Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii fundamentale:
- Unda mecanică transferă energie printr-un mediu deformabil fără transfer de materie. Relațiile fundamentale sunt \(\nu = \frac{1}{T}\) și \(\lambda = \frac{v}{\nu}\).
- Clasificare: Longitudinale (oscilații paralele cu propagarea; sunetul în aer și fluide) și Transversale (oscilații perpendiculare; corzi vibrante, exclusiv solide/suprafețe libere).
- Sunetul necesită mediu material (nu se propagă în vid); viteza sa în aer este \(\sim 340\text{ m/s}\) la \(20^\circ\text{C}\) și crește cu temperatura.
- Reflexia și Ecoul: Perceperea distinctă a ecoului impune un decalaj minim de \(0{,}1\text{ s}\), echivalent cu o distanță minimă de \(17\text{ m}\) până la obstacol în aer.
- Caracteristici: Înălțimea (frecvență), Tăria (amplitudine, măsurată în dB) și Timbrul (compoziția armonică).
- Efectul Doppler: Frecvența crește la apropiere (sunet mai acut) și scade la îndepărtare (sunet mai grav).
- Rezonanța: Coincidența dintre frecvența forței periodice exterioare și frecvența proprie a sistemului generează oscilații de amplitudine maximă.
Undele mecanice reprezintă fenomenul de propagare a unei perturbații printr-un mediu elastic, însoțit de transfer de energie fără transport net de substanță.
Amplitudinea (\(A\)): Deplasarea maximă a unei particule din mediul oscilant față de poziția sa de echilibru.
\([A]_{\text{SI}} = \text{m}\) (metru)
Perioada (\(T\)): Intervalul de timp necesar efectuării unei oscilații complete.
\([T]_{\text{SI}} = \text{s}\) (secundă)
Frecvența (\(\nu\)): Numărul de oscilații efectuate în unitatea de timp, reprezentând inversul perioadei.
\([\nu]_{\text{SI}} = \frac{1}{\text{s}} = \text{Hz}\) (hertz)
Lungimea de undă (\(\lambda\)): Distanța parcursă de undă în timpul unei perioade oscilatorii complete.
\([\lambda]_{\text{SI}} = \text{m}\) (metru)
\[ \nu = \frac{1}{T} \]
\[ \lambda = v \cdot T = \frac{v}{\nu} \]
\(v\) este viteza de propagare a undei în mediul elastic (\(\text{m/s}\)).
O undă mecanică se propagă într-un mediu cu viteza de \(300\text{ m/s}\), având o frecvență de \(150\text{ Hz}\). Determinați perioada oscilațiilor și lungimea de undă.
1. Perioada este inversul frecvenței:
\[ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{150\text{ Hz}} \approx 0{,}0067\text{ s} = 6{,}7\text{ ms} \]
2. Lungimea de undă se calculează cu relația:
\[ \lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{300\text{ m/s}}{150\text{ Hz}} = 2\text{ m} \]
Unde longitudinale: Unde în care particulele mediului oscilează pe aceeași direcție cu direcția de propagare a undei (prin comprimări și rarefieri succesive). Se pot propaga în toate stările de agregare: gaze, lichide și solide. Exemple: undele sonore în aer.
Unde transversale: Unde în care particulele mediului oscilează perpendicular pe direcția de propagare. Se propagă exclusiv în medii solide și pe suprafața de separație a lichidelor. Exemple: undele de-a lungul unei corzi de chitară.
Valurile provocate de vânt la suprafața apei sau vibrația corzilor unei viori generează unde transversale, în timp ce propagarea sunetului produs de un fluier prin aer constituie o undă longitudinală.
De ce undele transversale nu se pot propaga în interiorul gazelor sau al lichidelor?
Undele transversale necesită apariția unor forțe elastice de forfecare (alunecare între straturi adiacente) atunci când particulele sunt deplasate perpendicular pe direcția undei. Fluidele (gazele și lichidele) nu opun rezistență la deformarea de forfecare, având elasticitate doar la comprimare/volum, permițând exclusiv propagarea undelor longitudinale.
Sunetul este o undă mecanică longitudinală perceptibilă, generată de oscilațiile sau vibrațiile elastice ale unor corpuri materiale numite surse sonore (membrane, corzi, coloane de aer).
