Cele mai importante aspecte ale lecției
Comportamentul corpurilor în fluide:
• Dacă \( \rho_c < \rho_f \), corpul se ridică cu forța ascensională \( F_{asc} = F_A - G \) și plutește parțial scufundat (\( f = \rho_c / \rho_f \)). Exemplu: aisbergurile sau lemnul în apă.
• Dacă \( \rho_c = \rho_f \), corpul rămâne în echilibru indiferent în masa de fluid. Exemplu: submarinul cu rezervoarele egalizate.
• Dacă \( \rho_c > \rho_f \), corpul se scufundă, având o greutate aparentă \( G_a = G - F_A \). Exemplu: o piesă de metal în apă.
Stabilitatea navelor: Este garantată când metacentrul \( M \) se află situat deasupra centrului de greutate \( C_G \), creând un cuplu de redresare.
Statica fluidelor: Presiunea hidrostatică crește liniar cu adâncimea (\( p = \rho g h \)); presiunea atmosferică medie este de circa \( 101{,}3 \text{ kPa} \) și scade odată cu altitudinea.
• Dacă \( \rho_c < \rho_f \), corpul se ridică cu forța ascensională \( F_{asc} = F_A - G \) și plutește parțial scufundat (\( f = \rho_c / \rho_f \)). Exemplu: aisbergurile sau lemnul în apă.
• Dacă \( \rho_c = \rho_f \), corpul rămâne în echilibru indiferent în masa de fluid. Exemplu: submarinul cu rezervoarele egalizate.
• Dacă \( \rho_c > \rho_f \), corpul se scufundă, având o greutate aparentă \( G_a = G - F_A \). Exemplu: o piesă de metal în apă.
Stabilitatea navelor: Este garantată când metacentrul \( M \) se află situat deasupra centrului de greutate \( C_G \), creând un cuplu de redresare.
Statica fluidelor: Presiunea hidrostatică crește liniar cu adâncimea (\( p = \rho g h \)); presiunea atmosferică medie este de circa \( 101{,}3 \text{ kPa} \) și scade odată cu altitudinea.
Comportarea unui corp introdus într-un fluid depinde de relația dintre greutatea corpului \( G \) și forța arhimedică \( F_A \), respectiv de raportul dintre densitatea corpului \( \rho_c \) și densitatea fluidului \( \rho_f \).
1. Corpul urcă la suprafață (\( F_A > G \iff \rho_c < \rho_f \)):
Corpul este accelerat în sus sub acțiunea forței ascensionale: \[ F_{asc} = F_A - G \] La suprafața liberă, corpul plutește parțial scufundat, ajungând la echilibru (\( F'_A = G \)). Fracțiunea scufundată \( f \) din volumul total satisface egalitatea: \[ \rho_c = f \cdot \rho_f \implies f = \frac{V_{scufundat}}{V_{corp}} = \frac{\rho_c}{\rho_f} \quad (f < 1) \]
Corpul este accelerat în sus sub acțiunea forței ascensionale: \[ F_{asc} = F_A - G \] La suprafața liberă, corpul plutește parțial scufundat, ajungând la echilibru (\( F'_A = G \)). Fracțiunea scufundată \( f \) din volumul total satisface egalitatea: \[ \rho_c = f \cdot \rho_f \implies f = \frac{V_{scufundat}}{V_{corp}} = \frac{\rho_c}{\rho_f} \quad (f < 1) \]
2. Corpul plutește în interiorul fluidului (\( F_A = G \iff \rho_c = \rho_f \)):
Corpul rămâne în echilibru indiferent de translație în orice punct în interiorul fluidului. Dacă este omogen, centrul de greutate \( C_G \) coincide cu centrul de presiune \( C_P \), realizându-se și echilibrul de rotație. La corpurile neomogene, cele două puncte nu coincid.
Corpul rămâne în echilibru indiferent de translație în orice punct în interiorul fluidului. Dacă este omogen, centrul de greutate \( C_G \) coincide cu centrul de presiune \( C_P \), realizându-se și echilibrul de rotație. La corpurile neomogene, cele două puncte nu coincid.
3. Corpul se scufundă (\( F_A < G \iff \rho_c > \rho_f \)):
Corpul coboară pe fundul vasului sub acțiunea greutății aparente \( G_a \): \[ G_a = G - F_A = G\left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_c}\right) \]
Corpul coboară pe fundul vasului sub acțiunea greutății aparente \( G_a \): \[ G_a = G - F_A = G\left(1 - \frac{\rho_f}{\rho_c}\right) \]
Un cub de gheață cu volumul \( V = 100 \text{ cm}^3 \) și densitatea \( \rho = 900 \text{ kg/m}^3 \) este lăsat liber în apă (\( \rho_{apă} = 1\,000 \text{ kg/m}^3 \)). Va pluti sau se va scufunda cubul? Ce volum rămâne deasupra apei?
