38. Proba Înmulțirii. Proba Împărțirii

Analiza problemei și aplicarea Teoremei împărțirii cu rest

Pentru a rezolva ambele subpuncte, vom folosi formula fundamentală a împărțirii cu rest: \[ D = Î \times C + R \] unde: - \( D \) este deîmpărțitul (numărul pe care îl căutăm); - \( Î \) este împărțitorul; - \( C \) este câtul; - \( R \) este restul, cu condiția obligatorie \( R < Î \).

a) Împărțite la 27 dau câtul 134 și restul cuprins între 21 și 25

În acest caz, avem \( Î = 27 \) și \( C = 134 \). Restul \( R \) este cuprins între 21 și 25, deci \( R \) poate fi \( 22, 23 \) sau \( 24 \). Observăm că toate aceste valori respectă condiția \( R < 27 \). Calculăm mai întâi produsul \( Î \times C \): \[ 134 \cdot 27 = 3618 \] \[ \begin{array}{} & 1 & 3 & 4 & \cdot & 2 & 7 & \\ \hline & & & & 9 & 3 & 8 \\ + & & 2 & 6 & 8 & & \\ \hline & & 3 & 6 & 1 & 8 \\ \end{array} \] Acum calculăm valorile posibile pentru \( D \) adunând fiecare rest: 1. Pentru \( R = 22 \): \[ D = 3618 + 22 = 3640 \] 2. Pentru \( R = 23 \): \[ D = 3618 + 23 = 3641 \] 3. Pentru \( R = 24 \): \[ D = 3618 + 24 = 3642 \]

b) Împărțite la 45 dau câtul 362 și restul mai mare decât 41

Aici avem \( Î = 45 \) și \( C = 362 \). Restul \( R \) trebuie să fie mai mare decât 41, dar în același timp mai mic decât împărțitorul (\( R < 45 \)). Valorile posibile pentru \( R \) sunt: \( 42, 43, 44 \). Calculăm produsul \( Î \times C \): \[ 362 \cdot 45 = 16290 \] \[ \begin{array}{} & 3 & 6 & 2 & \cdot & 4 & 5 & \\ \hline & & & & 1 & 8 & 1 & 0 \\ + & & 1 & 4 & 4 & 8 & & \\ \hline & & 1 & 6 & 2 & 9 & 0 \\ \end{array} \] Calculăm valorile posibile pentru \( D \): 1. Pentru \( R = 42 \): \[ D = 16290 + 42 = 16332 \] 2. Pentru \( R = 43 \): \[ D = 16290 + 43 = 16333 \] 3. Pentru \( R = 44 \): \[ D = 16290 + 44 = 16334 \]

a) \( D = 134 \times 27 + R \); \( R \in \{22, 23, 24\} \) \( 134 \times 27 = 3618 \) \( D \in \{3618+22, 3618+23, 3618+24\} = \{3640, 3641, 3642\} \) b) \( D = 362 \times 45 + R \); \( R \in \{42, 43, 44\} \) \( 362 \times 45 = 16290 \) \( D \in \{16290+42, 16290+43, 16290+44\} = \{16332, 16333, 16334\} \)