Sunetul are nevoie obligatoriu de un mediu material elastic pentru a se transmite. În vid, sunetul nu se propagă deloc.
Viteza de propagare a sunetului depinde de natura și starea mediului (densitate, elasticitate, temperatură). În fluide, viteza crește odată cu temperatura. În aer, la temperatura de \(20^\circ\text{C}\), viteza este de aproximativ \(343\text{ m/s}\) (frecvent aproximată la \(340\text{ m/s}\)).
Corzile vocale generează sunete prin vibrația pliurilor laringiene la expulzarea aerului: bărbații emit frecvențe medii de \(\sim 125\text{ Hz}\) (corzi mai lungi și mai groase), femeile de \(\sim 210\text{ Hz}\), iar copiii de \(\sim 300\text{ Hz}\).
Atunci când un corp (de exemplu, un avion) depășește viteza sunetului în aer (\(v > v_{\text{sunet}}\)), acesta creează unde de șoc puternice care se aud la sol sub forma unei explozii puternice, numită boom sonic.
Într-un experiment clasic, un ceasornic mecanic este pus sub un clopot de sticlă conectat la o pompă de vid. Ce se constată pe măsură ce aerul este evacuat treptat din clopot?
Pe măsură ce aerul este extras, intensitatea ticăitului scade continuu, iar după realizarea vidului sunetul devine complet inaudibil, deoarece nu mai există particule de mediu care să transmită variațiile periodice de presiune ale undei mecanice.
Reflexia undelor sonore reprezintă fenomenul de întoarcere a sunetului în mediul din care a provenit, la întâlnirea suprafeței de separație cu un alt mediu. Unghiul de reflexie este congruent cu unghiul de incidență.
Ecoul: Fenomenul acustic ce constă în perceperea separată și repetată a sunetului direct și a celui reflectat de un obstacol.
Pentru ca urechea umană să perceapă distinct ecoul față de sunetul emis, între cele două recepții trebuie să treacă un interval de timp de minimum \(\Delta t = 0{,}1\text{ s}\) (o zecime de secundă), reprezentând persistența senzației auditive.
\[ d_{\min} = \frac{v_{\text{sunet}} \cdot \Delta t}{2} \]
Pentru \(v_{\text{sunet}} = 340\text{ m/s}\) și \(\Delta t = 0{,}1\text{ s}\):
\[ d_{\min} = \frac{340\text{ m/s} \cdot 0{,}1\text{ s}}{2} = 17\text{ m} \]
Sonarele navale și ecolocația utilizată de delfini sau lilieci emit impulsuri acustice (în special ultrasunete) și măsoară timpul de întoarcere a ecoului pentru a cartografia relieful subacvatic sau a localiza prada: \(d = \frac{v \cdot \Delta t}{2}\).
Un vapor trimite un impuls ultrasonic vertical spre fundul apei marine (\(v_{\text{apă}} = 1500\text{ m/s}\)). Semnalul reflectat este înregistrat de sonar după \(0{,}8\text{ s}\). Aflați adâncimea apei sub vapor.
Distanța totală parcursă de undă este dus-întors (\(2h\)):
\[ 2h = v_{\text{apă}} \cdot \Delta t \implies h = \frac{v_{\text{apă}} \cdot \Delta t}{2} \]
\[ h = \frac{1500\text{ m/s} \cdot 0{,}8\text{ s}}{2} = 600\text{ m} \]
Adâncimea apei este de \(600\text{ m}\).
Înălțimea: Calitatea sunetului dictată de frecvența undei (\(\nu\)). Frecvențele joase dau sunete grave (groase), iar frecvențele mari dau sunete înalte (ascuțite). În muzică, nota La are frecvența standard de \(440\text{ Hz}\).
Tăria (Intensitatea sonoră): Caracteristica legată de energia medie transportată de undă pe unitatea de suprafață în unitatea de timp, depinzând direct de amplitudinea oscilației. Nivelul de intensitate sonoră se măsoară în decibeli (dB) sau foni.
Timbrul: Proprietatea care permite diferențierea a două sunete de aceeași înălțime și aceeași intensitate emise de surse diferite (de exemplu, o vioară și un pian). Este dat de spectrul armonicelor secundare suprapuse peste sunetul fundamental.
