Cele mai importante aspecte ale lecției
Presiunea mecanică: \( p = \frac{F_n}{S} \), exprimată în Pascal (\( 1\text{ Pa} = 1\text{ N/m}^2 \)). De exemplu, schiurile sau șenilele reduc presiunea pe zăpadă mărind aria de sprijin.
Presiunea hidrostatică: \( p = \rho g h \), crește direct proporțional cu adâncimea și depinde de densitatea lichidului, fiind identică în toate punctele aceluiași plan orizontal.
Presiunea atmosferică: Generată de greutatea aerului, măsurată de Torricelli la \( p_0 \cong 101\,325\text{ Pa} \) (\( 760\text{ mm Hg} \)) la nivelul mării, scăzând odată cu altitudinea.
Legea lui Pascal: Presiunea exterioară aplicată unui lichid se transmite egal în tot fluidul. Presa hidraulică multiplică forța conform raportului secțiunilor (\( F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \)), fiind utilizată la frâne și elevatoare auto.
Legea lui Arhimede: Un corp cufundat în fluid este împins în sus cu forța \( F_A = \rho_f V_{sub} g \). Dacă \( \rho_c < \rho_f \), corpul urcă și plutește parțial scufundat (vapoare, densimetru); dacă \( \rho_c = \rho_f \), plutește la orice adâncime (submarin); dacă \( \rho_c > \rho_f \), corpul se scufundă.
Presiunea hidrostatică: \( p = \rho g h \), crește direct proporțional cu adâncimea și depinde de densitatea lichidului, fiind identică în toate punctele aceluiași plan orizontal.
Presiunea atmosferică: Generată de greutatea aerului, măsurată de Torricelli la \( p_0 \cong 101\,325\text{ Pa} \) (\( 760\text{ mm Hg} \)) la nivelul mării, scăzând odată cu altitudinea.
Legea lui Pascal: Presiunea exterioară aplicată unui lichid se transmite egal în tot fluidul. Presa hidraulică multiplică forța conform raportului secțiunilor (\( F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \)), fiind utilizată la frâne și elevatoare auto.
Legea lui Arhimede: Un corp cufundat în fluid este împins în sus cu forța \( F_A = \rho_f V_{sub} g \). Dacă \( \rho_c < \rho_f \), corpul urcă și plutește parțial scufundat (vapoare, densimetru); dacă \( \rho_c = \rho_f \), plutește la orice adâncime (submarin); dacă \( \rho_c > \rho_f \), corpul se scufundă.
Presiunea este o mărime fizică scalară numeric egală cu raportul dintre forța normală (de apăsare) uniform distribuită pe o suprafață și aria acelei suprafețe.
\[ p = \frac{F_n}{S} \]
\( p \) – presiunea; \( F_n \) – forța normală perpendiculară pe suprafață; \( S \) – aria suprafeței de contact
În Sistemul Internațional (SI), unitatea de măsură este pascalul (\(\text{Pa}\)):
\[ [p]_{SI} = \frac{[F_n]_{SI}}{[S]_{SI}} = \frac{1\text{ N}}{1\text{ m}^2} = 1\text{ Pa} \]
Alte unități utilizate în practică:
- Barul: \( 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} \)
- Atmosfera fizică: \( 1\text{ atm} \cong 101\,325\text{ Pa} \)
- Torrul (milimetrul coloană de mercur): \( 1\text{ torr} = 1\text{ mm Hg} \cong 133,32\text{ Pa} \)
Un schior cu masa de \( 70\text{ kg} \) stă pe zăpadă încălțat cu două schiuri. Fiecare schiu are o suprafață de sprijin de \( 0,1\text{ m}^2 \). Considerând \( g = 10\text{ N/kg} \), calculați presiunea exercitată asupra zăpezii.
