Cele mai importante aspecte ale lecției
Paralelogramul: Patrulater cu laturile opuse paralele. Proprietate esențială: laturile opuse sunt egale (congruente).
Rombul: Un paralelogram special în care toate cele 4 laturi sunt egale. Moștenește proprietatea de a avea laturile opuse paralele.
Asociere vizuală: Dreptunghiul înclinat devine paralelogram, iar pătratul înclinat devine romb.
Rombul: Un paralelogram special în care toate cele 4 laturi sunt egale. Moștenește proprietatea de a avea laturile opuse paralele.
Asociere vizuală: Dreptunghiul înclinat devine paralelogram, iar pătratul înclinat devine romb.
Paralelogramul este patrulaterul care are laturile opuse paralele, două câte două.
În orice paralelogram, laturile opuse au lungimi egale (sunt congruente).
Dacă "împingem" un dreptunghi de unul dintre vârfuri (fără a modifica lungimea laturilor), unghiurile sale drepte se transformă în unghiuri ascuțite și obtuze, iar figura rezultată este un paralelogram.
Pentru un paralelogram \( ABCD \):
\( AB \parallel DC \) și \( AD \parallel BC \) (laturile opuse sunt paralele)
\( AB = DC \) și \( AD = BC \) (laturile opuse sunt egale)
\( AB \parallel DC \) și \( AD \parallel BC \) (laturile opuse sunt paralele)
\( AB = DC \) și \( AD = BC \) (laturile opuse sunt egale)
Dacă într-un paralelogram \( MNPQ \), latura \( MN \) are \( 7 \text{ cm} \), ce lungime are latura \( PQ \)?
Răspuns: Deoarece într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, iar \( PQ \) este latura opusă lui \( MN \), lungimea laturii \( PQ \) este tot de \( 7 \text{ cm} \).
Rombul este un paralelogram cu două laturi alăturate de aceeași lungime. Prin urmare, rombul are toate cele patru laturi egale.
Deoarece rombul este un tip special de paralelogram, el moștenește proprietatea acestuia: laturile opuse sunt paralele.
Dacă "împingem" un pătrat de unul dintre vârfuri, păstrând lungimea laturilor, obținem un romb.
Pentru un romb \( EFGH \):
\( EF \parallel HG \) și \( FG \parallel EH \)
\( EF = FG = GH = HE \) (toate laturile sunt egale)
\( EF \parallel HG \) și \( FG \parallel EH \)
\( EF = FG = GH = HE \) (toate laturile sunt egale)
Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: "Orice romb este un paralelogram, dar nu orice paralelogram este un romb."
Răspuns: Adevărat. Rombul este un paralelogram (deoarece are laturile opuse paralele), dar un paralelogram obișnuit are doar laturile opuse egale, nu toate cele 4 laturi, deci nu este neapărat romb.
Pentru a construi un paralelogram cu dimensiuni date (de exemplu: laturi de \( 4 \text{ cm} \) și \( 2 \text{ cm} \)), urmăm câțiva pași simpli.
Se trasează o latură orizontală (ex: \( AB = 4 \text{ cm} \)).
Din capetele acesteia, se trasează laturile oblice (ex: \( AD \) și \( BC \) de \( 2 \text{ cm} \)), având grijă ca acestea să fie paralele între ele.
Se unește capătul \( D \) cu capătul \( C \), obținând latura superioară (ex: \( CD = 4 \text{ cm} \)), care va fi paralelă cu baza.
Dacă într-un paralelogram \( ABCD \) notăm cu \( M \) mijlocul laturii \( AB \) și cu \( N \) mijlocul laturii opuse \( CD \), iar apoi trasăm segmentul \( MN \), figura inițială se va împărți în două paralelograme mai mici (\( AMND \) și \( MBCN \)).
Exerciții
Ușoară: Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
a) Rombul nu are laturi paralele.
b) Toate patrulaterele sunt paralelograme.
a) Rombul nu are laturi paralele.
b) Toate patrulaterele sunt paralelograme.
a) Fals. Rombul este un paralelogram, deci are laturile opuse paralele două câte două.
b) Fals. Doar patrulaterele care au laturile opuse paralele două câte două sunt paralelograme.
b) Fals. Doar patrulaterele care au laturile opuse paralele două câte două sunt paralelograme.
Medie: Avem un paralelogram \( ABCD \). Știm că lungimea laturii \( AB \) este de \( 8 \text{ cm} \), iar lungimea laturii \( BC \) este de \( 5 \text{ cm} \). Aflați suma lungimilor tuturor laturilor paralelogramului (perimetrul).
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale.
\( AB = CD = 8 \text{ cm} \)
\( BC = AD = 5 \text{ cm} \)
Suma tuturor laturilor = \( 8 + 5 + 8 + 5 = 26 \text{ cm} \).
\( AB = CD = 8 \text{ cm} \)
\( BC = AD = 5 \text{ cm} \)
Suma tuturor laturilor = \( 8 + 5 + 8 + 5 = 26 \text{ cm} \).
Dificilă: Un elev construiește din bețișoare un romb. El folosește 4 bețișoare pentru a forma figura. Dacă suma lungimilor tuturor celor 4 bețișoare este de \( 36 \text{ cm} \), aflați lungimea unui singur bețișor. Ce figură va obține dacă "îndreaptă" unghiurile rombului astfel încât acestea să devină unghiuri drepte?
1. Rombul are toate cele 4 laturi egale. Pentru a afla lungimea unei laturi (a unui bețișor), împărțim suma totală la 4.
\( 36 \text{ cm} : 4 = 9 \text{ cm} \). Un bețișor are \( 9 \text{ cm} \).
2. Dacă "îndreptăm" unghiurile unui romb (astfel încât să devină unghiuri drepte de 90 de grade), figura se transformă într-un pătrat (patrulater cu toate laturile egale și toate unghiurile drepte).
\( 36 \text{ cm} : 4 = 9 \text{ cm} \). Un bețișor are \( 9 \text{ cm} \).
2. Dacă "îndreptăm" unghiurile unui romb (astfel încât să devină unghiuri drepte de 90 de grade), figura se transformă într-un pătrat (patrulater cu toate laturile egale și toate unghiurile drepte).
