Cele mai importante aspecte ale lecției
Împărțirea în scris la două cifre urmează un algoritm bine stabilit: aproximarea numărului de cuprinderi, scrierea cifrei la cât, înmulțirea ei cu împărțitorul, scăderea pentru a găsi restul parțial și coborârea următoarei cifre a deîmpărțitului.
Proba împărțirii: Se realizează prin formula \( D = I \times C + R \), asigurându-ne mereu că restul \( R \) este strict mai mic decât împărțitorul \( I \).
Proprietatea de conservare: Dacă \( a : b = c \), atunci și \( (a \times n) : (b \times n) = c \). De exemplu: \( 100 : 20 = 5 \), deci și \( 200 : 40 = 5 \).
Proba împărțirii: Se realizează prin formula \( D = I \times C + R \), asigurându-ne mereu că restul \( R \) este strict mai mic decât împărțitorul \( I \).
Proprietatea de conservare: Dacă \( a : b = c \), atunci și \( (a \times n) : (b \times n) = c \). De exemplu: \( 100 : 20 = 5 \), deci și \( 200 : 40 = 5 \).
Pentru a împărți un număr natural la un împărțitor de două cifre, grupăm cifrele deîmpărțitului de la stânga la dreapta pentru a forma un număr mai mare sau egal cu împărțitorul, apoi efectuăm împărțiri succesive.
Prima etapă a împărțirii:
Se selectează primele cifre ale deîmpărțitului (de exemplu, primele două cifre dacă formează un număr mai mare sau egal cu împărțitorul). Se estimează de câte ori se cuprinde împărțitorul în acest număr, se scrie prima cifră a câtului, se înmulțește cu împărțitorul și se scade rezultatul pentru a obține un rest parțial.
Coborârea următoarei cifre:
Se coboară următoarea cifră a deîmpărțitului lângă restul parțial obținut anterior. Se reia algoritmul determinând de câte ori se cuprinde împărțitorul în noul număr format. Procesul se repetă până când se coboară toate cifrele deîmpărțitului.
Să calculăm \( 420 : 35 \):
\[
\begin{array}{r|l}
420 & 35 \\
\cline{2-2}
\underline{35} & 12 \\
=70 & \\
\ \ \underline{70} & \\
\ \ == &
\end{array}
\]
- \( 35 \) se cuprinde în \( 42 \) o singură dată. Scriem \( 1 \) la cât. \( 1 \times 35 = 35 \). Efectuăm scăderea: \( 42 - 35 = 7 \).
- Coborâm cifra unităților, pe \( 0 \), obținând numărul \( 70 \).
- \( 35 \) se cuprinde în \( 70 \) de exact \( 2 \) ori. Scriem \( 2 \) la cât. \( 2 \times 35 = 70 \). Scădem și obținem restul \( 0 \). Câtul final este \( 12 \).
Calculați câtul împărțirii \( 1\,625 : 25 \).
Luăm primele trei cifre ale deîmpărțitului deoarece \( 16 < 25 \). Numărul format este \( 162 \).
\[
\begin{array}{r|l}
1625 & 25 \\
\cline{2-2}
\underline{150} & 65 \\
=125 & \\
\ \ \underline{125} & \\
\ \ === &
\end{array}
\]
- \( 25 \) se cuprinde în \( 162 \) de \( 6 \) ori (\( 6 \times 25 = 150 \)). Restul parțial este \( 162 - 150 = 12 \).
- Coborâm cifra \( 5 \) și obținem \( 125 \).
- \( 25 \) se cuprinde în \( 125 \) de exact \( 5 \) ori (\( 5 \times 25 = 125 \)). Restul este \( 0 \).
Restul obținut la finalul oricărei împărțiri trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul.
Formula de organizare a împărțirii cu rest (Teorema împărțirii cu rest):
\[ \text{Deîmpărțit} = (\text{Cât} \times \text{Împărțitor}) + \text{Rest} \]
unde \( 0 \le \text{Rest} < \text{Împărțitor} \)
Să calculăm \( 530 : 25 \):
\[
\begin{array}{r|l}
530 & 25 \\
\cline{2-2}
\underline{50} & 21 \\
=30 & \\
\ \ \underline{25} & \\
\ \ \ =5 &
\end{array}
\]
Obținem câtul \( 21 \) și restul \( 5 \).
Verificare: \[ (21 \times 25) + 5 = 525 + 5 = 530 \] Deoarece restul (\( 5 \)) este mai mic decât împărțitorul (\( 25 \)), iar rezultatul verificării coincide cu deîmpărțitul, calculul este corect.
Verificare: \[ (21 \times 25) + 5 = 525 + 5 = 530 \] Deoarece restul (\( 5 \)) este mai mic decât împărțitorul (\( 25 \)), iar rezultatul verificării coincide cu deîmpărțitul, calculul este corect.
Efectuați împărțirea \( 3\,648 : 12 \) și verificați rezultatul.
Efectuăm calculul pas cu pas:
\[
\begin{array}{r|l}
3648 & 12 \\
\cline{2-2}
\underline{36} & 304 \\
==4 & \\
\ \ \ \ \underline{0} & \\
\ \ \ \ 48 & \\
\ \ \ \ \underline{48} & \\
\ \ \ \ == &
\end{array}
\]
Atenție: Când coborâm pe \( 4 \), acesta este mai mic decât \( 12 \), deci scriem \( 0 \) la cât, înmulțim \( 0 \times 12 = 0 \), scădem și abia apoi coborâm următoarea cifră (\( 8 \)).
Verificare: \( 304 \times 12 = 3\,648 \). Restul este \( 0 \).
