Copertă

13. Proprietăți Ale Adunării

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

a)

\( 23\ 741 + 56\ 839 = 80\ 580 \) \( 56\ 839 + 23\ 741 = 80\ 580 \) \( 23\ 741 + 56\ 839 = 56\ 839 + 23\ 741 = 80\ 580 \) \( 17\ 286 + 18\ 534 = 35\ 820 \) \( 18\ 534 + 17\ 286 = 35\ 820 \) \( 17\ 286 + 18\ 534 = 18\ 534 + 17\ 286 = 35\ 820 \)

b)

\( 143\ 206 + 169\ 054 = 312\ 260 \) \( 169\ 054 + 143\ 206 = 312\ 260 \) \( 143\ 206 + 169\ 054 = 169\ 054 + 143\ 206 = 312\ 260 \) \( 271\ 142 + 456\ 989 = 728\ 131 \) \( 456\ 989 + 271\ 142 = 728\ 131 \) \( 271\ 142 + 456\ 989 = 456\ 989 + 271\ 142 = 728\ 131 \)

c)

\( 520\ 643 + 296\ 877 = 817\ 520 \) \( 296\ 877 + 520\ 643 = 817\ 520 \) \( 520\ 643 + 296\ 877 = 296\ 877 + 520\ 643 = 817\ 520 \) \( 264\ 195 + 377\ 418 = 641\ 613 \) \( 377\ 418 + 264\ 195 = 641\ 613 \) \( 264\ 195 + 377\ 418 = 377\ 418 + 264\ 195 = 641\ 613 \)

Rezolvare detaliată

Pentru a rezolva acest exercițiu, vom folosi proprietatea de **comutativitate** a adunării, care ne spune că ordinea termenilor nu modifică suma: \( a + b = b + a \). Vom calcula fiecare sumă în scris, apoi vom inversa termenii și vom scrie egalitatea finală conform modelului.

a) Primul set de numere: \( 23\ 741 \) și \( 56\ 839 \)

Mai întâi, calculăm suma \( 23\ 741 + 56\ 839 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 2 & 3 & 7 & 4 & 1 \\ + & 5 & 6 & 8 & 3 & 9 \\ \hline & 8 & 0 & 5 & 8 & 0 \\ \end{array} \] Conform comutativității, \( 56\ 839 + 23\ 741 = 80\ 580 \). Egalitatea finală este: \( 23\ 741 + 56\ 839 = 56\ 839 + 23\ 741 = 80\ 580 \).

a) Al doilea set de numere: \( 17\ 286 \) și \( 18\ 534 \)

Calculăm suma \( 17\ 286 + 18\ 534 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 1 & 7 & 2 & 8 & 6 \\ + & 1 & 8 & 5 & 3 & 4 \\ \hline & 3 & 5 & 8 & 2 & 0 \\ \end{array} \] Egalitatea finală este: \( 17\ 286 + 18\ 534 = 18\ 534 + 17\ 286 = 35\ 820 \).

b) Primul set de numere: \( 143\ 206 \) și \( 169\ 054 \)

Calculăm suma \( 143\ 206 + 169\ 054 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 1 & 4 & 3 & 2 & 0 & 6 \\ + & 1 & 6 & 9 & 0 & 5 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & 2 & 6 & 0 \\ \end{array} \] Egalitatea finală este: \( 143\ 206 + 169\ 054 = 169\ 054 + 143\ 206 = 312\ 260 \).

b) Al doilea set de numere: \( 271\ 142 \) și \( 456\ 989 \)

Calculăm suma \( 271\ 142 + 456\ 989 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 2 & 7 & 1 & 1 & 4 & 2 \\ + & 4 & 5 & 6 & 9 & 8 & 9 \\ \hline & 7 & 2 & 8 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \] Egalitatea finală este: \( 271\ 142 + 456\ 989 = 456\ 989 + 271\ 142 = 728\ 131 \).

c) Primul set de numere: \( 520\ 643 \) și \( 296\ 877 \)

Calculăm suma \( 520\ 643 + 296\ 877 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 5 & 2 & 0 & 6 & 4 & 3 \\ + & 2 & 9 & 6 & 8 & 7 & 7 \\ \hline & 8 & 1 & 7 & 5 & 2 & 0 \\ \end{array} \] Egalitatea finală este: \( 520\ 643 + 296\ 877 = 296\ 877 + 520\ 643 = 817\ 520 \).

c) Al doilea set de numere: \( 264\ 195 \) și \( 377\ 418 \)

Calculăm suma \( 264\ 195 + 377\ 418 \): \[ \begin{array}{c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} & 2 & 6 & 4 & 1 & 9 & 5 \\ + & 3 & 7 & 7 & 4 & 1 & 8 \\ \hline & 6 & 4 & 1 & 6 & 1 & 3 \\ \end{array} \] Egalitatea finală este: \( 264\ 195 + 377\ 418 = 377\ 418 + 264\ 195 = 641\ 613 \).