Deoarece \( \rho < \rho_{apă} \), cubul va pluti parțial scufundat.
Fracțiunea din volum aflată sub apă este: \[ f = \frac{\rho}{\rho_{apă}} = \frac{900}{1\,000} = 0{,}9 \implies V_{scufundat} = 0{,}9 \cdot 100 \text{ cm}^3 = 90 \text{ cm}^3 \] Volumul rămas deasupra apei: \[ V_{emergent} = V - V_{scufundat} = 100 - 90 = 10 \text{ cm}^3 \]
Fracțiunea din volum aflată sub apă este: \[ f = \frac{\rho}{\rho_{apă}} = \frac{900}{1\,000} = 0{,}9 \implies V_{scufundat} = 0{,}9 \cdot 100 \text{ cm}^3 = 90 \text{ cm}^3 \] Volumul rămas deasupra apei: \[ V_{emergent} = V - V_{scufundat} = 100 - 90 = 10 \text{ cm}^3 \]
Nave maritime: Plutesc la suprafața apei (\( F_A = G \)) datorită dislocării unui volum mare de apă.
Pentru ca plutirea să fie stabilă, centrul de greutate \( C_G \) și centrul de presiune \( C_P \) trebuie să fie pe aceeași verticală. În caz de înclinare, cuplul de forțe format din greutate și forța arhimedică trebuie să readucă vaporul la poziția verticală. Aceasta impune ca direcția forței arhimedice să intersecteze axa de simetrie a navei într-un punct numit metacentru (\( M \)), situat deasupra centrului de greutate al navei. Din acest motiv, încărcătura grea a navelor se plasează întotdeauna cât mai jos, pe fundul calelor.
Submarinul și batiscaful: Plutesc în interiorul lichidului (\( F_A = G \)).
Submarinele au rezervoare de balast care se umplu cu apă pentru a coborî (crește greutatea totală \( G \)) și se golesc prin suflarea de aer comprimat pentru a urca la suprafață (scade \( G \)).
Baloanele cu aer cald și aerostatele: Plutesc în atmosferă datorită forței arhimedice exercitate de aer.
Prin încălzirea aerului din anvelopă, densitatea acestuia scade. Când \( F_A > G_{tot} \), balonul se înalță. Când \( F_A = G_{tot} \), balonul plutește la altitudine constantă.
Densimetrul: Instrument utilizat pentru determinarea directă a densității lichidelor.
Este alcătuit dintr-un tub de sticlă lestat la bază cu alice de plumb sau mercur (pentru a asigura o plutire verticală stabilă) și o tijă subțire prevăzută cu o scală gradată în unități de densitate. Cu cât densitatea lichidului este mai mare, cu atât tija este mai puțin scufundată.
Fluidul este o substanță care curge și ia forma vasului în care se află (lichidele și gazele). Lichidele sunt incompresibile și au suprafață liberă; gazele sunt compresibile și ocupă tot volumul disponibil. Modelul teoretic utilizat este fluidul ideal (lipsit de frecare internă/viscozitate).
Presiunea:
\[ p = \frac{F_n}{S} \]
Unitate de măsură în SI: \( [p]_{SI} = \text{N/m}^2 = \text{Pa} \) (pascal).
Presiunea hidrostatică la adâncimea \( h \):
\[ p = \rho \cdot g \cdot h \]
Diferența de presiune între două adâncimi separate de distanța \( \Delta h \):
\[ \Delta p = \rho \cdot g \cdot \Delta h \]
Paradoxul hidrostatic: Într-un sistem de vase comunicante de forme diferite, nivelul aceluiași lichid aflat în echilibru este identic în toate brațele, deoarece presiunea la bază depinde doar de înălțimea coloanei de lichid, nu de forma vasului sau de masa lichidului.
Legea lui Pascal: Presiunea exercitată din exterior pe o suprafață a unui lichid se transmite integral și cu aceeași intensitate în toate direcțiile, în tot volumul lichidului.
Aplicație directă: Presa hidraulică, care multiplică forța aplicată proporțional cu raportul ariilor pistoanelor: \[ F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
Aplicație directă: Presa hidraulică, care multiplică forța aplicată proporțional cu raportul ariilor pistoanelor: \[ F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \]
Presiunea atmosferică scade odată cu creșterea altitudinii din cauza rarefierii aerului. La nivelul mării, valoarea medie normală este:
\[ p_0 \approx 101\,325 \text{ Pa} \approx 1\,013{,}25 \text{ hPa} \approx 760 \text{ mmHg} \]
Aerul cald se dilată, devine mai puțin dens și urcă, formând un centru de presiune joasă (ciclon). Aerul rece, fiind mai dens și mai greu, coboară, formând un centru de presiune înaltă (anticiclon).
