Cele mai importante aspecte ale lecției
Proprietățile înmulțirii: Comutativitatea (\(a \times b = b \times a\)), asociativitatea (\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)) și distributivitatea (\(a \times (b \pm c) = a \times b \pm a \times c\)) ne permit să grupăm factorii convenabil pentru a calcula mai ușor.
Înmulțirea cu 10, 100, 1000: Se adaugă 1, 2 sau 3 zerouri la dreapta numărului. Exemplu: \(15 \times 100 = 1\ 500\).
Calculul în scris: Produsele parțiale se scriu decalate cu o cifră spre stânga la fiecare ordin nou și se adună la final.
Ordinea operațiilor: Într-un exercițiu, prioritare sunt operațiile din paranteze, apoi înmulțirile și împărțirile, urmate de adunări și scăderi.
Înmulțirea cu 10, 100, 1000: Se adaugă 1, 2 sau 3 zerouri la dreapta numărului. Exemplu: \(15 \times 100 = 1\ 500\).
Calculul în scris: Produsele parțiale se scriu decalate cu o cifră spre stânga la fiecare ordin nou și se adună la final.
Ordinea operațiilor: Într-un exercițiu, prioritare sunt operațiile din paranteze, apoi înmulțirile și împărțirile, urmate de adunări și scăderi.
Proprietățile înmulțirii ne ajută să grupăm și să ordonăm factorii pentru a simplifica calculele.
1. Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică produsul.
\[ a \times b = b \times a \]
2. Asociativitatea: Într-o înmulțire cu mai mulți factori, aceștia pot fi grupați în orice mod.
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]
3. Elementul neutru: Numărul 1 nu modifică valoarea factorului cu care se înmulțește.
\[ a \times 1 = a \]
4. Înmulțirea cu 0: Orice număr înmulțit cu 0 are rezultatul 0.
\[ a \times 0 = 0 \]
5. Distributivitatea: Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere.
\[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \]
\[ a \times (b - c) = a \times b - a \times c \]
Folosind distributivitatea pentru calculul rapid:
\[ 34 \times 99 = 34 \times (100 - 1) = 34 \times 100 - 34 \times 1 = 3\ 400 - 34 = 3\ 366 \]
Calculați cât mai rapid, folosind proprietățile înmulțirii: \( 4 \times 17 \times 25 \).
Grupăm factorii convenabil folosind comutativitatea și asociativitatea:
\[ (4 \times 25) \times 17 = 100 \times 17 = 1\ 700 \]
Pentru a înmulți un număr natural cu 10, 100 sau 1 000, adăugăm la dreapta acestuia unul, două, respectiv trei zerouri.
\[ a \times 10 = a0 \quad | \quad a \times 100 = a00 \quad | \quad a \times 1\ 000 = a000 \]
Dacă factorii unei înmulțiri se termină în zerouri, se efectuează înmulțirea numerelor fără zerourile finale, iar la rezultatul obținut se adaugă numărul total de zerouri de la sfârșitul celor doi factori.
- \( 12 \times 1\ 000 = 12\ 000 \)
- \( 350 \times 20 = 7\ 000 \) (calculăm \( 35 \times 2 = 70 \), apoi adăugăm cele două zerouri de la finalul factorilor).
- \( 40 \times 600 = 24\ 000 \) (calculăm \( 4 \times 6 = 24 \), apoi adăugăm cele trei zerouri).
Calculați produsul dintre \( 120 \) și \( 400 \).
Înmulțim cifrele semnificative: \( 12 \times 4 = 48 \).
Adăugăm cele trei zerouri de la sfârșitul factorilor (unul de la 120 și două de la 400):
Rezultat: \( 48\ 000 \).
Adăugăm cele trei zerouri de la sfârșitul factorilor (unul de la 120 și două de la 400):
Rezultat: \( 48\ 000 \).
Așezăm numerele unele sub altele, aliniate la dreapta (după ordinul unităților).
Înmulțim pe rând unitățile, zecile, sutele etc. ale factorului al doilea cu primul factor, de la dreapta la stânga.
Dacă rezultatul unei înmulțiri depășește 9, facem trecere peste ordin (transportăm zecile obținute la ordinul imediat următor, unde le vom aduna la noul produs parțial).
Produsele parțiale se așază unele sub altele, fiecare fiind decalat cu o poziție spre stânga față de cel de deasupra lui. Produsul final se obține prin adunarea produselor parțiale.
