Cele mai importante aspecte ale lecției
Rețineți pașii și regulile esențiale:
• Împărțirea la un număr de două cifre respectă aceiași pași de bază: coborâm o cifră, estimăm de câte ori se cuprinde împărțitorul, înmulțim, scădem.
• Regula de aur: Restul \( R \) obținut la final (dar și la fiecare scădere intermediară) trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul \( Î \) (\( R < Î \)).
• Orice împărțire poate fi verificată prin probă: Deîmpărțit = Împărțitor × Cât + Rest.
• Împărțirea la un număr de două cifre respectă aceiași pași de bază: coborâm o cifră, estimăm de câte ori se cuprinde împărțitorul, înmulțim, scădem.
• Regula de aur: Restul \( R \) obținut la final (dar și la fiecare scădere intermediară) trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul \( Î \) (\( R < Î \)).
• Orice împărțire poate fi verificată prin probă: Deîmpărțit = Împărțitor × Cât + Rest.
Când împărțim numere naturale mari (până la 1 000 000) la un împărțitor format din două cifre, aplicăm același algoritm de calcul în scris ca la numerele mai mici.
Dacă împărțitorul nu se cuprinde de un număr exact de ori în deîmpărțit, împărțirea va avea un rest diferit de 0.
Să urmărim calculul pentru \( 19 743 : 35 \):
• Ne uităm la primele cifre ale deîmpărțitului: 35 se cuprinde în 197 de 5 ori. \( 5 \cdot 35 = 175 \). Rest: \( 197 - 175 = 22 \).
• Coborâm cifra 4: 35 se cuprinde în 224 de 6 ori. \( 6 \cdot 35 = 210 \). Rest: \( 224 - 210 = 14 \).
• Coborâm cifra 3: 35 se cuprinde în 143 de 4 ori. \( 4 \cdot 35 = 140 \). Rest: \( 143 - 140 = 3 \).
Rezultatul este: câtul 564 și restul 3. Scriem: \( 19 743 : 35 = 564 \text{ (rest } 3) \).
• Ne uităm la primele cifre ale deîmpărțitului: 35 se cuprinde în 197 de 5 ori. \( 5 \cdot 35 = 175 \). Rest: \( 197 - 175 = 22 \).
• Coborâm cifra 4: 35 se cuprinde în 224 de 6 ori. \( 6 \cdot 35 = 210 \). Rest: \( 224 - 210 = 14 \).
• Coborâm cifra 3: 35 se cuprinde în 143 de 4 ori. \( 4 \cdot 35 = 140 \). Rest: \( 143 - 140 = 3 \).
Rezultatul este: câtul 564 și restul 3. Scriem: \( 19 743 : 35 = 564 \text{ (rest } 3) \).
Calculați \( 34 264 : 30 \) și identificați câtul și restul.
Efectuând împărțirea pas cu pas obținem:
\( 34 : 30 = 1 \text{ (rest } 4) \)
\( 42 : 30 = 1 \text{ (rest } 12) \)
\( 126 : 30 = 4 \text{ (rest } 6) \)
\( 64 : 30 = 2 \text{ (rest } 4) \)
Răspuns: Câtul este \( 1 142 \), iar restul este \( 4 \).
\( 34 : 30 = 1 \text{ (rest } 4) \)
\( 42 : 30 = 1 \text{ (rest } 12) \)
\( 126 : 30 = 4 \text{ (rest } 6) \)
\( 64 : 30 = 2 \text{ (rest } 4) \)
Răspuns: Câtul este \( 1 142 \), iar restul este \( 4 \).
Fie D = Deîmpărțit, Î = Împărțitor, C = Cât, R = Rest.
\[ D = Î \cdot C + R \]
Condiție obligatorie: \( R < Î \) (Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul).
La fiecare pas al calculului în scris, restul parțial obținut în urma scăderii trebuie să fie strict mai mic decât numărul la care împărțim (împărțitorul).
Verificăm dacă împărțirea \( 200 347 : 63 = 3 180 \text{ (rest } 7) \) este corectă.