Forța normală de apăsare este greutatea schiorului:
\[ F_n = G = m \cdot g = 70\text{ kg} \cdot 10\text{ N/kg} = 700\text{ N} \]
Aria totală a celor două schiuri este:
\[ S = 2 \cdot 0,1\text{ m}^2 = 0,2\text{ m}^2 \]
Presiunea exercitată:
\[ p = \frac{F_n}{S} = \frac{700\text{ N}}{0,2\text{ m}^2} = 3\,500\text{ Pa} \]
Presiunea hidrostatică este presiunea exercitată în interiorul unui lichid aflat în echilibru sub acțiunea câmpului gravitațional, cauzată de greutatea straturilor superioare de lichid.
\[ p = \rho \cdot g \cdot h \]
\( \rho \) – densitatea lichidului; \( g \) – accelerația gravitațională; \( h \) – adâncimea (înălțimea coloanei de lichid deasupra punctului considerat)
Diferența de presiune dintre două puncte din interiorul aceluiași lichid situate la o diferență de nivel \( \Delta h \) este:
\[ \Delta p = p_2 - p_1 = \rho \cdot g \cdot \Delta h \]
Proprietățile presiunii hidrostatice:
- Depinde direct proporțional de adâncimea \( h \), de densitatea lichidului \( \rho \) și de accelerația gravitațională \( g \).
- Nu depinde de masa totală a lichidului, de forma sau de secțiunea vasului (paradoxul hidrostatic).
- Într-un lichid omogen aflat în echilibru, planele orizontale sunt suprafețe de egală presiune (suprafețe izobare).
- Se exercită în toate direcțiile, independent de orientarea suprafeței de contact.
Calculați presiunea hidrostatică exercitată pe fundul unui acvariu umplut cu apă dulce (\( \rho = 1\,000\text{ kg/m}^3 \)) până la înălțimea de \( 80\text{ cm} \) (\( g = 10\text{ N/kg} \)).
Transformăm adâncimea în unități SI: \( h = 80\text{ cm} = 0,8\text{ m} \).
\[ p = \rho \cdot g \cdot h = 1\,000\text{ kg/m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 0,8\text{ m} = 8\,000\text{ Pa} \]
Presiunea atmosferică reprezintă presiunea exercitată de greutatea aerului din atmosfera terestră asupra oricărei suprafețe cu care se află în contact.
\[ p_0 = \rho_{Hg} \cdot g \cdot h \]
Presiunea atmosferică normală (la nivelul mării, la 0 °C) corespunde unei coloane de mercur cu înălțimea \( h = 760\text{ mm} \):
\[ p_0 = 13\,590,46\text{ kg/m}^3 \cdot 9,81\text{ N/kg} \cdot 0,76\text{ m} \cong 101\,325\text{ Pa} = 101,325\text{ kPa} \approx 1\text{ atm} \]
- Presiunea atmosferică se măsoară cu barometrul.
- Presiunea atmosferică scade odată cu creșterea altitudinii, deoarece masa coloanei de aer de deasupra se micșorează, iar aerul devine mai rarefiat.
- Aerul cald se dilată și devine mai puțin dens, formând un centru de joasă presiune (ciclon), în timp ce aerul rece, mai dens, coboară și generează un centru de înaltă presiune (anticiclon).
Ce înălțime ar trebui să aibă coloana de lichid dintr-un barometru dacă, în locul mercurului (\( \rho_{Hg} = 13\,600\text{ kg/m}^3 \)), s-ar folosi apă (\( \rho_{ap\breve{a}} = 1\,000\text{ kg/m}^3 \)), la presiunea normală de \( 101\,325\text{ Pa} \)? (\( g \cong 9,8\text{ N/kg} \))
Din relația \( p_0 = \rho_{ap\breve{a}} \cdot g \cdot h_{ap\breve{a}} \):
\[ h_{ap\breve{a}} = \frac{p_0}{\rho_{ap\breve{a}} \cdot g} = \frac{101\,325\text{ Pa}}{1\,000\text{ kg/m}^3 \cdot 9,8\text{ N/kg}} \cong 10,34\text{ m} \]
Coloana de apă ar depăși 10 metri, motiv pentru care mercurul este mult mai potrivit pentru barometre.
Legea lui Pascal: Presiunea exercitată din exterior pe suprafața unui fluid incompresibil aflat în echilibru se transmite integral și cu aceeași intensitate în orice punct și în toate direcțiile în interiorul fluidului.
