Cele mai importante aspecte ale lecției
Termenii scăderii: \( \text{Descăzut} - \text{Scăzător} = \text{Diferență (sau Rest)} \).
Proba scăderii: Se face prin adunare (\( \text{Scăzător} + \text{Diferență} = \text{Descăzut} \)) sau prin scădere (\( \text{Descăzut} - \text{Diferență} = \text{Scăzător} \)).
Trecerea peste ordin: Când cifra descăzutului este prea mică, ne împrumutăm cu o unitate din ordinul imediat superior (care valorează 10 unități la ordinul curent).
Metode de calcul rapid: Putem descompune scăzătorul pe părți sau folosi axa numerelor pentru salturi de adunare succesivă.
Estimarea: Permite aproximarea rapidă a rezultatului prin rotunjirea numerelor implicate în calcul.
Proba scăderii: Se face prin adunare (\( \text{Scăzător} + \text{Diferență} = \text{Descăzut} \)) sau prin scădere (\( \text{Descăzut} - \text{Diferență} = \text{Scăzător} \)).
Trecerea peste ordin: Când cifra descăzutului este prea mică, ne împrumutăm cu o unitate din ordinul imediat superior (care valorează 10 unități la ordinul curent).
Metode de calcul rapid: Putem descompune scăzătorul pe părți sau folosi axa numerelor pentru salturi de adunare succesivă.
Estimarea: Permite aproximarea rapidă a rezultatului prin rotunjirea numerelor implicate în calcul.
Descăzutul este numărul din care se scade (primul termen al scăderii).
Scăzătorul este numărul care se scade (al doilea termen al scăderii).
Diferența (sau Restul) este rezultatul operației de scădere.
\[ \text{Descăzut} - \text{Scăzător} = \text{Diferență} \]
Pentru a verifica corectitudinea unei scăderi, putem efectua proba în două moduri:
- Prin adunare: \[ \text{Scăzător} + \text{Diferență} = \text{Descăzut} \] sau \[ \text{Diferență} + \text{Scăzător} = \text{Descăzut} \]
- Prin scădere: \[ \text{Descăzut} - \text{Diferență} = \text{Scăzător} \]
Pentru scăderea \( 1997 - 1958 = 39 \):
- Proba prin adunare: \( 1958 + 39 = 1997 \)
- Proba prin scădere: \( 1997 - 39 = 1958 \)
În afară de calculul scris standard, putem folosi strategii de calcul mintal pentru a afla mai rapid diferența dintre două numere.
Se pornește de la scăzător și se fac salturi succesive pe axă până se ajunge la descăzut. Suma salturilor reprezintă diferența.
Se rotunjește scăzătorul la o decadă superioară pentru o scădere mai ușoară, apoi se adaugă la rezultat diferența cu care am rotunjit în plus.
\[ 1997 - 1958 = 1997 - 1960 + 2 = 37 + 2 = 39 \]
Se scade scăzătorul pe rând, pe baza claselor și ordinelor sale.
\[ 1997 - 1958 = 1997 - 1950 - 8 = 47 - 8 = 39 \]
Dacă la un anumit ordin (unități, zeci, sute etc.) cifra descăzutului este mai mică decât cifra scăzătorului, ne împrumutăm cu o unitate de la ordinul imediat superior. Aceasta valorează 10 unități de ordinul curent.
Să calculăm diferența numerelor \( 12342 \) și \( 4166 \).
Aliniem numerele în scris, ordine sub ordine (unități sub unități, zeci sub zeci ș.a.m.d.):
\[ \begin{array}{r@{\quad}l}
\dot{1} \space \dot{2} \space \dot{3} \space \dot{4} \space 2 & \\
- \phantom{0} \space 4 \space 1 \space 6 \space 6 & \\
\hline
= \phantom{0} \space 8 \space 1 \space 7 \space 6 &
\end{array} \]
Etapele calculului:
- La unități: Nu putem scădea \( 6 \) din \( 2 \). Ne împrumutăm la zeci. Calculăm: \( 12 - 6 = 6 \).
- La zeci: Din cele \( 4 \) zeci a rămas cifra \( 3 \). Nu putem scădea \( 6 \) din \( 3 \). Ne împrumutăm la sute. Calculăm: \( 13 - 6 = 7 \).
- La sute: Din cele \( 3 \) sute a rămas cifra \( 2 \). Calculăm: \( 2 - 1 = 1 \).
- La mii: Nu putem scădea \( 4 \) din \( 2 \). Ne împrumutăm la zeci de mii. Calculăm: \( 12 - 4 = 8 \).
- La zeci de mii: Din \( 1 \) a rămas \( 0 \).
Pentru a verifica plauzibilitatea unui calcul rapid, putem rotunji numerele la un ordin de mărime convenabil (de obicei la ordinul miilor sau zecilor de mii).
Să estimăm rezultatul calculului \( 79446 - 13951 \).