Barometrul: Instrument inventat de Evangelista Torricelli (1643) pentru măsurarea presiunii atmosferice cu ajutorul unei coloane de mercur ce echilibrează greutatea aerului exterior.
Experiența emisferelor de Magdeburg (Otto von Guericke): Două emisfere metalice etanșate și vidate la interior nu au putut fi dezlipite de opt perechi de cai, demonstrând forța uriașă exercitată de presiunea atmosferică din exterior.
Manometrul: Dispozitiv pentru măsurarea presiunii dintr-o incintă închisă sau a diferenței de presiune (manometru diferențial cu tub în formă de U):
\[ \Delta p = p - p_0 = \rho_l \cdot g \cdot \Delta h \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Un corp omogen din lemn plutește la suprafața apei (\( \rho_{apă} = 1\,000 \text{ kg/m}^3 \)). Știind că densitatea lemnului este \( \rho = 750 \text{ kg/m}^3 \), determinați procentul din volumul corpului care este scufundat în apă.
La echilibrul de plutire, greutatea este egală cu forța arhimedică:
\[ G = F_A \implies \rho \cdot V_{tot} \cdot g = \rho_{apă} \cdot V_{scufundat} \cdot g \]
Fracțiunea scufundată este:
\[ f = \frac{V_{scufundat}}{V_{tot}} = \frac{\rho}{\rho_{apă}} = \frac{750}{1\,000} = 0{,}75 = 75\% \]
Răspuns: \( 75\% \) din volumul corpului se află sub nivelul apei.
Problema 2 (Medie): Un cub de aluminiu cu latura \( l = 10 \text{ cm} \) și densitatea \( \rho_{Al} = 2\,700 \text{ kg/m}^3 \) este scufundat complet în apă (\( \rho_a = 1\,000 \text{ kg/m}^3 \)). Considerând \( g = 10 \text{ N/kg} \), calculați:
a) Valoarea forței arhimedice ce acționează asupra cubului;
b) Greutatea aparentă a cubului în apă.
a) Valoarea forței arhimedice ce acționează asupra cubului;
b) Greutatea aparentă a cubului în apă.
Volumul cubului:
\[ V = l^3 = (0{,}1 \text{ m})^3 = 10^{-3} \text{ m}^3 \]
Greutatea reală a cubului:
\[ G = m \cdot g = \rho_{Al} \cdot V \cdot g = 2\,700 \cdot 10^{-3} \cdot 10 = 27 \text{ N} \]
a) Forța arhimedică este greutatea apei dezlocuite: \[ F_A = \rho_a \cdot V \cdot g = 1\,000 \cdot 10^{-3} \cdot 10 = 10 \text{ N} \] b) Greutatea aparentă indicată de un dinamometru în apă este: \[ G_a = G - F_A = 27 - 10 = 17 \text{ N} \] Răspuns: \( F_A = 10 \text{ N} \), \( G_a = 17 \text{ N} \).
a) Forța arhimedică este greutatea apei dezlocuite: \[ F_A = \rho_a \cdot V \cdot g = 1\,000 \cdot 10^{-3} \cdot 10 = 10 \text{ N} \] b) Greutatea aparentă indicată de un dinamometru în apă este: \[ G_a = G - F_A = 27 - 10 = 17 \text{ N} \] Răspuns: \( F_A = 10 \text{ N} \), \( G_a = 17 \text{ N} \).
Problema 3 (Dificilă): O piesă metalică cu masa \( m = 1{,}6 \text{ kg} \) conține un gol etanș în interior. Scufundată complet în apă (\( \rho_0 = 1\,000 \text{ kg/m}^3 \)), piesa are o greutate aparentă \( G_a = 6 \text{ N} \). Știind că densitatea metalului compact este \( \rho = 8\,000 \text{ kg/m}^3 \) și \( g = 10 \text{ N/kg} \), calculați volumul golului interior.
Greutatea reală a piesei:
\[ G = m \cdot g = 1{,}6 \cdot 10 = 16 \text{ N} \]
Forța arhimedică rezultă din relația greutății aparente:
\[ G_a = G - F_A \implies F_A = G - G_a = 16 - 6 = 10 \text{ N} \]
Volumul total exterior dezlocuit de piesă este:
\[ V_{tot} = \frac{F_A}{\rho_0 \cdot g} = \frac{10}{1\,000 \cdot 10} = 10^{-3} \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 \]
Volumul ocupat efectiv de metal:
\[ V_{metal} = \frac{m}{\rho} = \frac{1{,}6}{8\,000} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ m}^3 = 200 \text{ cm}^3 \]
Volumul golului din interiorul piesei:
\[ V_{gol} = V_{tot} - V_{metal} = 1\,000 - 200 = 800 \text{ cm}^3 \]
Răspuns: Volumul cavității interioare este \( 800 \text{ cm}^3 \).