Condiția de egalitate a presiunilor exterioare la pistoane:
\[ p_1 = p_2 \implies \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \implies F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
Conservarea volumului de lichid deplasat (\( V_1 = V_2 \implies S_1 \cdot x_1 = S_2 \cdot x_2 \)):
\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{x_2}{x_1} \]
\( F_1, F_2 \) – forțele aplicate pe pistoane; \( S_1, S_2 \) – ariile secțiunilor pistoanelor; \( x_1, x_2 \) – deplasările efectuate de pistoane
Presa hidraulică multiplică forța de atâtea ori de câte ori suprafața pistonului mare o depășește pe cea a pistonului mic (\( S_2 / S_1 \)), dar cursa pistonului mare este proporțional mai mică (\( x_2 / x_1 = S_1 / S_2 \)), conservând lucrul mecanic (\( L_1 = L_2 \)).
Aplicații practice: cricul hidraulic, frânele hidraulice auto și pentru avioane, elevatoarele auto, presele industriale pentru ștanțat și caroserii, brațele excavatoarelor hidraulice.
Pe pistonul mic al unei prese hidraulice cu aria \( S_1 = 12\text{ cm}^2 \) se exercită o forță \( F_1 = 60\text{ N} \). Ce forță \( F_2 \) va acționa asupra pistonului mare, dacă aria acestuia este \( S_2 = 240\text{ cm}^2 \)?
Aplicând legea lui Pascal:
\[ F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 60\text{ N} \cdot \frac{240\text{ cm}^2}{12\text{ cm}^2} = 60 \cdot 20 = 1\,200\text{ N} \]
Legea lui Arhimede: Un corp scufundat într-un fluid aflat în echilibru este împins de jos în sus cu o forță verticală (numită forță arhimedică), egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit de acel corp.
\[ F_A = m_f \cdot g = \rho_f \cdot V_f \cdot g \]
\( \rho_f \) – densitatea fluidului; \( V_f \) – volumul de fluid dezlocuit (egal cu volumul părții scufundate a corpului); \( g \) – accelerația gravitațională
Condițiile de plutire și comportarea corpurilor în fluid:
- Corpul urcă la suprafață (\( F_A > G \) sau \( \rho_f > \rho_c \)): corpul este împins în sus de o forță ascensională \( F_{asc} = F_A - G \). La suprafață, el plutește parțial cufundat astfel încât greutatea corpului egalează forța arhimedică a părții scufundate (\( V_{sub} \)): \[ G = F'_A \implies \rho_c \cdot V_{c} \cdot g = \rho_f \cdot V_{sub} \cdot g \implies \frac{V_{sub}}{V_c} = \frac{\rho_c}{\rho_f} \]
- Echilibru indiferent în interiorul fluidului (\( F_A = G \) sau \( \rho_f = \rho_c \)): corpul rămâne în repaus în orice punct din interiorul fluidului.
- Corpul se scufundă (\( F_A < G \) sau \( \rho_f < \rho_c \)): corpul cade spre fund sub acțiunea greutății aparente: \[ G_a = G - F_A = G \left( 1 - \frac{\rho_f}{\rho_c} \right) \]
Aplicații practice ale legii lui Arhimede:
- Navele maritime: Plutesc deoarece au o formă concavă ce dezlocuiește un volum imens de apă, având o densitate medie mai mică decât a apei. Pentru stabilitate, metacentrul (punctul de intersecție a suportului forței arhimedice cu axa verticală de simetrie a navei) trebuie să fie situat deasupra centrului de greutate.
- Submarinele: Au tancuri de balast care se umplu cu apă pentru coborâre și se golesc cu aer comprimat pentru ridicare.
- Aerostatele (baloanele cu aer cald): Urcă când aerul din interior este încălzit (scăzând densitatea sub cea a aerului exterior rece) și plutesc când \( F_A = G_{total} \).
- Densimetrul: Tub de sticlă lestat cu alice sau mercur la bază, care măsoară densitatea lichidelor prin citirea adâncimii la care se scufundă pe o tijă gradată.
