Cele mai importante aspecte ale lecției
Legea pârghiilor: \(F_a \cdot b_F = R \cdot b_R \implies \frac{F_a}{R} = \frac{b_R}{b_F}\). Dacă \(b_F > b_R\), forța activă este mai mică decât greutatea de ridicat.
Clasificare:
• Genul I: Punctul de sprijin \(O\) la mijloc (foarfecă, balansoar, articulația craniului pe atlas).
• Genul II: Forța rezistentă \(R\) la mijloc (roabă, ridicarea pe vârfuri). Întotdeauna amplifică forța (\(F_a < R\)).
• Genul III: Forța activă \(F_a\) la mijloc (pensetă, flexia antebrațului cu bicepsul). Asigură viteză și amplitudine de deplasare (\(F_a > R\)).
Randament: \(\eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{m \cdot g \cdot h_1}{F_a \cdot h_2} \le 1\) (sau \(100\%\)).
Clasificare:
• Genul I: Punctul de sprijin \(O\) la mijloc (foarfecă, balansoar, articulația craniului pe atlas).
• Genul II: Forța rezistentă \(R\) la mijloc (roabă, ridicarea pe vârfuri). Întotdeauna amplifică forța (\(F_a < R\)).
• Genul III: Forța activă \(F_a\) la mijloc (pensetă, flexia antebrațului cu bicepsul). Asigură viteză și amplitudine de deplasare (\(F_a > R\)).
Randament: \(\eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{m \cdot g \cdot h_1}{F_a \cdot h_2} \le 1\) (sau \(100\%\)).
Pârghia este un mecanism simplu constituit dintr-o bară rigidă care se poate roti în jurul unui punct de sprijin fix, sub acțiunea simultană a două forțe: forța activă și forța rezistentă.
Punctul de sprijin (\(O\)) – punctul fix sau axa în jurul căreia pârghia se poate roti liber.
\( \vec{F}_a \) – Forța activă: forța aplicată din exterior pentru a învinge forța rezistentă sau pentru a menține sistemul în echilibru.
\( \vec{R} \) – Forța rezistentă: forța opusă mișcării, reprezentată de sarcina utilă (greutatea corpului de deplasat sau o rezistență exterioară).
\( b_F \text{ și } b_R \) – Brațele forțelor: distanțele măsurate perpendicular de la punctul de sprijin \(O\) până la dreapta suport a forței active (\(b_F\)), respectiv a forței rezistente (\(b_R\)).
În punctul de sprijin acționează reacțiunea normală (\( \vec{N} \)) a suportului asupra pârghiei.
În funcție de poziția relativă a punctului de sprijin în raport cu punctele de aplicație ale forței active și rezistente, pârghiile se clasifică în trei genuri (grade):
| Tip de pârghie | Poziție relativă | Caracteristici mecanice | Exemple uzuale |
|---|---|---|---|
| Genul I (de echilibru) | Punctul de sprijin \(O\) se află între \( \vec{F}_a \) și \( \vec{R} \) | Poate reduce forța necesară (\(b_F > b_R\)) sau poate amplifica deplasarea (\(b_F < b_R\)) | Foarfecă, balansoar, clește, rangă cu punct intermediar de sprijin |
| Genul II (de forță) | Forța rezistentă \( \vec{R} \) se află între \(O\) și \( \vec{F}_a \) | Întotdeauna \(b_F > b_R \implies F_a < R\); amplifică forța (câștig de forță) | Roabă, spărgător de nuci, desfăcător de capace de sticle |
| Genul III (de deplasare) | Forța activă \( \vec{F}_a \) se află între \(O\) și \( \vec{R} \) | Întotdeauna \(b_F < b_R \implies F_a > R\); oferă un câștig de deplasare și viteză | Pensetă, lopată, mătură, pedală de bicicletă, undiță |
Pentru ca o pârghie să se afle în echilibru static, trebuie îndeplinite simultan două condiții: echilibrul de translație și echilibrul de rotație.
