Cele mai importante aspecte ale lecției
Puterea mecanică: măsoară viteza de efectuare a lucrului mecanic: \( P = \frac{L}{\Delta t} \). În S.I. se măsoară în wați (\( 1\text{ W} = 1\text{ J/s} \)).
Unități derivate: Calul-putere (\( 1\text{ CP} \cong 736\text{ W} \)), kilowatt-oră (\( 1\text{ kWh} = 3,6\text{ MJ} \) – unitate de lucru mecanic/energie).
Relația forță–viteză: \( P = F \cdot v \) (la viteză constantă pe direcția forței).
Randamentul mecanic: \( \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{P_u}{P_c} \leq 1 \) (adimensional, exprimat de regulă în procente).
Planul înclinat: \( \eta = \frac{Mgh}{F \cdot l} = \frac{Mg \sin\alpha}{F} \), raportul dintre lucrul mecanic util de ridicare și lucrul mecanic al forței de tractare.
Unități derivate: Calul-putere (\( 1\text{ CP} \cong 736\text{ W} \)), kilowatt-oră (\( 1\text{ kWh} = 3,6\text{ MJ} \) – unitate de lucru mecanic/energie).
Relația forță–viteză: \( P = F \cdot v \) (la viteză constantă pe direcția forței).
Randamentul mecanic: \( \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{P_u}{P_c} \leq 1 \) (adimensional, exprimat de regulă în procente).
Planul înclinat: \( \eta = \frac{Mgh}{F \cdot l} = \frac{Mg \sin\alpha}{F} \), raportul dintre lucrul mecanic util de ridicare și lucrul mecanic al forței de tractare.
Mărimea fizică scalară ce caracterizează rapiditatea cu care un sistem efectuează lucru mecanic (lucrul mecanic efectuat în unitatea de timp).
Se notează cu simbolul \( P \).
\[ P = \frac{L}{\Delta t} \]
\( P \) – puterea mecanică medie, \( L \) – lucrul mecanic efectuat, \( \Delta t \) – intervalul de timp.
Unitatea de măsură în Sistemul Internațional (S.I.) este wattul (\(\text{W}\)):
\[ [P]_{SI} = \frac{[L]_{SI}}{[\Delta t]_{SI}} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W (watt)} \]
Un watt este puterea mecanică dezvoltată de o forță ce efectuează un lucru mecanic de \( 1\text{ J} \) într-un interval de timp de \( 1\text{ s} \).
Un motor efectuează un lucru mecanic de \( 12\ 000\text{ J} \) în timp de \( 30\text{ s} \). Care este puterea medie a motorului?
Se aplică formula de definiție a puterii:
\[ P = \frac{L}{\Delta t} = \frac{12\ 000\text{ J}}{30\text{ s}} = 400\text{ W} \]
Calul-putere (CP) – unitate de măsură tolerată pentru putere, des întâlnită în industria auto:
\[ 1\text{ CP} \cong 736\text{ W} \]
Un cal-putere reprezintă puterea mecanică necesară pentru a ridica rectiliniu uniform un corp cu masa de \( 75\text{ kg} \) la înălțimea de \( 1\text{ m} \) în timp de \( 1\text{ s} \).
Kilowatt-ora (\(\text{kWh}\)) este o unitate de măsură pentru lucru mecanic sau energie, nu pentru putere!
\[ L = P \cdot \Delta t \]
\[ 1\text{ kWh} = 1\ 000\text{ W} \cdot 3\ 600\text{ s} = 3\ 600\ 000\text{ J} = 3,6\text{ MJ} \]
Puterea motorului unui automobil de \( 100\text{ CP} \) exprimată în wați:
\[ P = 100 \cdot 736\text{ W} = 73\ 600\text{ W} = 73,6\text{ kW} \]
În cazul unei forțe constante al cărei punct de aplicație se deplasează rectiliniu uniform pe direcția și în sensul forței, puterea mecanică se poate exprima în funcție de viteză.
\[ P = \frac{L}{\Delta t} = \frac{F \cdot d}{\Delta t} = F \cdot v \]
\( F \) – mărimea forței constante, \( v \) – viteza de deplasare.
Dacă între direcția forței \( \vec{F} \) și direcția vitezei \( \vec{v} \) există un unghi \( \alpha \), puterea se calculează astfel:
\[ P = F \cdot v \cdot \cos \alpha \]
La o putere utilă constantă dezvoltată de un motor, forța de tracțiune este invers proporțională cu viteza (\( F = \frac{P}{v} \)). Din acest motiv, într-o treaptă inferioară de viteză a unui automobil, forța de tracțiune este mai mare, facilitând urcarea pantelor.
Mărimea fizică scalară adimensională egală cu raportul dintre lucrul mecanic util și lucrul mecanic consumat de un mecanism.
Se notează cu litera grecească \( \eta \) (eta).
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{P_u}{P_c} \]
\( L_u \) / \( P_u \) – lucrul mecanic util / puterea utilă; \( L_c \) / \( P_c \) – lucrul mecanic consumat / puterea consumată.
Randamentul mecanic este întotdeauna subunitar în condiții reale:
\[ \eta < 1 \quad (\eta < 100\%) \]
Egalitatea \( \eta = 1 \) (\( 100\% \)) reprezintă cazul ideal, când forțele de frecare și rezistență sunt complet absente.
Dacă o mașină consumă un lucru mecanic \( L_c = 500\text{ J} \) pentru a produce un lucru util \( L_u = 400\text{ J} \):
\[ \eta = \frac{400\text{ J}}{500\text{ J}} = 0,8 \quad \Rightarrow \quad \eta = 80\% \]
La deplasarea rectilinie uniformă a unui corp de masă \( M \) pe un plan înclinat de lungime \( l \) și înălțime \( h \):
- Lucrul mecanic util (\( L_u \)) este lucrul mecanic necesar ridicării corpului pe verticală la înălțimea \( h \): \( L_u = Mgh \).