Sunetele se împart în sunete muzicale (care au frecvențe bine definite, spectru discontinuu) și zgomote (vibrații neregulate, cu un spectru continuu de frecvențe).
Dacă se scurtează lungimea porțiunii libere a unei rigle elastice fixate la capătul mesei și se pune în vibrație, ce se întâmplă cu înălțimea sunetului emis?
Scurtarea lamelei elastice micșorează perioada oscilației și mărește frecvența acesteia (\(\nu \uparrow\)). Prin urmare, sunetul produs va avea o înălțime mai mare (devine mai ascuțit).
Efectul Doppler constă în variația frecvenței percepute a unei unde atunci când sursa sonoră și observatorul (receptorul) se află în mișcare relativă unul față de celălalt.
Dacă sursa sonoră se deplasează cu viteza \(v_{\text{sursă}}\) față de un mediu în care viteza sunetului este \(v_{\text{sunet}}\):
- La apropierea sursei: fronturile de undă sunt comprimate în fața sursei, lungimea de undă aparentă scade, iar frecvența percepută \(\nu'\) crește (sunetul pare mai înalt/acut): \[ \nu' = \nu \cdot \frac{v_{\text{sunet}}}{v_{\text{sunet}} - v_{\text{sursă}}} \]
- La îndepărtarea sursei: fronturile de undă se dilată în spatele sursei, iar frecvența percepută \(\nu''\) scade (sunetul pare mai grav/jos): \[ \nu'' = \nu \cdot \frac{v_{\text{sunet}}}{v_{\text{sunet}} + v_{\text{sursă}}} \]
Ultrasonografia Doppler: Se emit ultrasunete către vasele de sânge; unda reflectată de globulele roșii aflate în mișcare își modifică frecvența. Din diferența de frecvență aparat-receptor se calculează viteza de curgere a sângelui.
O sirenă fixă emite un sunet cu frecvența de \(680\text{ Hz}\). O ambulanță care poartă sirena se apropie de un pieton cu viteza de \(34\text{ m/s}\). Considerând viteza sunetului \(v_{\text{sunet}} = 340\text{ m/s}\), ce frecvență aude pietonul?
Aplicăm relația Doppler pentru sursă în apropiere:
\[ \nu' = \nu \cdot \frac{v_{\text{sunet}}}{v_{\text{sunet}} - v_{\text{sursă}}} = 680 \cdot \frac{340}{340 - 34} = 680 \cdot \frac{340}{306} \approx 755{,}6\text{ Hz} \]
Pietonul aude un sunet mai ascuțit (\(\approx 755{,}6\text{ Hz}\)).
Rezonanța mecanică este fenomenul de amplificare puternică a amplitudinii de oscilație a unui sistem fizic, atunci când asupra lui acționează o forță periodică exterioară a cărei frecvență este egală sau foarte apropiată de frecvența proprie de oscilație a sistemului.
La rezonanță are loc transferul maxim de energie de la sursa exterioară către sistemul oscilant.
Dacă nu este controlată prin amortizoare, rezonanța poate produce distrugeri catastrofale structurilor inginerești:
- Podul Broughton din Anglia s-a prăbușit în anul 1831 din cauza rezonanței induse de pasul cadențat al soldaților care îl traversau.
- Podul Millennium Bridge din Londra a intrat în oscilații laterale periculoase din cauza pașilor pietonilor, fiind stabilizat prin instalarea unor amortizoare hidraulice.
Leagănul pentru copii atinge amplitudini din ce în ce mai mari dacă este împins cu o frecvență egală cu frecvența sa proprie de pendulare.
De ce clădirile din zonele seismice sunt proiectate cu structuri speciale de rigidizare și amortizoare la bază?
Se urmărește ca frecvențele proprii de vibrație ale clădirii să fie substanțial diferite de frecvențele tipice ale undelor seismice provocate de cutremure. În acest fel se evită rezonanța mecanică, protejând construcția de oscilații cu amplitudine distructivă.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): În timpul unei furtuni, un observator zărește sclipirea unui fulger și aude tunetul după un interval de timp \(\Delta t = 5\text{ s}\). Cunoscând viteza luminii \(c = 300\,000\text{ km/s}\) și viteza sunetului în aer \(v_{\text{sunet}} = 340\text{ m/s}\):
a) Calculați distanța aproximativă la care s-a produs descărcarea electrică, neglijând timpul de propagare a luminii.