Verificare: \( 304 \times 12 = 3\,648 \). Restul este \( 0 \).
Dacă înmulțim sau împărțim atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu același număr natural (diferit de zero), câtul operației rămâne neschimbat.
Dacă \( a : b = c \), atunci:
\[ (a \times n) : (b \times n) = c \]
\[ (a : m) : (b : m) = c \quad (\text{pentru } m \neq 0 \text{ divizor al lui } a \text{ și } b) \]
Știm că \( 1\,250 : 25 = 50 \).
Dacă înmulțim ambele numere cu \( 2 \), obținem: \[ (1\,250 \times 2) : (25 \times 2) = 2\,500 : 50 = 50 \] Câtul a rămas același.
Dacă înmulțim ambele numere cu \( 2 \), obținem: \[ (1\,250 \times 2) : (25 \times 2) = 2\,500 : 50 = 50 \] Câtul a rămas același.
Știind că \( 1\,740 : 12 = 145 \), calculați rezultatul operației \( (1\,740 \times 5) : (12 \times 5) \) fără a efectua înmulțirile direct.
Conform proprietății de conservare a câtului, prin înmulțirea deîmpărțitului și a împărțitorului cu același număr nenul (în acest caz \( 5 \)), câtul rămâne neschimbat.
Prin urmare: \[ (1\,740 \times 5) : (12 \times 5) = 145 \]
Prin urmare: \[ (1\,740 \times 5) : (12 \times 5) = 145 \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Calculați câtul și restul împărțirii \( 655 : 72 \).
Calculați câtul și restul împărțirii \( 655 : 72 \).
Deoarece \( 65 < 72 \), trebuie să vedem de câte ori se cuprinde \( 72 \) în întregul număr \( 655 \).
Încercăm cu \( 9 \): \( 9 \times 72 = 648 \).
Efectuăm scăderea: \( 655 - 648 = 7 \).
Deoarece restul \( 7 \) este mai mic decât împărțitorul \( 72 \), calculul este finalizat.
Răspuns: Câtul este \( 9 \), iar restul este \( 7 \).
Încercăm cu \( 9 \): \( 9 \times 72 = 648 \).
Efectuăm scăderea: \( 655 - 648 = 7 \).
Deoarece restul \( 7 \) este mai mic decât împărțitorul \( 72 \), calculul este finalizat.
Răspuns: Câtul este \( 9 \), iar restul este \( 7 \).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
La o serbare de Crăciun, se pregătesc \( 35 \) de coșuri cu cadouri. Dacă s-au cumpărat în total cutii de bomboane în valoare de \( 490 \) lei și ciocolată în valoare de \( 140 \) lei, aflați:
La o serbare de Crăciun, se pregătesc \( 35 \) de coșuri cu cadouri. Dacă s-au cumpărat în total cutii de bomboane în valoare de \( 490 \) lei și ciocolată în valoare de \( 140 \) lei, aflați:
- Cât a costat o cutie de bomboane pentru un singur coș?
- Cât a costat ciocolata pentru un singur coș?
Suma totală dedicată fiecărui tip de produs se împarte la numărul total de coșuri (\( 35 \)).
a) Prețul unei cutii de bomboane per coș: \[ 490 : 35 \] \[ \begin{array}{r|l} 490 & 35 \\ \cline{2-2} \underline{35} & 14 \\ 140 & \\ \underline{140} & \\ === & \end{array} \] Deci, cutia de bomboane costă \( 14 \) lei.
b) Prețul ciocolatei per coș: \[ 140 : 35 = 4 \text{ lei} \] Răspuns: a) \( 14 \) lei; b) \( 4 \) lei.
a) Prețul unei cutii de bomboane per coș: \[ 490 : 35 \] \[ \begin{array}{r|l} 490 & 35 \\ \cline{2-2} \underline{35} & 14 \\ 140 & \\ \underline{140} & \\ === & \end{array} \] Deci, cutia de bomboane costă \( 14 \) lei.
b) Prețul ciocolatei per coș: \[ 140 : 35 = 4 \text{ lei} \] Răspuns: a) \( 14 \) lei; b) \( 4 \) lei.
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Tatăl Mariei achiziționează un laptop pe care îl va plăti în \( 24 \) de rate lunare egale. Știind că prețul total al laptopului este de \( 2\,352 \) de lei, aflați câți lei va plăti tatăl Mariei în fiecare lună.
Tatăl Mariei achiziționează un laptop pe care îl va plăti în \( 24 \) de rate lunare egale. Știind că prețul total al laptopului este de \( 2\,352 \) de lei, aflați câți lei va plăti tatăl Mariei în fiecare lună.
Trebuie să calculăm câtul împărțirii \( 2\,352 : 24 \).
Efectuăm împărțirea în scris: \[ \begin{array}{r|l} 2352 & 24 \\ \cline{2-2} \underline{216} & 98 \\ =192 & \\ \ \ \underline{192} & \\ \ \ === & \end{array} \]
Efectuăm împărțirea în scris: \[ \begin{array}{r|l} 2352 & 24 \\ \cline{2-2} \underline{216} & 98 \\ =192 & \\ \ \ \underline{192} & \\ \ \ === & \end{array} \]
- \( 24 \) se cuprinde în \( 235 \) de \( 9 \) ori. Scriem \( 9 \) la cât. \( 9 \times 24 = 216 \). Restul parțial este \( 235 - 216 = 19 \).
- Coborâm cifra unităților, pe \( 2 \), formând numărul \( 192 \).
- \( 24 \) se cuprinde în \( 192 \) de \( 8 \) ori. Scriem \( 8 \) la cât. \( 8 \times 24 = 192 \). Restul este \( 0 \).
