Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezolvarea problemelor prin metoda comparației necesită cunoașterea relațiilor dintre două mărimi și presupune eliminarea uneia dintre ele pentru a o putea calcula pe cealaltă.
Acest lucru se poate face prin două căi principale:
Acest lucru se poate face prin două căi principale:
- Prin înlocuire: Când cunoaștem de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă. Înlocuim cantitatea mai mare cu echivalentul ei în obiecte mai mici.
- Prin scădere: Când avem două relații care conțin aceeași cantitate dintr-un anumit obiect. Așezăm datele unele sub altele și scădem, eliminând astfel mărimea comună.
Această metodă se folosește atunci când problema ne oferă valoarea totală a două mărimi diferite și o relație care ne arată de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă.
Dacă știm că un obiect valorează cât mai multe obiecte de alt fel, îl putem înlocui în relația inițială pentru a rămâne cu un singur tip de obiect (o singură necunoscută).
Pentru 6 tricouri și 3 cămăși s-au plătit 540 de lei. O cămașă costă cât două tricouri. Cât costă un tricou? Dar o cămașă?
Înlocuim cămășile cu tricouri. Dacă 1 cămașă = 2 tricouri, atunci 3 cămăși vor fi:
\( 3 \cdot 2 = 6 \text{ (tricouri)} \)
\( 3 \cdot 2 = 6 \text{ (tricouri)} \)
Aflăm numărul total de tricouri după înlocuire:
\( 6 + 6 = 12 \text{ (tricouri)} \)
\( 6 + 6 = 12 \text{ (tricouri)} \)
Aflăm prețul unui tricou împărțind suma totală la numărul total de tricouri:
\( 540 : 12 = 45 \text{ (lei)} \)
\( 540 : 12 = 45 \text{ (lei)} \)
Aflăm prețul unei cămăși folosind relația dată inițial:
\( 45 \cdot 2 = 90 \text{ (lei)} \)
\( 45 \cdot 2 = 90 \text{ (lei)} \)
Pentru 2 mere și 1 pară s-au plătit 10 lei. O pară costă cât 3 mere. Cât costă un măr?
Înlocuim para cu 3 mere.
Total mere: \( 2 + 3 = 5 \text{ (mere)} \).
Prețul unui măr: \( 10 : 5 = 2 \text{ (lei)} \).
Total mere: \( 2 + 3 = 5 \text{ (mere)} \).
Prețul unui măr: \( 10 : 5 = 2 \text{ (lei)} \).
Se aplică atunci când problema prezintă două situații diferite care conțin aceleași două tipuri de mărimi, iar cantitatea uneia dintre mărimi este identică în ambele situații.
Așezăm datele problemei unele sub altele și scădem mărimile între ele. Deoarece una dintre cantități este aceeași, prin scădere ea va fi eliminată (diferența va fi 0), permițându-ne să aflăm valoarea celeilalte mărimi.
Pentru 3 cărți și 9 caiete s-au plătit 138 de lei, iar pentru 3 cărți și 5 caiete s-au plătit 126 de lei. Cât costă un caiet și cât costă o carte?
Așezăm datele astfel:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 de lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 de lei
Așezăm datele astfel:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 de lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 de lei
Aflăm diferența cantităților:
Cărți: \( 3 - 3 = 0 \) (se elimină)
Caiete: \( 9 - 5 = 4 \text{ (caiete)} \)
Cărți: \( 3 - 3 = 0 \) (se elimină)
Caiete: \( 9 - 5 = 4 \text{ (caiete)} \)
Aflăm diferența de bani:
\( 138 - 126 = 12 \text{ (lei)} \)
\( 138 - 126 = 12 \text{ (lei)} \)
Aflăm prețul unui caiet:
\( 12 : 4 = 3 \text{ (lei/caiet)} \)
\( 12 : 4 = 3 \text{ (lei/caiet)} \)
Înlocuim prețul caietului în a doua situație pentru a afla prețul cărții:
Prețul a 5 caiete: \( 3 \cdot 5 = 15 \text{ (lei)} \)
Prețul a 3 cărți: \( 126 - 15 = 111 \text{ (lei)} \)
Prețul unei cărți: \( 111 : 3 = 37 \text{ (lei)} \)
Prețul a 5 caiete: \( 3 \cdot 5 = 15 \text{ (lei)} \)
Prețul a 3 cărți: \( 126 - 15 = 111 \text{ (lei)} \)
Prețul unei cărți: \( 111 : 3 = 37 \text{ (lei)} \)
3 pixuri și 4 gume costă 25 lei. 3 pixuri și 2 gume costă 19 lei. Cât costă o gumă?
Numărul de pixuri este același (3).
Diferența de gume: \( 4 - 2 = 2 \text{ (gume)} \).
Diferența de preț: \( 25 - 19 = 6 \text{ (lei)} \).
Prețul unei gume: \( 6 : 2 = 3 \text{ (lei)} \).
Diferența de gume: \( 4 - 2 = 2 \text{ (gume)} \).
