Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte de reținut:
- Numerele se numesc factori, iar rezultatul produs.
- Regula zerourilor: La înmulțirea cu 10, 100, 1 000 se adaugă zerourile corespunzătoare la finalul numărului.
- Așezarea în scris: Fiecare produs parțial se scrie decalat cu o cifră spre stânga, începând sub cifra ordinului cu care se înmulțește.
- Proprietăți cheie: Comutativitatea (ordinea nu contează), asociativitatea (gruparea nu contează) și distributivitatea (înmulțirea se distribuie peste adunare/scădere).
Factori: Numerele care se înmulțesc.
Produs: Rezultatul operației de înmulțire.
Elementul neutru: Orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat.
\[ a \times 1 = 1 \times a = a \]
Înmulțirea cu zero (element absorbant): Orice număr înmulțit cu 0 are ca rezultat 0.
\[ a \times 0 = 0 \times a = 0 \]
Proprietățile înmulțirii ne ajută să calculăm mai rapid, schimbând sau grupând factorii în mod convenabil.
Comutativitatea: Ordinea factorilor nu schimbă produsul.
\[ a \times b = b \times a \]
Exemplu: \( 4 \times 25 = 25 \times 4 = 100 \)
Asociativitatea: Factorii pot fi grupați diferit fără a schimba rezultatul.
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]
Exemplu: \( (809 \times 25) \times 8 = 809 \times (25 \times 8) = 809 \times 200 \)
Distributivitatea față de adunare și scădere: Înmulțirea unui număr cu o sumă/diferență se face înmulțind numărul cu fiecare termen, apoi adunând/scăzând rezultatele.
\[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \]
\[ a \times (b - c) = a \times b - a \times c \]
Exemplu: \( 3 \times (20 + 4) = 3 \times 20 + 3 \times 4 = 60 + 12 = 72 \)
Rezultatul înmulțirii unui număr natural cu 10, 100 sau 1 000 se obține adăugând, la dreapta numărului, unul, două, respectiv trei zerouri.
\( 12 \times 10 = 120 \)
\( 12 \times 100 = 1\ 200 \)
\( 23 \times 1\ 000 = 23\ 000 \)
\( 12 \times 100 = 1\ 200 \)
\( 23 \times 1\ 000 = 23\ 000 \)
Când unul sau ambii factori se termină în zerouri (ex. \(350 \times 20\)), se înmulțesc numerele fără zerourile finale (\(35 \times 2 = 70\)), apoi se adaugă la produs numărul total de zerouri de la sfârșitul celor doi factori (două zerouri \(\rightarrow 7\ 000\)).
Pentru a efectua înmulțiri cu numere mai mari, acestea se așază unul sub altul, aliniind unitățile sub unități, zecile sub zeci etc.
Se înmulțesc, pe rând, unitățile, zecile, sutele etc. ale factorului al doilea cu primul factor, obținând produse parțiale. Dacă apar treceri peste ordin, surplusul se adună la următorul ordin calculat.
Așezarea cifrelor fiecărui produs parțial începe exact din dreptul cifrei ordinului cu care se înmulțește (se decalează cu o poziție spre stânga la fiecare rând nou).
Se adună toate produsele parțiale pentru a obține produsul final.
Înmulțirea cu un număr de 3 cifre (\( 235 \times 145 \)):
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
235 \times & \\
145 & \\
\hline
1175 & \text{primul produs parțial } (5 \times 235) \\
940\phantom{0} & \text{al doilea produs parțial } (4 \times 235) \text{ decalat o poziție} \\
235\phantom{00} & \text{al treilea produs parțial } (1 \times 235) \text{ decalat două poziții} \\
\hline
34075 & \text{suma produselor parțiale (produsul final)}
\end{array}
\]
Pentru a înmulți rapid cu 99 sau 999, se folosește distributivitatea față de scădere:
\( 34 \times 99 = 34 \times (100 - 1) = 34 \times 100 - 34 \times 1 = 3\ 400 - 34 = 3\ 366 \)
\( 34 \times 99 = 34 \times (100 - 1) = 34 \times 100 - 34 \times 1 = 3\ 400 - 34 = 3\ 366 \)
Calcularea costului total:
\[ \text{Cost total} = \text{Cantitate} \times \text{Preț per bucată} \]
Exerciții
Ușoară: Efectuați calculele:
a) \( 45 \times 100 \)
b) \( 300 \times 40 \)
a) \( 45 \times 100 \)
b) \( 300 \times 40 \)
a) Adăugăm două zerouri la dreapta: \( 45 \times 100 = 4\ 500 \).
b) Înmulțim \( 3 \times 4 = 12 \) și adăugăm cele trei zerouri (două de la 300 și unul de la 40): \( 12\ 000 \).
b) Înmulțim \( 3 \times 4 = 12 \) și adăugăm cele trei zerouri (două de la 300 și unul de la 40): \( 12\ 000 \).
Medie: Un magazin a vândut 24 de biciclete, fiecare având prețul de 315 lei. Ce sumă a încasat magazinul în total? Calculați folosind algoritmul scris.
Folosim formula \( \text{Cost total} = \text{Cantitate} \times \text{Preț} \). Trebuie să calculăm \( 315 \times 24 \).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
315 \times & \\
24 & \\
\hline
1260 & (4 \times 315) \\
630\phantom{0} & (2 \times 315) \\
\hline
7560 & \text{lei}
\end{array}
\]
Dificilă: Folosind o metodă rapidă (proprietățile înmulțirii), calculați: \( 25 \times 147 \times 4 \) și \( 15 \times 999 \).
Prima expresie: Aplicăm comutativitatea și asociativitatea pentru a grupa numerele convenabil:
\( 25 \times 147 \times 4 = (25 \times 4) \times 147 = 100 \times 147 = 14\ 700 \).
A doua expresie: Aplicăm distributivitatea față de scădere (scriem 999 ca 1000 - 1):
\( 15 \times 999 = 15 \times (1000 - 1) = 15\ 000 - 15 = 14\ 985 \).
\( 25 \times 147 \times 4 = (25 \times 4) \times 147 = 100 \times 147 = 14\ 700 \).
A doua expresie: Aplicăm distributivitatea față de scădere (scriem 999 ca 1000 - 1):
\( 15 \times 999 = 15 \times (1000 - 1) = 15\ 000 - 15 = 14\ 985 \).