- Lucrul mecanic consumat (\( L_c \)) este lucrul mecanic efectuat de forța de tracțiune \( F \) de-a lungul planului: \( L_c = F \cdot l \).
\[ \eta = \frac{Mgh}{F \cdot l} = \frac{Mg \sin \alpha}{F} \]
unde \( \sin \alpha = \frac{h}{l} \), iar \( g \) este accelerația gravitațională.
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): O motocicletă se deplasează rectiliniu uniform cu viteza constantă \( v = 54\text{ km/h} \). Știind că forța de rezistență la înaintare învinsă de motor este \( F = 800\text{ N} \), determinați puterea mecanică dezvoltată de motorul motocicletei.
Se transformă viteza în unități S.I.:
\[ v = 54\text{ km/h} = \frac{54}{3,6}\text{ m/s} = 15\text{ m/s} \]
Pentru mișcarea rectilinie uniformă pe direcția forței de tracțiune:
\[ P = F \cdot v \]
\[ P = 800\text{ N} \cdot 15\text{ m/s} = 12\ 000\text{ W} = 12\text{ kW} \]
Răspuns: Puterea dezvoltată este de \( 12\text{ kW} \).
Problema 2 (Medie): Un automobil se deplasează rectiliniu uniform pe o distanță \( d = 120\text{ km} \). Forța de tracțiune dezvoltată de motor este \( F = 1\ 500\text{ N} \), iar puterea mecanică este \( P = 45\text{ kW} \). Calculați timpul necesar parcurgerii acestei distanțe.
1. Determinăm viteza de deplasare din relația puterii mecanice:
\[ P = F \cdot v \implies v = \frac{P}{F} \]
\[ v = \frac{45\ 000\text{ W}}{1\ 500\text{ N}} = 30\text{ m/s} \]
2. Calculăm durata deplasării utilizând distanța în metri (\( d = 120\ 000\text{ m} \)):
\[ \Delta t = \frac{d}{v} = \frac{120\ 000\text{ m}}{30\text{ m/s}} = 4\ 000\text{ s} \]
Exprimat în ore și minute:
\[ 4\ 000\text{ s} = 1\text{ h } 6\text{ min } 40\text{ s} \]
Răspuns: Automobilul parcurge distanța în \( 4\ 000\text{ s} \).
Problema 3 (Dificilă): O macara ridică rectiliniu uniform pe verticală o încărcătură cu masa \( m = 500\text{ kg} \) la înălțimea \( h = 60\text{ m} \) în intervalul de timp \( \Delta t = 2\text{ min} \) (\( g = 9,8\text{ m/s}^2 \)).
a) Calculați lucrul mecanic util și puterea utilă a macaralei.
b) Aflați randamentul mecanic al instalației dacă forța efectivă exercitată de cablul motorului pentru ridicare este \( F = 5\ 500\text{ N} \).
a) Calculați lucrul mecanic util și puterea utilă a macaralei.
b) Aflați randamentul mecanic al instalației dacă forța efectivă exercitată de cablul motorului pentru ridicare este \( F = 5\ 500\text{ N} \).
a) Calculul lucrului mecanic util și al puterii utile:
Lucrul mecanic util este cel necesar învingerii greutății: \[ L_u = mgh = 500\text{ kg} \cdot 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 60\text{ m} = 294\ 000\text{ J} = 294\text{ kJ} \] Transformăm timpul în secunde: \( \Delta t = 2 \cdot 60\text{ s} = 120\text{ s} \). \[ P_u = \frac{L_u}{\Delta t} = \frac{294\ 000\text{ J}}{120\text{ s}} = 2\ 450\text{ W} = 2,45\text{ kW} \] b) Calculul randamentului mecanic:
Lucrul mecanic consumat de forța de tracțiune: \[ L_c = F \cdot h = 5\ 500\text{ N} \cdot 60\text{ m} = 330\ 000\text{ J} = 330\text{ kJ} \] Randamentul instalației: \[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{294\ 000\text{ J}}{330\ 000\text{ J}} \cong 0,891 \quad \Rightarrow \quad \eta \cong 89,1\% \] Răspuns: \( L_u = 294\text{ kJ} \), \( P_u = 2,45\text{ kW} \), \( \eta \cong 89,1\% \).
Lucrul mecanic util este cel necesar învingerii greutății: \[ L_u = mgh = 500\text{ kg} \cdot 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 60\text{ m} = 294\ 000\text{ J} = 294\text{ kJ} \] Transformăm timpul în secunde: \( \Delta t = 2 \cdot 60\text{ s} = 120\text{ s} \). \[ P_u = \frac{L_u}{\Delta t} = \frac{294\ 000\text{ J}}{120\text{ s}} = 2\ 450\text{ W} = 2,45\text{ kW} \] b) Calculul randamentului mecanic:
Lucrul mecanic consumat de forța de tracțiune: \[ L_c = F \cdot h = 5\ 500\text{ N} \cdot 60\text{ m} = 330\ 000\text{ J} = 330\text{ kJ} \] Randamentul instalației: \[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{294\ 000\text{ J}}{330\ 000\text{ J}} \cong 0,891 \quad \Rightarrow \quad \eta \cong 89,1\% \] Răspuns: \( L_u = 294\text{ kJ} \), \( P_u = 2,45\text{ kW} \), \( \eta \cong 89,1\% \).