Un corp complet scufundat în apă are greutatea \( G = 25\text{ N} \), iar dinamometrul indică o greutate aparentă \( G_a = 15\text{ N} \). Care este forța arhimedică exercitată de apă?
Din definiția greutății aparente:
\[ G_a = G - F_A \implies F_A = G - G_a = 25\text{ N} - 15\text{ N} = 10\text{ N} \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Pentru determinarea densității unei soluții de saramură, se folosește un ou cu masa \( m = 54\text{ g} \) și volumul \( V = 50\text{ cm}^3 \). La introducerea în vasul cu saramură, oul plutește având \( 10\% \) din volumul său deasupra suprafeței libere a lichidului. Determinați densitatea saramurii.
Volumul părții scufundate a oului este:
\[ V_{sub} = V - 10\% \cdot V = 90\% \cdot V = 0,9 \cdot 50\text{ cm}^3 = 45\text{ cm}^3 \]
Deoarece oul plutește în echilibru, greutatea sa este egalată de forța arhimedică:
\[ G = F_A \implies m \cdot g = \rho_s \cdot V_{sub} \cdot g \implies m = \rho_s \cdot V_{sub} \]
Densitatea saramurii este:
\[ \rho_s = \frac{m}{V_{sub}} = \frac{54\text{ g}}{45\text{ cm}^3} = 1,2\text{ g/cm}^3 = 1\,200\text{ kg/m}^3 \]
Problema 2 (Medie): Asupra pistonului mare al unei prese hidraulice acționează o forță de rezistență de \( 2\,000\text{ N} \). Pentru a ridica această sarcină, asupra pistonului mic se aplică o forță de \( 100\text{ N} \), acesta coborând pe o distanță de \( 2\text{ cm} \). Determinați:
a) Raportul ariilor secțiunilor pistoanelor (\( S_2 / S_1 \));
b) Distanța pe care urcă pistonul mare.
a) Raportul ariilor secțiunilor pistoanelor (\( S_2 / S_1 \));
b) Distanța pe care urcă pistonul mare.
a) Din principiul transmiterii presiunii (legea lui Pascal):
\[ \frac{F_2}{S_2} = \frac{F_1}{S_1} \implies \frac{S_2}{S_1} = \frac{F_2}{F_1} = \frac{2\,000\text{ N}}{100\text{ N}} = 20 \]
Aria pistonului mare este de 20 de ori mai mare decât cea a pistonului mic.
b) Lichidul fiind incompresibil, volumul dezlocuit de pistonul mic este egal cu volumul primit sub pistonul mare: \[ V_1 = V_2 \implies S_1 \cdot x_1 = S_2 \cdot x_2 \implies x_2 = x_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} \] \[ x_2 = 2\text{ cm} \cdot \frac{1}{20} = 0,1\text{ cm} = 1\text{ mm} \]
b) Lichidul fiind incompresibil, volumul dezlocuit de pistonul mic este egal cu volumul primit sub pistonul mare: \[ V_1 = V_2 \implies S_1 \cdot x_1 = S_2 \cdot x_2 \implies x_2 = x_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} \] \[ x_2 = 2\text{ cm} \cdot \frac{1}{20} = 0,1\text{ cm} = 1\text{ mm} \]
Problema 3 (Medie): Presiunea hidrostatică exercitată de o coloană de apă (\( \rho_1 = 1\,000\text{ kg/m}^3 \)) pe fundul unui vas cilindric vertical este \( p_1 = 1\,500\text{ Pa} \). În vas se toarnă apoi un volum egal de ulei (\( \rho_2 = 800\text{ kg/m}^3 \)), nemiscibil cu apa. Considerând \( g = 10\text{ N/kg} \), calculați:
a) Înălțimea coloanei de apă \( h_1 \) și a coloanei de ulei \( h_2 \);
b) Presiunea hidrostatică totală exercitată de cele două lichide pe fundul vasului.
a) Înălțimea coloanei de apă \( h_1 \) și a coloanei de ulei \( h_2 \);
b) Presiunea hidrostatică totală exercitată de cele două lichide pe fundul vasului.