Rezultanta forțelor aplicate este nulă:
\[ \vec{N} + \vec{F}_a + \vec{R} = \vec{0} \]
Pentru forțe verticale orientate în jos și normala orientată în sus:
\[ N - F_a - R = 0 \implies N = F_a + R \]
Suma momentelor forțelor în raport cu punctul de sprijin \(O\) este nulă (\(M_F = M_R\)):
\[ F_a \cdot b_F = R \cdot b_R \]
\[ \frac{F_a}{R} = \frac{b_R}{b_F} \]
Raportul forțelor este invers proporțional cu raportul brațelor forțelor corespunzătoare.
Cu cât brațul forței active este mai mare în comparație cu brațul forței rezistente (\(b_F > b_R\)), cu atât forța activă necesară (\(F_a\)) este mai mică.
Randamentul mecanic (\(\eta\)) al unei pârghii reprezintă raportul dintre lucrul mecanic util (\(L_u\)) și lucrul mecanic consumat (\(L_c\)):
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{R \cdot h_1}{F_a \cdot h_2} \]
unde \(h_1\) este înălțimea de ridicare a sarcinii, iar \(h_2\) este distanța pe care se deplasează punctul de aplicație al forței active.
În corpul uman, oasele acționează ca bare rigide, articulațiile reprezintă punctele de sprijin (\(O\)), contracțiile mușchilor dezvoltă forța activă (\( \vec{F}_a \)), iar greutatea segmentelor anatomice și a sarcinilor externe reprezintă forța rezistentă (\( \vec{R} \)).
1. Pârghie de gradul I (pârghie de echilibru) – Capul:
• Punct de sprijin (\(O\)): articulația dintre craniu și prima vertebră cervicală (Atlas).
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea capului, care tinde să-l încline spre înainte.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): forța exercitată de mușchii cefei, atașați posterior.
• Punct de sprijin (\(O\)): articulația dintre craniu și prima vertebră cervicală (Atlas).
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea capului, care tinde să-l încline spre înainte.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): forța exercitată de mușchii cefei, atașați posterior.
2. Pârghie de gradul II (pârghie de forță) – Ridicarea pe vârfuri:
• Punct de sprijin (\(O\)): articulațiile degetelor piciorului în contact cu solul.
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea întregului corp, aplicată la nivelul gleznei prin tibie.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): forța mușchilor gambei transmisă prin tendonul lui Ahile pe călcâi.
• Punct de sprijin (\(O\)): articulațiile degetelor piciorului în contact cu solul.
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea întregului corp, aplicată la nivelul gleznei prin tibie.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): forța mușchilor gambei transmisă prin tendonul lui Ahile pe călcâi.
3. Pârghie de gradul III (pârghie de deplasare) – Flexia antebrațului:
• Punct de sprijin (\(O\)): articulația cotului.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): contracția mușchiului biceps, inserat pe radius aproape de cot.
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea antebrațului și a încărcăturii din mână.
• Punct de sprijin (\(O\)): articulația cotului.
• Forța activă (\( \vec{F}_a \)): contracția mușchiului biceps, inserat pe radius aproape de cot.
• Forța rezistentă (\( \vec{R} \)): greutatea antebrațului și a încărcăturii din mână.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): O bară rigidă de masă neglijabilă este folosită drept pârghie de genul I. Brațul forței active este \(b_F = 60 \text{ cm}\), iar brațul forței rezistente este \(b_R = 15 \text{ cm}\). Ce forță activă minimă \(F_a\) trebuie aplicată la capătul brațului activ pentru a echilibra o greutate rezistentă \(R = 240 \text{ N}\)?
Folosim legea pârghiilor:
\[ F_a \cdot b_F = R \cdot b_R \]
Exprimăm forța activă:
\[ F_a = \frac{R \cdot b_R}{b_F} \]
Înlocuim valorile numerice (\(b_F = 0,6 \text{ m}\), \(b_R = 0,15 \text{ m}\)):
\[ F_a = \frac{240 \cdot 0,15}{0,6} = \frac{36}{0,6} = 60 \text{ N} \]
Răspuns: Forța activă minimă necesară este de \(60 \text{ N}\).