b) Justificați de ce neglijarea timpului de propagare a luminii este pe deplin acceptabilă în calcul.
a) Calculați distanța aproximativă la care s-a produs descărcarea electrică, neglijând timpul de propagare a luminii.
b) Justificați de ce neglijarea timpului de propagare a luminii este pe deplin acceptabilă în calcul.
a) Considerând că lumina ajunge aproape instantaneu, distanța este dată direct de propagarea undei sonore a tunetului:
\[ d = v_{\text{sunet}} \cdot \Delta t = 340\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} = 1700\text{ m} = 1{,}7\text{ km} \]
b) Timpul în care lumina străbate această distanță este:
\[ t_{\text{lumină}} = \frac{d}{c} = \frac{1700\text{ m}}{3 \cdot 10^8\text{ m/s}} \approx 5{,}67 \cdot 10^{-6}\text{ s} = 5{,}67\text{ }\mu\text{s} \]
Această durată de câteva microsecunde este mult sub limita de percepție umană și complet neglijabilă comparativ cu cele \(5\text{ s}\).
Problema 2 (Medie): Un turist se află pe o potecă rectilinie mărginită la capăt de un perete stâncos vertical. El bate scurt din palme și aude ecoul sunetului după \(\Delta t = 1{,}6\text{ s}\). Viteza sunetului în aer este \(v = 340\text{ m/s}\).
a) La ce distanță de perete se află turistul?
b) Dacă sunetul emis are frecvența de \(850\text{ Hz}\), care este lungimea de undă a acestuia?
a) La ce distanță de perete se află turistul?
b) Dacă sunetul emis are frecvența de \(850\text{ Hz}\), care este lungimea de undă a acestuia?
a) Unda parcurge distanța dus-întors (\(2d\)) în intervalul \(\Delta t\):
\[ 2d = v \cdot \Delta t \implies d = \frac{v \cdot \Delta t}{2} \]
\[ d = \frac{340\text{ m/s} \cdot 1{,}6\text{ s}}{2} = 272\text{ m} \]
b) Lungimea de undă se calculează folosind relația:
\[ \lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{340\text{ m/s}}{850\text{ Hz}} = 0{,}4\text{ m} = 40\text{ cm} \]
Problema 3 (Avansată): Un sonar montat pe o navă militară aflată în repaus emite în apă o undă acustică cu frecvența \(\nu = 60\text{ kHz}\). Viteza de propagare a sunetului în apă este \(v_{\text{sunet}} = 1500\text{ m/s}\). Un submarin se deplasează pe aceeași direcție, îndepărtându-se direct de navă cu o viteză constantă \(v_{\text{sub}} = 54\text{ km/h}\).
a) Calculați lungimea de undă emisă de sonar în apa mării.
b) Determinați frecvența undei recepționate direct de hidrofoanele submarinului în mișcare.
a) Calculați lungimea de undă emisă de sonar în apa mării.
b) Determinați frecvența undei recepționate direct de hidrofoanele submarinului în mișcare.
a) Lungimea de undă a semnalului emis:
\[ \nu = 60\text{ kHz} = 60\,000\text{ Hz} \]
\[ \lambda = \frac{v_{\text{sunet}}}{\nu} = \frac{1500\text{ m/s}}{60\,000\text{ Hz}} = 0{,}025\text{ m} = 2{,}5\text{ cm} \]
b) Transformăm viteza submarinului în unități SI:
\[ v_{\text{sub}} = \frac{54}{3{,}6}\text{ m/s} = 15\text{ m/s} \]
Deoarece observatorul (submarinul) se îndepărtează de sursa fixă, viteza relativă a fronturilor de undă față de submarin este \(v_{\text{rel}} = v_{\text{sunet}} - v_{\text{sub}}\). Frecvența recepționată de submarin este:
\[ \nu_{\text{rec}} = \frac{v_{\text{rel}}}{\lambda} = \nu \cdot \frac{v_{\text{sunet}} - v_{\text{sub}}}{v_{\text{sunet}}} \]
\[ \nu_{\text{rec}} = 60\,000 \cdot \frac{1500 - 15}{1500} = 60\,000 \cdot \frac{1485}{1500} = 59\,400\text{ Hz} = 59{,}4\text{ kHz} \]