1. Verificăm condiția restului: \( 7 < 63 \) (Adevărat).
2. Facem proba prin înmulțire: \( 63 \cdot 3 180 + 7 = 200 340 + 7 = 200 347 \).
Deoarece am obținut deîmpărțitul inițial, calculul este corect.
1. Verificăm condiția restului: \( 7 < 63 \) (Adevărat).
2. Facem proba prin înmulțire: \( 63 \cdot 3 180 + 7 = 200 340 + 7 = 200 347 \).
Deoarece am obținut deîmpărțitul inițial, calculul este corect.
Exerciții și probleme de antrenament
Ușoară: Aflați câtul și restul împărțirii: \( 37 151 : 34 \).
Calculăm pas cu pas:
\( 37 : 34 = 1 \) (rest \( 3 \))
\( 31 : 34 = 0 \) (rest \( 31 \))
\( 315 : 34 = 9 \) (\( 9 \cdot 34 = 306 \), rest \( 9 \))
\( 91 : 34 = 2 \) (\( 2 \cdot 34 = 68 \), rest \( 23 \))
Răspuns: Câtul este \( 1 092 \), iar restul este \( 23 \).
\( 37 : 34 = 1 \) (rest \( 3 \))
\( 31 : 34 = 0 \) (rest \( 31 \))
\( 315 : 34 = 9 \) (\( 9 \cdot 34 = 306 \), rest \( 9 \))
\( 91 : 34 = 2 \) (\( 2 \cdot 34 = 68 \), rest \( 23 \))
Răspuns: Câtul este \( 1 092 \), iar restul este \( 23 \).
Medie: Aflați deîmpărțitul știind că împărțitorul este \( 29 \), câtul este \( 4 359 \), iar restul este \( 14 \).
Folosim teorema împărțirii cu rest: \( D = Î \cdot C + R \).
\( D = 29 \cdot 4 359 + 14 \)
\( D = 126 411 + 14 \)
\( D = 126 425 \)
Răspuns: Deîmpărțitul este \( 126 425 \).
\( D = 29 \cdot 4 359 + 14 \)
\( D = 126 411 + 14 \)
\( D = 126 425 \)
Răspuns: Deîmpărțitul este \( 126 425 \).
Medie-Dificilă: La o fabrică s-au produs într-o lună \( 12 546 \) de jucării. Dacă într-o cutie se ambalează câte \( 25 \) de jucării, câte cutii pline se obțin și câte jucării rămân neambalate?
Efectuăm împărțirea \( 12 546 : 25 \) pentru a afla numărul de cutii (câtul) și numărul de jucării rămase (restul).
\( 125 : 25 = 5 \) (rest \( 0 \))
\( 4 : 25 = 0 \) (rest \( 4 \))
\( 46 : 25 = 1 \) (rest \( 21 \))
Cât = \( 501 \), Rest = \( 21 \).
Răspuns: Se obțin \( 501 \) cutii pline și rămân \( 21 \) de jucării.
\( 125 : 25 = 5 \) (rest \( 0 \))
\( 4 : 25 = 0 \) (rest \( 4 \))
\( 46 : 25 = 1 \) (rest \( 21 \))
Cât = \( 501 \), Rest = \( 21 \).
Răspuns: Se obțin \( 501 \) cutii pline și rămân \( 21 \) de jucării.
Dificilă: Restul unei împărțiri este \( 54 \), iar împărțitorul este un număr de două cifre, mai mic decât \( 60 \). Care poate fi împărțitorul?
Știm din regula fundamentală că restul este strict mai mic decât împărțitorul: \( R < Î \).
Așadar, \( 54 < Î \).
În plus, ni se spune că \( Î < 60 \) și este format din două cifre.
Numerele naturale care respectă condiția \( 54 < Î < 60 \) sunt: \( 55, 56, 57, 58 \) și \( 59 \).
Răspuns: Împărțitorul poate fi \( 55, 56, 57, 58 \) sau \( 59 \).
Așadar, \( 54 < Î \).
În plus, ni se spune că \( Î < 60 \) și este format din două cifre.
Numerele naturale care respectă condiția \( 54 < Î < 60 \) sunt: \( 55, 56, 57, 58 \) și \( 59 \).
Răspuns: Împărțitorul poate fi \( 55, 56, 57, 58 \) sau \( 59 \).