Diferența de preț: \( 25 - 19 = 6 \text{ (lei)} \).
Prețul unei gume: \( 6 : 2 = 3 \text{ (lei)} \).
Exerciții
Nivel ușor: La un magazin s-au vândut într-o zi 5 păpuși și 9 mașinuțe, încasându-se 600 de lei. Știind că o păpușă costă cât 3 mașinuțe, află prețul de vânzare al fiecărei jucării.
Aplicăm metoda înlocuirii:
Dacă 1 păpușă = 3 mașinuțe, atunci 5 păpuși = \( 5 \cdot 3 = 15 \text{ (mașinuțe)} \).
Adunăm cu restul mașinuțelor: \( 15 + 9 = 24 \text{ (mașinuțe în total)} \).
Prețul unei mașinuțe: \( 600 : 24 = 25 \text{ (lei)} \).
Prețul unei păpuși: \( 25 \cdot 3 = 75 \text{ (lei)} \).
Dacă 1 păpușă = 3 mașinuțe, atunci 5 păpuși = \( 5 \cdot 3 = 15 \text{ (mașinuțe)} \).
Adunăm cu restul mașinuțelor: \( 15 + 9 = 24 \text{ (mașinuțe în total)} \).
Prețul unei mașinuțe: \( 600 : 24 = 25 \text{ (lei)} \).
Prețul unei păpuși: \( 25 \cdot 3 = 75 \text{ (lei)} \).
Nivel mediu: 6 fete și 3 băieți adună 24 kg de căpșuni, iar 6 fete și 7 băieți adună 40 kg de căpșuni. Câte kilograme de căpșuni adună o fată și câte un băiat?
Aplicăm metoda scăderii (numărul de fete este același).
6 fete ........ 7 băieți ........ 40 kg
6 fete ........ 3 băieți ........ 24 kg
Diferența de băieți: \( 7 - 3 = 4 \text{ (băieți)} \).
Diferența de kilograme: \( 40 - 24 = 16 \text{ (kg)} \).
Un băiat adună: \( 16 : 4 = 4 \text{ (kg)} \).
Cei 3 băieți din prima situație adună: \( 3 \cdot 4 = 12 \text{ (kg)} \).
Cele 6 fete adună restul: \( 24 - 12 = 12 \text{ (kg)} \).
O fată adună: \( 12 : 6 = 2 \text{ (kg)} \).
6 fete ........ 7 băieți ........ 40 kg
6 fete ........ 3 băieți ........ 24 kg
Diferența de băieți: \( 7 - 3 = 4 \text{ (băieți)} \).
Diferența de kilograme: \( 40 - 24 = 16 \text{ (kg)} \).
Un băiat adună: \( 16 : 4 = 4 \text{ (kg)} \).
Cei 3 băieți din prima situație adună: \( 3 \cdot 4 = 12 \text{ (kg)} \).
Cele 6 fete adună restul: \( 24 - 12 = 12 \text{ (kg)} \).
O fată adună: \( 12 : 6 = 2 \text{ (kg)} \).
Nivel dificil: Suma vârstelor lui Adrian și Bogdan este de 20 de ani, iar suma dintre dublul vârstei lui Adrian și triplul vârstei lui Bogdan este de 52 de ani. Ce vârstă are fiecare?
Scriem datele astfel:
1 vârstă A + 1 vârstă B = 20 ani
2 vârste A + 3 vârste B = 52 ani
Pentru a folosi metoda prin scădere, aducem prima situație la același număr pentru Adrian (dublăm toată prima relație):
Dublul vârstei A + dublul vârstei B = \( 20 \cdot 2 = 40 \text{ ani} \).
Așezăm noile date și scădem:
2 vârste A ........ 3 vârste B ........ 52 ani
2 vârste A ........ 2 vârste B ........ 40 ani
Diferența elimină vârsta lui Adrian.
Diferența pentru Bogdan: \( 3 - 2 = 1 \text{ (o vârstă B)} \).
Vârsta lui Bogdan: \( 52 - 40 = 12 \text{ (ani)} \).
Vârsta lui Adrian: \( 20 - 12 = 8 \text{ (ani)} \).
1 vârstă A + 1 vârstă B = 20 ani
2 vârste A + 3 vârste B = 52 ani
Pentru a folosi metoda prin scădere, aducem prima situație la același număr pentru Adrian (dublăm toată prima relație):
Dublul vârstei A + dublul vârstei B = \( 20 \cdot 2 = 40 \text{ ani} \).
Așezăm noile date și scădem:
2 vârste A ........ 3 vârste B ........ 52 ani
2 vârste A ........ 2 vârste B ........ 40 ani
Diferența elimină vârsta lui Adrian.
Diferența pentru Bogdan: \( 3 - 2 = 1 \text{ (o vârstă B)} \).
Vârsta lui Bogdan: \( 52 - 40 = 12 \text{ (ani)} \).
Vârsta lui Adrian: \( 20 - 12 = 8 \text{ (ani)} \).