- Rotunjim descăzutul \( 79446 \) la mii: \( 79000 \)
- Rotunjim scăzătorul \( 13951 \) la mii: \( 14000 \)
- Efectuăm scăderea estimată: \( 79000 - 14000 = 65000 \)
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară):
Efectuați scăderea \( 24300 - 21267 \) în scris și verificați rezultatul prin proba adunării.
Așezăm numerele unele sub altele și efectuăm scăderile cu împrumut:
\[ \begin{array}{r@{\quad}l}
2 \space \dot{4} \space \dot{3} \space \dot{0} \space 0 & \\
- 2 \space 1 \space 2 \space 6 \space 7 & \\
\hline
= \space 3 \space 0 \space 3 \space 3 &
\end{array} \]
Diferența obținută este \( 3033 \).
Proba prin adunare: \[ \begin{array}{r@{\quad}l} 21267 & \\ + \phantom{0}3033 & \\ \hline 24300 & \end{array} \] Deoarece am obținut descăzutul initial, calculul este corect.
Proba prin adunare: \[ \begin{array}{r@{\quad}l} 21267 & \\ + \phantom{0}3033 & \\ \hline 24300 & \end{array} \] Deoarece am obținut descăzutul initial, calculul este corect.
Problema 2 (Medie):
Într-un depozit se aflau \( 50000 \) de cutii cu marfă. În prima lună s-au livrat \( 23345 \) de cutii.
a) Estimați prin rotunjire la mii numărul de cutii rămase în depozit.
b) Calculați exact numărul de cutii rămase.
a) Estimați prin rotunjire la mii numărul de cutii rămase în depozit.
b) Calculați exact numărul de cutii rămase.
a) Estimarea:
Rotunjim scăzătorul \( 23345 \) la mii: obținem \( 23000 \).
Efectuăm calculul estimat: \( 50000 - 23000 = 27000 \) de cutii.
b) Calculul exact:
Așezăm scăderea în scris: \[ \begin{array}{r@{\quad}l} \dot{5} \space \dot{0} \space \dot{0} \space \dot{0} \space 0 & \\ - 2 \space 3 \space 3 \space 4 \space 5 & \\ \hline = 2 \space 6 \space 6 \space 5 \space 5 & \end{array} \] Numărul exact de cutii rămase în depozit este \( 26655 \). Observăm că valoarea este foarte apropiată de estimarea de \( 27000 \).
Rotunjim scăzătorul \( 23345 \) la mii: obținem \( 23000 \).
Efectuăm calculul estimat: \( 50000 - 23000 = 27000 \) de cutii.
b) Calculul exact:
Așezăm scăderea în scris: \[ \begin{array}{r@{\quad}l} \dot{5} \space \dot{0} \space \dot{0} \space \dot{0} \space 0 & \\ - 2 \space 3 \space 3 \space 4 \space 5 & \\ \hline = 2 \space 6 \space 6 \space 5 \space 5 & \end{array} \] Numărul exact de cutii rămase în depozit este \( 26655 \). Observăm că valoarea este foarte apropiată de estimarea de \( 27000 \).
Problema 3 (Dificilă):
Aflați termenul necunoscut \( x \) din următoarea egalitate:
\[ 43333 - x = 18888 \]
Verificați rezultatul folosind proba prin scădere.
În această operație, \( x \) reprezintă scăzătorul. Pentru a afla scăzătorul, scădem diferența din descăzut:
\[ x = 43333 - 18888 \]
Efectuăm calculul în scris cu împrumut succesiv:
\[ \begin{array}{r@{\quad}l}
\dot{4} \space \dot{3} \space \dot{3} \space \dot{3} \space 3 & \\
- 1 \space 8 \space 8 \space 8 \space 8 & \\
\hline
= 2 \space 4 \space 4 \dots 4 \space 5 &
\end{array} \]
Deci, \( x = 24445 \).
Proba prin scădere: Verificăm dacă \( \text{Descăzut} - \text{Diferență} = \text{Scăzător} \): \[ 43333 - 24445 = 18888 \] \[ \begin{array}{r@{\quad}l} \dot{4} \space \dot{3} \space \dot{3} \space \dot{3} \space 3 & \\ - 2 \space 4 \space 4 \space 4 \space 5 & \\ \hline = 1 \space 8 \space 8 \space 8 \space 8 & \end{array} \] Calculul este corect. Rezultatul final este \( x = 24445 \).
Proba prin scădere: Verificăm dacă \( \text{Descăzut} - \text{Diferență} = \text{Scăzător} \): \[ 43333 - 24445 = 18888 \] \[ \begin{array}{r@{\quad}l} \dot{4} \space \dot{3} \space \dot{3} \space \dot{3} \space 3 & \\ - 2 \space 4 \space 4 \space 4 \space 5 & \\ \hline = 1 \space 8 \space 8 \space 8 \space 8 & \end{array} \] Calculul este corect. Rezultatul final este \( x = 24445 \).