Rezolvare pe scurt:

a) \( 23\ 741 + 56\ 839 = 56\ 839 + 23\ 741 = 80\ 580 \); \( 17\ 286 + 18\ 534 = 18\ 534 + 17\ 286 = 35\ 820 \) b) \( 143\ 206 + 169\ 054 = 169\ 054 + 143\ 206 = 312\ 260 \); \( 271\ 142 + 456\ 989 = 456\ 989 + 271\ 142 = 728\ 131 \) c) \( 520\ 643 + 296\ 877 = 296\ 877 + 520\ 643 = 817\ 520 \); \( 264\ 195 + 377\ 418 = 377\ 418 + 264\ 195 = 641\ 613 \)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Proprietățile adunării:
  • Comutativitatea: \( a + b = b + a \) (ordinea termenilor nu contează).
  • Asociativitatea: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) (putem grupa termenii cum dorim).
  • Elementul neutru: \( a + 0 = a \) (adunarea cu zero dă același număr).
Aceste reguli sunt instrumente esențiale care ne ajută să facem calcule mintale rapide prin formarea de sume "rotunde" ușor de adunat.
Într-o adunare, se poate schimba ordinea termenilor, iar suma (rezultatul) rămâne neschimbată. Această proprietate se numește comutativitate.
\[ a + b = b + a \]
Dacă adunăm \( 150 + 40 \), obținem \( 190 \).
Dacă inversăm ordinea termenilor, \( 40 + 150 \), obținem tot \( 190 \).
Așadar, \( 150 + 40 = 40 + 150 \).
Compară următoarele sume fără a efectua calculele: \( 76\,831 + 19\,256 \) și \( 19\,256 + 76\,831 \). Ce semn pui între ele (\(<, >, =\))?
Răspuns: Se pune semnul \( = \) (egal). Observăm că sunt exact aceiași termeni, doar că au ordinea inversată. Conform proprietății de comutativitate, sumele sunt egale.
Când adunăm trei sau mai mulți termeni, aceștia pot fi grupați în moduri diferite, fără ca rezultatul final să se schimbe. Această proprietate se numește asociativitate.
\[ a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b \]
Calculăm suma \( 10 + 25 + 5 \) în două moduri:
Modul 1: \( (10 + 25) + 5 = 35 + 5 = 40 \)
Modul 2: \( 10 + (25 + 5) = 10 + 30 = 40 \)
Rezultatul este același, indiferent cum am grupat termenii.
Stabilește egalitatea folosind asociativitatea: \( 154\,129 + (136\,408 + 329\,618) = \ldots \)
Răspuns: \( (154\,129 + 136\,408) + 329\,618 \). Am mutat parantezele pentru a grupa primii doi termeni, suma rămânând neschimbată.
Numărul \( 0 \) este considerat element neutru pentru operația de adunare. Adunarea oricărui număr cu \( 0 \) nu modifică rezultatul (numărul rămâne același).
\[ a + 0 = 0 + a = a \]
\( 153\,456 + 0 = 153\,456 \)
\( 0 + 27\,934 = 27\,934 \)
Află termenul necunoscut fără a efectua calcule complexe: \( a + 0 = 118\,800 \).
Răspuns: Deoarece adunarea cu zero nu modifică numărul, termenul necunoscut este exact rezultatul sumei: \( a = 118\,800 \).
Proprietățile adunării (comutativitatea și asociativitatea) sunt extrem de utile pentru calculul mintal rapid. Putem asocia termenii ale căror ultime cifre formează "sume rotunde" (zeci, sute, mii etc.).
Să calculăm eficient: \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 \)
În loc să adunăm de la stânga la dreapta, grupăm termenii asfel încât să obținem numărul 10:
\( = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 \)
\( = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 \)
\( = 45 \)

Probleme de antrenament

Ușoară: Află valoarea literelor din următoarele relații matematice, aplicând proprietățile adunării (fără a calcula efectiv sumele):
1. \( 27\,496 + a = 27\,496 \)
2. \( 57\,323 + 19\,286 = b + 57\,323 \)
1. Observăm că suma este identică cu primul termen. Așadar, \( a = 0 \) (proprietatea elementului neutru).
2. Observăm că ordinea termenilor a fost inversată (comutativitate). Așadar, \( b = 19\,286 \).
Medie: Calculează rapid suma următoare, grupând convenabil termenii:
\( 152 + 220 + 148 + 380 \)
Căutăm termenii care, prin adunare, dau numere rotunde.
Grupăm: \( (152 + 148) + (220 + 380) \)
Calculăm: \( 300 + 600 \)
Răspuns: \( 900 \)
Dificilă: Compară următoarele sume folosind semnele \((<, >, =)\), argumentând răspunsul doar prin utilizarea proprietăților adunării, fără să efectuezi calculele finale:
\( 25\,141 + (16\,423 + 19\,634) \ \ldots \ (25\,141 + 16\,623) + 19\,934 \)
Analizăm termenii de pe ambele părți:
Partea stângă: \( 25\,141, 16\,423, 19\,634 \)
Partea dreaptă: \( 25\,141, 16\,623, 19\,934 \)
Termenul \( 25\,141 \) este comun.
Comparăm restul termenilor: \( 16\,423 < 16\,623 \) și \( 19\,634 < 19\,934 \).
Deoarece ambele numere grupate pe partea dreaptă sunt mai mari decât cele de pe partea stângă, suma din dreapta va fi obligatoriu mai mare.
Răspuns: \( < \)

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe