Copertă

9. Ne Corectăm, Învățăm, Progresăm

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

\[ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Numărul scris cu cifre} & \text{Numărul scris cu litere} & \text{Predecesorul și succesorul} \\ \hline 56\ 104 & \text{cincizeci și șase de mii o sută patru} & 56\ 103; 56\ 105 \\ \hline 123\ 600 & \text{o sută douăzeci și trei de mii șase sute} & 123\ 599; 123\ 601 \\ \hline 512\ 943 & \text{cinci sute douăsprezece mii nouă sute patruzeci și trei} & 512\ 942; 512\ 944 \\ \hline \end{array} \] Pentru \( 123\ 600 \): Predecesor: \( 123\ 600 - 1 = 123\ 599 \) Succesor: \( 123\ 600 + 1 = 123\ 601 \) Pentru \( 512\ 943 \): Predecesor: \( 512\ 943 - 1 = 512\ 942 \) Succesor: \( 512\ 943 + 1 = 512\ 944 \)

Rezolvare detaliată

Pentru a completa jurnalul cu triplă intrare, vom analiza fiecare număr dat și vom urma pașii de scriere cu litere și de determinare a vecinilor (predecesorul și succesorul).

Pasul 1: Analiza numărului \( 123\ 600 \)

Scrierea cu litere se face citind pe rând clasele. Numărul \( 123\ 600 \) are \( 123 \) în clasa miilor și \( 600 \) în clasa unităților.
Scrierea cu litere: o sută douăzeci și trei de mii șase sute.
Pentru a găsi predecesorul, scădem o unitate din număr: \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 1 & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ - & & & & & & 1 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 5 & 9 & 9 \\ \end{array} \] Am împrumutat de la ordinul sutelor pentru a efectua scăderea la unități și zeci.
Pentru a găsi succesorul, adunăm o unitate la număr: \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 1 & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ + & & & & & & 1 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 6 & 0 & 1 \\ \end{array} \]

Pasul 2: Analiza numărului \( 512\ 943 \)

Numărul \( 512\ 943 \) are \( 512 \) în clasa miilor și \( 943 \) în clasa unităților.
Scrierea cu litere: cinci sute douăsprezece mii nouă sute patruzeci și trei.
Pentru a găsi predecesorul, scădem o unitate: \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 5 & 1 & 2 & 9 & 4 & 3 \\ - & & & & & & 1 \\ \hline & 5 & 1 & 2 & 9 & 4 & 2 \\ \end{array} \] Pentru a găsi succesorul, adunăm o unitate: \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 5 & 1 & 2 & 9 & 4 & 3 \\ + & & & & & & 1 \\ \hline & 5 & 1 & 2 & 9 & 4 & 4 \\ \end{array} \]

Pasul 3: Completarea tabelului

Centralizăm toate informațiile obținute în tabelul final. \[ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Numărul scris cu cifre} & \text{Numărul scris cu litere} & \text{Predecesorul și succesorul} \\ \hline 56\ 104 & \text{cincizeci și șase de mii o sută patru} & 56\ 103; 56\ 105 \\ \hline 123\ 600 & \text{o sută douăzeci și trei de mii șase sute} & 123\ 599; 123\ 601 \\ \hline 512\ 943 & \text{cinci sute douăsprezece mii nouă sute patruzeci și trei} & 512\ 942; 512\ 944 \\ \hline \end{array} \] Notă: În exemplul din manual pentru 56 104, succesorul este scris greșit ca 53 105; valoarea corectă este 56 105.

Rezolvare pe scurt:

\[ \begin{array}{|l|l|l|} \hline 56\ 104 & \text{cincizeci și șase de mii o sută patru} & 56\ 103; 56\ 105 \\ \hline 123\ 600 & \text{o sută douăzeci și trei de mii șase sute} & 123\ 599; 123\ 601 \\ \hline 512\ 943 & \text{cinci sute douăsprezece mii nouă sute patruzeci și trei} & 512\ 942; 512\ 944 \\ \hline \end{array} \]