a) Înălțimea coloanei de apă se determină din formula presiunii hidrostatice:
\[ p_1 = \rho_1 \cdot g \cdot h_1 \implies h_1 = \frac{p_1}{\rho_1 \cdot g} = \frac{1\,500\text{ Pa}}{1\,000\text{ kg/m}^3 \cdot 10\text{ N/kg}} = 0,15\text{ m} = 15\text{ cm} \]
Deoarece vasul este cilindric (secțiune constantă \( S \)) și volumele celor două lichide sunt egale (\( V_1 = V_2 \)):
\[ S \cdot h_1 = S \cdot h_2 \implies h_2 = h_1 = 0,15\text{ m} \]
Uleiul având densitatea mai mică decât apa (\( 800 < 1\,000 \)), acesta se va așeza deasupra apei.
b) Presiunea exercitată de coloana superioară de ulei este: \[ p_2 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2 = 800\text{ kg/m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 0,15\text{ m} = 1\,200\text{ Pa} \] Presiunea totală pe fundul vasului este suma presiunilor exercitate de ambele lichide: \[ p_{total} = p_1 + p_2 = 1\,500\text{ Pa} + 1\,200\text{ Pa} = 2\,700\text{ Pa} \]
b) Presiunea exercitată de coloana superioară de ulei este: \[ p_2 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2 = 800\text{ kg/m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 0,15\text{ m} = 1\,200\text{ Pa} \] Presiunea totală pe fundul vasului este suma presiunilor exercitate de ambele lichide: \[ p_{total} = p_1 + p_2 = 1\,500\text{ Pa} + 1\,200\text{ Pa} = 2\,700\text{ Pa} \]
Problema 4 (Dificilă): Un cub omogen din lemn (\( \rho_c = 600\text{ kg/m}^3 \)) cu latura \( l = 0,2\text{ m} \) este ancorat și ținut complet scufundat pe fundul unui bazin plin cu apă sărată (\( \rho_a = 1\,200\text{ kg/m}^3 \)) prin intermediul unui fir inextensibil legat de fund. Considerând \( g = 10\text{ N/kg} \), determinați:
a) Forța arhimedică ce acționează asupra cubului;
b) Tensiunea \( T \) din firul de ancorare;
c) Diferența de presiune \( \Delta p \) dintre fața inferioară și cea superioară a cubului.
a) Forța arhimedică ce acționează asupra cubului;
b) Tensiunea \( T \) din firul de ancorare;
c) Diferența de presiune \( \Delta p \) dintre fața inferioară și cea superioară a cubului.
Volumul cubului este:
\[ V = l^3 = (0,2\text{ m})^3 = 0,008\text{ m}^3 \]
a) Cubul fiind complet scufundat, forța arhimedică este:
\[ F_A = \rho_a \cdot V \cdot g = 1\,200\text{ kg/m}^3 \cdot 0,008\text{ m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} = 96\text{ N} \]
b) Greutatea cubului de lemn este:
\[ G = m \cdot g = \rho_c \cdot V \cdot g = 600\text{ kg/m}^3 \cdot 0,008\text{ m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} = 48\text{ N} \]
Condiția de echilibru pe verticală pentru cubul aflat în repaus (forțele orientate în sus egalează forțele orientate în jos):
\[ F_A = G + T \implies T = F_A - G = 96\text{ N} - 48\text{ N} = 48\text{ N} \]
c) Diferența de presiune dintre fețele orizontale ale cubului depinde de înălțimea acestuia (\( l \)):
\[ \Delta p = \rho_a \cdot g \cdot l = 1\,200\text{ kg/m}^3 \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 0,2\text{ m} = 2\,400\text{ Pa} \]
(Observație de verificare: Forța rezultantă generată de această diferență de presiune pe aria bazei \( S = l^2 = 0,04\text{ m}^2 \) este \( F = \Delta p \cdot S = 2\,400\text{ Pa} \cdot 0,04\text{ m}^2 = 96\text{ N} \), reprezentând chiar forța arhimedică \( F_A \)).
