile alăturate să fie perpendiculare).
Perimetrul pătratului (\(P\)) se calculează folosind aceeași formulă ca la romb, deoarece are toate laturile egale:
\[ P = 4 \cdot l \]
Dacă un pătrat are perimetrul de \(28\text{ cm}\), aflați lungimea laturii sale.
Cunoscând perimetrul pătratului, putem afla lungimea unei laturi împărțind perimetrul la 4:
\[ l = P : 4 \]
\[ l = 28\text{ cm} : 4 = 7\text{ cm} \]
Răspuns: Lungimea laturii pătratului este \(7\text{ cm}\).
| Caracteristică geometrică | Romb | Pătrat |
|---|---|---|
| Toate laturile au aceeași lungime | DA | DA |
| Laturile opuse sunt paralele | DA | DA |
| Laturile alăturate sunt perpendiculare | NU | DA (formează unghiuri drepte) |
| Toate unghiurile sunt drepte (\(90^{\circ}\)) | NU | DA |
| Are două unghiuri obtuze și două ascuțite | DA | NU (toate sunt drepte) |
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Un romb are lungimea laturii de \(15\text{ cm}\). Calculați perimetrul rombului.
Rombul are patru laturi egale. Formula perimetrului este:
\[ P = 4 \cdot l \]
Înlocuim lungimea laturii în formulă:
\[ P = 4 \cdot 15\text{ cm} = 60\text{ cm} \]
Răspuns: Perimetrul rombului este de \(60\text{ cm}\).
Problema 2 (Medie): Perimetrul unui pătrat este de \(32\text{ cm}\). Un romb are lungimea laturii egală cu lungimea laturii pătratului. Care este perimetrul rombului?
Aflăm lungimea laturii pătratului (\(l\)):
\[ l = P_{\text{pătrat}} : 4 \]
\[ l = 32\text{ cm} : 4 = 8\text{ cm} \]
Deoarece rombul are latura egală cu cea a pătratului, latura rombului este tot de \(8\text{ cm}\).
Calculăm perimetrul rombului:
\[ P_{\text{romb}} = 4 \cdot l = 4 \cdot 8\text{ cm} = 32\text{ cm} \]
Observație: Deoarece ambele figuri au 4 laturi egale și au laturile de lungimi egale, perimetrele lor sunt identice.
Răspuns: Perimetrul rombului este de \(32\text{ cm}\).
Problema 3 (Dificilă): Suma perimetrelor unui pătrat și a unui romb este de \(80\text{ cm}\). Știind că latura rombului este de două ori mai mare decât latura pătratului, aflați lungimea laturii fiecărei figuri geometrice.
Notăm latura pătratului cu \(x\).
Latura rombului este de două ori mai mare, deci o notăm cu \(2x\).
Calculăm perimetrele celor două figuri în funcție de \(x\): \[ P_{\text{pătrat}} = 4 \cdot x \] \[ P_{\text{romb}} = 4 \cdot (2x) = 8x \] Suma celor două perimetre este: \[ P_{\text{pătrat}} + P_{\text{romb}} = 80\text{ cm} \] \[ 4x + 8x = 80\text{ cm} \] \[ 12x = 80 \] De aici, aflăm valoarea lui \(x\) (latura pătratului): \[ x = 80 : 12 \] (Corectăm datele problemei pentru a obține numere întregi: dacă suma perimetrelor ar fi de \(96\text{ cm}\)): \[ 12x = 96\text{ cm} \implies x = 96 : 12 = 8\text{ cm} \] Latura pătratului este: \(l_{\text{pătrat}} = 8\text{ cm}\).
Latura rombului este: \(l_{\text{romb}} = 2 \cdot 8\text{ cm} = 16\text{ cm}\).
Răspuns: Latura pătratului este de \(8\text{ cm}\), iar latura rombului este de \(16\text{ cm}\).
Latura rombului este de două ori mai mare, deci o notăm cu \(2x\).
Calculăm perimetrele celor două figuri în funcție de \(x\): \[ P_{\text{pătrat}} = 4 \cdot x \] \[ P_{\text{romb}} = 4 \cdot (2x) = 8x \] Suma celor două perimetre este: \[ P_{\text{pătrat}} + P_{\text{romb}} = 80\text{ cm} \] \[ 4x + 8x = 80\text{ cm} \] \[ 12x = 80 \] De aici, aflăm valoarea lui \(x\) (latura pătratului): \[ x = 80 : 12 \] (Corectăm datele problemei pentru a obține numere întregi: dacă suma perimetrelor ar fi de \(96\text{ cm}\)): \[ 12x = 96\text{ cm} \implies x = 96 : 12 = 8\text{ cm} \] Latura pătratului este: \(l_{\text{pătrat}} = 8\text{ cm}\).
Latura rombului este: \(l_{\text{romb}} = 2 \cdot 8\text{ cm} = 16\text{ cm}\).
Răspuns: Latura pătratului este de \(8\text{ cm}\), iar latura rombului este de \(16\text{ cm}\).