Calculul în scris pentru \( 132 \times 23 \):
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
132 \times & \\
23 & \\
\hline
396 & \text{--- primul produs parțial } (3 \times 132) \\
264\phantom{0} & \text{--- al doilea produs parțial } (2 \times 132\text{, decalat}) \\
\hline
3\ 036 & \text{--- produsul final}
\end{array}
\]
Atunci când unul dintre factori conține cifra zero în interior, înmulțirea cu acel ordin va genera un rând de zerouri sau decalarea directă a următorului produs parțial cu două poziții la stânga.
Efectuați înmulțirea în scris: \( 236 \times 12 \).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
236 \times & \\
12 & \\
\hline
472 & \text{--- primul produs parțial } (2 \times 236) \\
236\phantom{0} & \text{--- al doilea produs parțial } (1 \times 236\text{, decalat}) \\
\hline
2\ 832 & \text{--- produsul final}
\end{array}
\]
Într-un exercițiu fără paranteze, se efectuează mai întâi înmulțirile și împărțirile (în ordinea scrisă, de la stânga la dreapta), apoi adunările și scăderile (în ordinea scrisă, de la stânga la dreapta).
Într-un exercițiu cu paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde, respectând regulile de mai sus, iar apoi celelalte operații.
Calculul expresiei \( 18 \times 24 + 23 \times 24 \):
Pasul 1 (înmulțirile): \( 18 \times 24 = 432 \) și \( 23 \times 24 = 552 \).
Pasul 2 (adunarea): \( 432 + 552 = 984 \).
Pasul 1 (înmulțirile): \( 18 \times 24 = 432 \) și \( 23 \times 24 = 552 \).
Pasul 2 (adunarea): \( 432 + 552 = 984 \).
Calculați valoarea expresiei: \( (15 + 5) \times 4 - 12 \times 3 \).
1. Efectuăm adunarea din paranteză: \( 15 + 5 = 20 \).
2. Expresia devine: \( 20 \times 4 - 12 \times 3 \).
3. Efectuăm înmulțirile: \( 20 \times 4 = 80 \) și \( 12 \times 3 = 36 \).
4. Efectuăm scăderea: \( 80 - 36 = 44 \).
Răspuns: 44.
2. Expresia devine: \( 20 \times 4 - 12 \times 3 \).
3. Efectuăm înmulțirile: \( 20 \times 4 = 80 \) și \( 12 \times 3 = 36 \).
4. Efectuăm scăderea: \( 80 - 36 = 44 \).
Răspuns: 44.
Factori: Numerele care se înmulțesc.
Produs: Rezultatul înmulțirii.
De \( x \) ori mai mare: Reprezintă o operație de înmulțire cu \( x \).
Cu \( x \) mai mare: Reprezintă o operație de adunare cu \( x \).
- Numărul de 3 ori mai mare decât 15 este \( 15 \times 3 = 45 \).
- Numărul cu 3 mai mare decât 15 este \( 15 + 3 = 18 \).
Probleme practice
Problemă ușoară: Calculați rapid rezultatul operației \( 27 \times 11 \) prin descompunerea factorului 11 în \( 10 + 1 \).
Aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunare:
\[ 27 \times 11 = 27 \times (10 + 1) = 27 \times 10 + 27 \times 1 \]
\[ = 270 + 27 = 297 \]
Răspuns: 297.
Problemă medie: Aflați numărul de 5 ori mai mare decât diferența produselor \( 12 \times 15 \) și \( 8 \times 20 \). Scrieți rezolvarea într-un singur exercițiu.
Scriem expresia matematică corespunzătoare enunțului:
\[ [ (12 \times 15) - (8 \times 20) ] \times 5 \]
Efectuăm înmulțirile din interior:
\[ 12 \times 15 = 180 \]
\[ 8 \times 20 = 160 \]
Efectuăm scăderea:
\[ 180 - 160 = 20 \]
Înmulțim rezultatul cu 5:
\[ 20 \times 5 = 100 \]
Răspuns: 100.
Problemă dificilă: O asociație ecologică dorește să planteze pomi. În prima săptămână s-au plantat 12 rânduri a câte 115 puieți de stejar. În a doua săptămână s-au plantat 15 rânduri a câte 105 puieți de tei. Cu cât este mai mare numărul puieților de stejar plantați decât cel al puieților de tei?
1. Aflăm numărul puieților de stejar plantați:
\[ 12 \times 115 = 1\ 380 \]
2. Aflăm numărul puieților de tei plantați:
\[ 15 \times 105 = 1\ 575 \]
3. Observăm că s-au plantat mai mulți tei decât stejari. Calculăm diferența:
\[ 1\ 575 - 1\ 380 = 195 \]
Răspuns: S-au plantat cu 195 mai mulți puieți de tei decât de stejar.