Problema 2 (Medie): Un copil cu masa \(m_1 = 30 \text{ kg}\) și un adult cu masa \(m_2 = 75 \text{ kg}\) folosesc un balansoar cu lungimea totală \(L = 3,5 \text{ m}\), articulat la mijloc. Copilul se așază exact la un capăt al scândurii. La ce distanță față de punctul de sprijin trebuie să se așeze adultul pentru ca balansoarul să fie orizontal, în echilibru? (\(g = 10 \text{ N/kg}\))
Balansoarul este o pârghie de genul I cu punctul de sprijin la mijloc:
\[ b_1 = \frac{L}{2} = \frac{3,5}{2} = 1,75 \text{ m} \]
Greutățile celor două persoane sunt:
\[ G_1 = m_1 \cdot g = 30 \cdot 10 = 300 \text{ N} \]
\[ G_2 = m_2 \cdot g = 75 \cdot 10 = 750 \text{ N} \]
Scriem condiția de echilibru de rotație:
\[ G_1 \cdot b_1 = G_2 \cdot b_2 \]
Aflăm brațul adultului (\(b_2\)):
\[ b_2 = \frac{G_1 \cdot b_1}{G_2} = \frac{300 \cdot 1,75}{750} = \frac{525}{750} = 0,7 \text{ m} \]
Răspuns: Adultul trebuie să se așeze la o distanță de \(0,7 \text{ m}\) față de punctul de sprijin.
Problema 3 (Medie): Un sportiv cu masa \(m = 80 \text{ kg}\) se ridică pe vârfurile ambelor picioare. Considerând ambele picioare identice și simetrice, fiecare picior suportă jumătate din greutatea corpului. Într-un picior (pârghie de genul II), distanța de la punctul de sprijin (degete) până la punctul de acțiune al greutății este \(b_R = 12 \text{ cm}\), iar distanța de la degete până la linia de inserție a tendonului lui Ahile este \(b_F = 16 \text{ cm}\). Determinați forța dezvoltată de tendonul lui Ahile la un picior (\(g = 10 \text{ N/kg}\)).
Greutatea suportată de un singur picior este:
\[ R = \frac{m \cdot g}{2} = \frac{80 \cdot 10}{2} = 400 \text{ N} \]
Aplicăm legea pârghiilor pentru pârghia de genul II:
\[ F_a \cdot b_F = R \cdot b_R \]
\[ F_a = \frac{R \cdot b_R}{b_F} \]
Substituim datele numerice:
\[ F_a = \frac{400 \cdot 12}{16} = 400 \cdot 0,75 = 300 \text{ N} \]
Răspuns: Forța dezvoltată în tendonul lui Ahile al unui picior este de \(300 \text{ N}\).
Problema 4 (Dificilă): Cu ajutorul unei pârghii de masă neglijabilă se ridică un bloc de piatră cu masa \(m = 150 \text{ kg}\) la înălțimea \(h_1 = 6 \text{ cm}\). Forța activă aplicată la celălalt capăt este \(F_a = 250 \text{ N}\), iar punctul ei de aplicație coboară cu distanța \(h_2 = 45 \text{ cm}\). Să se determine:
a) Lucrul mecanic util efectuat (\(L_u\));
b) Lucrul mecanic consumat de forța activă (\(L_c\));
c) Randamentul mecanic al procesului (\(\eta\)). (\(g = 10 \text{ N/kg}\))
a) Lucrul mecanic util efectuat (\(L_u\));
b) Lucrul mecanic consumat de forța activă (\(L_c\));
c) Randamentul mecanic al procesului (\(\eta\)). (\(g = 10 \text{ N/kg}\))
Transformăm mărimile în unități SI:
\[ h_1 = 6 \text{ cm} = 0,06 \text{ m}, \quad h_2 = 45 \text{ cm} = 0,45 \text{ m} \]
Greutatea sarcinii:
\[ R = G = m \cdot g = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ N} \]
a) Lucrul mecanic util este:
\[ L_u = R \cdot h_1 = 1500 \text{ N} \cdot 0,06 \text{ m} = 90 \text{ J} \]
b) Lucrul mecanic consumat este:
\[ L_c = F_a \cdot h_2 = 250 \text{ N} \cdot 0,45 \text{ m} = 112,5 \text{ J} \]
c) Randamentul pârghiei este:
\[ \eta = \frac{L_u}{L_c} = \frac{90 \text{ J}}{112,5 \text{ J}} = 0,8 \implies \eta = 80\% \]
Răspuns: \(L_u = 90 \text{ J}\), \(L_c = 112,5 \text{ J}\), \(\eta = 80\%\).
