Cele mai importante aspecte ale lecției
Rădăcina pătrată: Egalitățile \( p = x^2 \) și \( x = \sqrt{p} \) sunt echivalente. Extragerea radicalului anulează ridicarea la pătrat: \( \sqrt{x^2} = x \). (Exemplu: \( \sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7 \)).
Proprietăți: Radicalul unui produs de pătrate perfecte este produsul radicalilor: \( \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \).
Ultima cifră: Un număr care se termină cu cifrele 2, 3, 7 sau 8 nu este niciodată pătrat perfect, prin urmare nu putem extrage rădăcina pătrată exactă în mulțimea numerelor naturale.
Proprietăți: Radicalul unui produs de pătrate perfecte este produsul radicalilor: \( \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \).
Ultima cifră: Un număr care se termină cu cifrele 2, 3, 7 sau 8 nu este niciodată pătrat perfect, prin urmare nu putem extrage rădăcina pătrată exactă în mulțimea numerelor naturale.
Dacă un număr natural \( p \) este pătratul unui număr natural \( x \) (adică \( p = x^2 \)), atunci \( p \) este pătrat perfect, iar \( x \) se numește rădăcina pătrată a lui \( p \).
Scriem \( x = \sqrt{p} \) și citim „x este egal cu radical din p”.
\[ p = x^2 \Leftrightarrow x = \sqrt{p} \]
\[ \sqrt{x^2} = x \text{, oricare ar fi numărul natural } x. \]
Deoarece \( 676 = 26^2 \), rezultă că \( \sqrt{676} = \sqrt{26^2} = 26 \).
Calculați rădăcina pătrată a numărului 81.
Știm că \( 81 = 9^2 \).
Prin urmare, \( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \).
Prin urmare, \( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \).
Pentru a afla rădăcina pătrată a numerelor mai mari, folosim descompunerea în factori primi și regulile de calcul cu puteri pentru a scrie numărul ca un pătrat perfect.
Descompunem numărul natural în factori primi.
Grupăm factorii obținuți sub forma unei singure puteri cu exponentul 2, folosind formula \( a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 \).
Extragem radicalul folosind regula \( \sqrt{x^2} = x \).
Calculăm \( \sqrt{1764} \):
1. Descompunem: \( 1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \)
2. Grupăm: \( 1764 = (2 \cdot 3 \cdot 7)^2 = 42^2 \)
3. Extragem rădăcina: \( \sqrt{1764} = \sqrt{42^2} = 42 \)
1. Descompunem: \( 1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \)
2. Grupăm: \( 1764 = (2 \cdot 3 \cdot 7)^2 = 42^2 \)
3. Extragem rădăcina: \( \sqrt{1764} = \sqrt{42^2} = 42 \)
Dacă \( p \) și \( q \) sunt două numere naturale pătrate perfecte, atunci:
\[ \sqrt{p \cdot q} = \sqrt{p} \cdot \sqrt{q} \]
Arătați că numărul \( 784 \) este pătrat perfect și calculați \( \sqrt{784} \).
Descompunem 784 în factori primi:
\( 784 = 2^4 \cdot 7^2 \)
Grupăm factorii pentru a obține o putere a doua:
\( 784 = (2^2)^2 \cdot 7^2 = (2^2 \cdot 7)^2 = (4 \cdot 7)^2 = 28^2 \).
Deoarece \( 784 = 28^2 \), numărul este pătrat perfect.
\( \sqrt{784} = \sqrt{28^2} = 28 \).
\( 784 = 2^4 \cdot 7^2 \)
Grupăm factorii pentru a obține o putere a doua:
\( 784 = (2^2)^2 \cdot 7^2 = (2^2 \cdot 7)^2 = (4 \cdot 7)^2 = 28^2 \).
Deoarece \( 784 = 28^2 \), numărul este pătrat perfect.
\( \sqrt{784} = \sqrt{28^2} = 28 \).
Analizând ultima cifră a numerelor naturale, \( u(n) \), putem determina care va fi ultima cifră a pătratului acelui număr, \( u(n^2) \).
| \( u(n) \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( u(n^2) \) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Dacă ultima cifră a unui număr natural este 2, 3, 7 sau 8, acel număr nu poate fi pătrat perfect.
Numărul 1762 nu este pătrat perfect deoarece ultima sa cifră este 2.
Justificați dacă numărul 2027 poate fi pătrat perfect.
Ultima cifră a numărului 2027 este 7. Deoarece niciun pătrat perfect nu se poate termina în cifra 7, numărul 2027 nu este pătrat perfect.
Exerciții
Ușoară: Calculați \( \sqrt{10^2} \) și \( \sqrt{64} \).
Folosind regula \( \sqrt{x^2} = x \), obținem:
\( \sqrt{10^2} = 10 \).
Știm că \( 64 = 8^2 \), deci \( \sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8 \).
\( \sqrt{10^2} = 10 \).
Știm că \( 64 = 8^2 \), deci \( \sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8 \).
Medie: Scrieți rădăcina pătrată a numărului \( 3^4 \cdot 2^2 \).
Aducem expresia la forma unui singur pătrat perfect:
\( 3^4 \cdot 2^2 = (3^2)^2 \cdot 2^2 = (3^2 \cdot 2)^2 = (9 \cdot 2)^2 = 18^2 \).
Rădăcina pătrată este: \( \sqrt{18^2} = 18 \).
\( 3^4 \cdot 2^2 = (3^2)^2 \cdot 2^2 = (3^2 \cdot 2)^2 = (9 \cdot 2)^2 = 18^2 \).
Rădăcina pătrată este: \( \sqrt{18^2} = 18 \).
Dificilă: Justificați de ce numărul de forma \( A = 5n + 7 \) (unde \( n \) este număr natural) nu poate fi pătrat perfect.
Analizăm ultima cifră a numărului \( A \).
Termenul \( 5n \) se poate termina doar în 0 (dacă \( n \) este par) sau în 5 (dacă \( n \) este impar).
Cazul 1: Dacă \( u(5n) = 0 \), atunci \( u(5n + 7) = 0 + 7 = 7 \).
Cazul 2: Dacă \( u(5n) = 5 \), atunci \( u(5n + 7) = 5 + 7 = 12 \), deci ultima cifră este 2.
În ambele cazuri, numărul \( A \) se termină fie în 7, fie în 2. Deoarece niciun pătrat perfect nu se poate termina în 2 sau 7, rezultă că \( 5n + 7 \) nu este pătrat perfect.
Termenul \( 5n \) se poate termina doar în 0 (dacă \( n \) este par) sau în 5 (dacă \( n \) este impar).
Cazul 1: Dacă \( u(5n) = 0 \), atunci \( u(5n + 7) = 0 + 7 = 7 \).
Cazul 2: Dacă \( u(5n) = 5 \), atunci \( u(5n + 7) = 5 + 7 = 12 \), deci ultima cifră este 2.
În ambele cazuri, numărul \( A \) se termină fie în 7, fie în 2. Deoarece niciun pătrat perfect nu se poate termina în 2 sau 7, rezultă că \( 5n + 7 \) nu este pătrat perfect.
