Cele mai importante aspecte ale lecției
- Proba înmulțirii (\( a \times b = p \)) se face schimbând ordinea factorilor (\( b \times a = p \)) sau împărțind produsul la un factor (\( p : a = b \)).
- Proba împărțirii exacte (\( a : b = c \)) se face prin înmulțire (\( c \times b = a \)) sau prin împărțirea deîmpărțitului la cât (\( a : c = b \)).
- Proba împărțirii cu rest presupune formula Deîmpărțit = Cât \(\times\) Împărțitor + Rest, cu respectarea regulii obligatorii: Restul < Împărțitorul.
Proba înmulțirii a doi factori se poate realiza fie prin schimbarea ordinii factorilor (comutativitate), fie prin împărțirea produsului la unul dintre factori.
Dacă \( F_1 \times F_2 = P \) (Factor \(\times\) Factor = Produs), atunci proba se face astfel:
\( F_2 \times F_1 = P \)
\( P : F_1 = F_2 \)
\( P : F_2 = F_1 \)
\( F_2 \times F_1 = P \)
\( P : F_1 = F_2 \)
\( P : F_2 = F_1 \)
Pentru înmulțirea \( 4 \times 11 = 44 \), probele sunt:
\( 11 \times 4 = 44 \)
\( 44 : 4 = 11 \)
\( 44 : 11 = 4 \)
\( 11 \times 4 = 44 \)
\( 44 : 4 = 11 \)
\( 44 : 11 = 4 \)
Verificați corectitudinea calculului \( 25 \times 8 = 200 \) folosind o operație de împărțire.
Putem împărți produsul la unul dintre factori:
\( 200 : 8 = 25 \) sau \( 200 : 25 = 8 \).
Deoarece am obținut celălalt factor, înmulțirea este corectă.
\( 200 : 8 = 25 \) sau \( 200 : 25 = 8 \).
Deoarece am obținut celălalt factor, înmulțirea este corectă.
Într-o împărțire exactă, deîmpărțitul se află prin înmulțirea câtului cu împărțitorul. De asemenea, împărțitorul se poate afla împărțind deîmpărțitul la cât.
Dacă \( D : Î = C \) (Deîmpărțit : Împărțitor = Cât), proba se face astfel:
\( C \times Î = D \)
\( Î \times C = D \)
\( D : C = Î \)
\( C \times Î = D \)
\( Î \times C = D \)
\( D : C = Î \)
Pentru împărțirea \( 36 : 3 = 12 \), probele sunt:
\( 12 \times 3 = 36 \)
\( 3 \times 12 = 36 \)
\( 36 : 12 = 3 \)
\( 12 \times 3 = 36 \)
\( 3 \times 12 = 36 \)
\( 36 : 12 = 3 \)
Aflați numărul necunoscut din relația \( 4048 : x = 46 \).
Aplicând proba împărțirii (\( D : C = Î \)):
\( x = 4048 : 46 \)
\( x = 88 \)
\( x = 4048 : 46 \)
\( x = 88 \)
La împărțirea cu rest, deîmpărțitul este egal cu produsul dintre împărțitor și cât, la care se adună restul.
Atenție: Restul trebuie să fie întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul! \( R < Î \)
Dacă \( D : Î = C \text{ rest } R \), relațiile pentru probă sunt:
\( D = C \times Î + R \)
\( Î = (D - R) : C \)
\( D = C \times Î + R \)
\( Î = (D - R) : C \)
Pentru împărțirea \( 4329 : 47 = 92 \text{ rest } 5 \):
Verificarea se face astfel: \( 4329 = 92 \times 47 + 5 \)
De asemenea, observăm că \( 5 < 47 \) (restul este mai mic decât împărțitorul).
Verificarea se face astfel: \( 4329 = 92 \times 47 + 5 \)
De asemenea, observăm că \( 5 < 47 \) (restul este mai mic decât împărțitorul).
Verificați dacă împărțirea \( 58 : 7 = 7 \text{ rest } 9 \) este efectuată corect.
Verificăm cele două condiții:
1) Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul. Aici, restul este 9, iar împărțitorul este 7. Deoarece \( 9 > 7 \), condiția nu este îndeplinită.
Împărțirea este incorectă (rezultatul corect este \( 58 : 7 = 8 \text{ rest } 2 \)).
1) Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul. Aici, restul este 9, iar împărțitorul este 7. Deoarece \( 9 > 7 \), condiția nu este îndeplinită.
Împărțirea este incorectă (rezultatul corect este \( 58 : 7 = 8 \text{ rest } 2 \)).
Exerciții
Ușoară: Aflați deîmpărțitul știind că împărțitorul este 83, iar câtul este 96 (împărțire exactă).
Folosim proba împărțirii exacte: \( D = C \times Î \)
\( D = 96 \times 83 \)
\( D = 7968 \)
\( D = 96 \times 83 \)
\( D = 7968 \)
Medie: Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 25, la rezultat adaug numărul 78 și obțin 1803. La ce număr m-am gândit?
Fie \( x \) numărul căutat.
\( x \times 25 + 78 = 1803 \)
Scădem 78 pentru a afla produsul:
\( x \times 25 = 1803 - 78 \)
\( x \times 25 = 1725 \)
Aplicăm proba înmulțirii (împărțim produsul la factorul cunoscut):
\( x = 1725 : 25 \)
\( x = 69 \)
\( x \times 25 + 78 = 1803 \)
Scădem 78 pentru a afla produsul:
\( x \times 25 = 1803 - 78 \)
\( x \times 25 = 1725 \)
Aplicăm proba înmulțirii (împărțim produsul la factorul cunoscut):
\( x = 1725 : 25 \)
\( x = 69 \)
Dificilă: Aflați deîmpărțitul știind că împărțitorul este 15, câtul este 12, iar restul este cel mai mare număr impar posibil.
Știm că restul trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul (\( R < 15 \)).
Cel mai mare rest posibil ar fi 14, însă problema cere cel mai mare rest impar.
Deci, \( R = 13 \).
Aplicăm formula: \( D = C \times Î + R \)
\( D = 12 \times 15 + 13 \)
\( D = 180 + 13 \)
\( D = 193 \)
Cel mai mare rest posibil ar fi 14, însă problema cere cel mai mare rest impar.
Deci, \( R = 13 \).
Aplicăm formula: \( D = C \times Î + R \)
\( D = 12 \times 15 + 13 \)
\( D = 180 + 13 \)
\( D = 193 \)