Cele mai importante aspecte ale lecției

Despre numere naturale: Sistemul este zecimal și pozițional, organizat pe clase (unități, mii, milioane) și ordine.
Comparare: Când se compară două numere, se ia în calcul numărul de cifre, iar la egalitate, se compară de la stânga la dreapta valoarea fiecărei cifre.
Rotunjire: Dacă cifra de control este \(\ge 5\) rotunjim în sus (prin adaos); dacă este \(< 5\) rotunjim în jos (prin lipsă).
Cifre romane: Se bazează pe 7 simboluri (I, V, X, L, C, D, M). Simbolurile mai mici plasate la stânga se scad, iar la dreapta se adună.
Sistemul de numerație utilizat este zecimal (10 unități de un ordin formează o unitate de ordin superior) și pozițional (valoarea unei cifre depinde de locul ocupat în scrierea numărului).
Pentru scrierea și citirea numerelor, cifrele se grupează în clase (clasa unităților, clasa miilor, clasa milioanelor). Fiecare clasă are trei ordine: unități, zeci și sute.
Clasa miilor Clasa unităților
Sute de mii (6) Zeci de mii (5) Unități de mii (4) Sute (3) Zeci (2) Unități (1)
3 8 4 2 5 1
Orice număr natural poate fi scris ca o sumă a unităților fiecărui ordin care îl compune.
Descompunerea numărului \( 384\ 251 \): \[ 384\ 251 = 300\ 000 + 80\ 000 + 4\ 000 + 200 + 50 + 1 \]
Număr diferit de cifre: Este mai mare numărul care are mai multe cifre. (Ex: \( 127\ 000 > 64\ 500 \))
Același număr de cifre: Se compară valorile cifrelor începând de la ordinul cel mai mare (de la stânga la dreapta), până se găsesc două cifre diferite. (Ex: \( 297\ 251 > 275\ 237 \) deoarece la ordinul zecilor de mii \( 9 > 7 \))
Pentru orice număr natural există un predecesor (numărul cu o unitate mai mic: \( n - 1 \)) și un succesor (numărul cu o unitate mai mare: \( n + 1 \)).
Pentru numărul \( 32\ 754 \):
  • Predecesorul: \( 32\ 753 \)
  • Succesorul: \( 32\ 755 \)
Relația de ordine crescătoare: \( 32\ 753 < 32\ 754 < 32\ 755 \)
Rotunjirea este înlocuirea unui număr cu cel mai apropiat număr format doar din unități ale unui anumit ordin (zeci, sute, mii etc.).
Rotunjirea prin lipsă: Se aplică dacă cifra ordinului imediat inferior celui la care se face rotunjirea este mai mică decât \( 5 \).
Rotunjirea prin adaos: Se aplică dacă cifra ordinului imediat inferior este mai mare sau cel puțin egală cu \( 5 \).
  • \( 2\ 643 \rightarrow 2\ 640 \) (rotunjire la zeci, prin lipsă, deoarece \( 3 < 5 \))
  • \( 2\ 685 \rightarrow 2\ 700 \) (rotunjire la sute, prin adaos, deoarece \( 8 \ge 5 \))
Cifrele romane se scriu folosind următoarele 7 simboluri de bază:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Formarea prin adunare: O cifră cu valoare mai mică scrisă la dreapta uneia cu valoare mai mare se adună la aceasta.
Exemplu: \( \text{VI} = 5 + 1 = 6 \)
Formarea prin scădere: O cifră cu valoare mai mică scrisă la stânga uneia cu valoare mai mare se scade din aceasta.
Exemplu: \( \text{IX} = 10 - 1 = 9 \)
Prin combinarea regulilor de adunare și scădere se formează numere complexe: \[ \text{MCXLIV} = 1000 + 100 + (50 - 10) + (5 - 1) = 1144 \]

Probleme de antrenament

Ușoară: Scrieți predecesorul și succesorul numărului \( 140\ 000 \).
Predecesorul (numărul minus 1): \( 139\ 999 \)
Succesorul (numărul plus 1): \( 140\ 001 \)
Medie: Scrieți cu cifre arabe următoarele numere scrise cu cifre romane: \(\text{LXIV}\), \(\text{CDXCV}\).
\(\text{LXIV} = 50 + 10 + (5 - 1) = 64\)
\(\text{CDXCV} = (500 - 100) + (100 - 10) + 5 = 400 + 90 + 5 = 495\)
Medie: Rotunjiți numărul \( 345\ 812 \) la ordinul sutelor, apoi la ordinul zecilor de mii. Specificați dacă ați rotunjit prin adaos sau prin lipsă.
  • La ordinul sutelor: Ne uităm la cifra zecilor, care este 1. Deoarece \( 1 < 5 \), rotunjim prin lipsă. Rezultat: \( 345\ 800 \).
  • La ordinul zecilor de mii: Ne uităm la cifra miilor, care este 5. Deoarece \( 5 \ge 5 \), rotunjim prin adaos. Rezultat: \( 350\ 000 \).
Dificilă: Aflați cel mai mare și cel mai mic număr natural de șase cifre distincte (diferite), care pot fi formate. Descompuneți cel mai mic număr sub formă de sumă a unităților fiecărui ordin.
Cel mai mare: Trebuie să plasăm cele mai mari cifre la ordinele cele mai mari. Numărul este \( 987\ 654 \).
Cel mai mic: Trebuie să plasăm cele mai mici cifre la ordinele cele mai mari, dar cifra sutelor de mii nu poate fi 0. Numărul este \( 102\ 345 \).
Descompunerea lui \( 102\ 345 \): \[ 102\ 345 = 100\ 000 + 2\ 000 + 300 + 40 + 5 \]

Învinge
tema
cu mii de rezolvări, lecții și teste: