Cele mai importante aspecte ale lecției
Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Preia toate proprietățile paralelogramului și adaugă două definitorii: toate unghiurile sunt de \(90^\circ\) și diagonalele sunt congruente.
Orice paralelogram cu diagonale congruente este un dreptunghi.
O consecință importantă legată de dreptunghi este Teorema medianei: într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.
Orice paralelogram cu diagonale congruente este un dreptunghi.
O consecință importantă legată de dreptunghi este Teorema medianei: într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.
Dreptunghiul este paralelogramul care are un unghi drept.
Deoarece dreptunghiul este un paralelogram, el preia toate proprietățile paralelogramului (laturile opuse sunt paralele și congruente două câte două, unghiurile opuse sunt congruente, iar diagonalele se înjumătățesc).
Proprietăți specifice dreptunghiului:
1. Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte (\(90^\circ\)).
2. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.
1. Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte (\(90^\circ\)).
2. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.
Dacă \(ABCD\) este dreptunghi, atunci:
\[ \measuredangle A = \measuredangle B = \measuredangle C = \measuredangle D = 90^\circ \]
\[ AC \equiv BD \quad \text{și} \quad OA = OB = OC = OD \]
Pentru a demonstra că un patrulater este dreptunghi, trebuie să arătăm mai întâi că este paralelogram, apoi să demonstrăm una dintre proprietățile specifice.
Arătăm că patrulaterul este un paralelogram care are un unghi drept.
\(ABCD\) paralelogram + \(\measuredangle A = 90^\circ \implies ABCD\) dreptunghi.
\(ABCD\) paralelogram + \(\measuredangle A = 90^\circ \implies ABCD\) dreptunghi.
Arătăm că patrulaterul este un paralelogram cu diagonalele congruente.
\(ABCD\) paralelogram + \(AC \equiv BD \implies ABCD\) dreptunghi.
\(ABCD\) paralelogram + \(AC \equiv BD \implies ABCD\) dreptunghi.
Patrulaterul \(MNPQ\) are laturile opuse paralele, iar \(MP = 14 \text{ cm}\) și \(NQ = 14 \text{ cm}\). Este \(MNPQ\) un dreptunghi?
Deoarece laturile opuse sunt paralele, \(MNPQ\) este un paralelogram. Deoarece diagonalele sale sunt egale (\(MP = NQ = 14 \text{ cm}\)), conform teoremei, paralelogramul \(MNPQ\) este un dreptunghi.
Teorema medianei: Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Dacă \( \triangle ABC \) este dreptunghic (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) și \( AM \) este mediană, atunci:
\[ AM = \frac{BC}{2} \]
(deci \( AM = BM = MC \))
Reciproca teoremei medianei: Dacă lungimea medianei corespunzătoare laturii unui triunghi este jumătate din lungimea acelei laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, având acea latură drept ipotenuză.
Dacă într-un triunghi \(DEF\), mediana \(DG\) are lungimea de \(5 \text{ cm}\), iar latura \(EF\) are \(10 \text{ cm}\). Deoarece \(5 = \frac{10}{2}\), triunghiul \(DEF\) este sigur un triunghi dreptunghic, cu ipotenuza \(EF\).
Exerciții
Ușoară: Desenează un dreptunghi \(ABCD\) și notează cu \(O\) punctul de intersecție a diagonalelor. Dacă \(AC = 12 \text{ cm}\), calculează lungimea segmentului \(DO\).
Într-un dreptunghi, diagonalele sunt congruente (\(AC = BD\)). Deci, \(BD = 12 \text{ cm}\).
Deoarece dreptunghiul este un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.
\(DO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\).
Deoarece dreptunghiul este un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.
\(DO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\).
Medie: Într-un dreptunghi \(ABCD\), cu diagonalele intersectate în \(O\), măsura unghiului \(AOB\) este de \(120^\circ\). Calculează măsura unghiului \(OAB\).
Într-un dreptunghi, diagonalele se înjumătățesc și sunt congruente, deci \(OA = OB\).
Rezultă că \( \triangle AOB \) este un triunghi isoscel de bază \(AB\).
Suma unghiurilor într-un triunghi este \(180^\circ\).
\( \measuredangle OAB = \measuredangle OBA = \frac{180^\circ - \measuredangle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
Rezultă că \( \triangle AOB \) este un triunghi isoscel de bază \(AB\).
Suma unghiurilor într-un triunghi este \(180^\circ\).
\( \measuredangle OAB = \measuredangle OBA = \frac{180^\circ - \measuredangle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
Dificilă: Se consideră un triunghi \(ABC\) dreptunghic în \(A\). Fie \(M\) mijlocul ipotenuzei \(BC\). Se notează cu \(D\) simetricul punctului \(A\) față de punctul \(M\). Demonstrează că patrulaterul \(ABDC\) este un dreptunghi.
Deoarece \(M\) este mijlocul lui \(BC\), rezultă că \(MB \equiv MC\).
Deoarece \(D\) este simetricul lui \(A\) față de \(M\), rezultă că \(M\) este și mijlocul segmentului \(AD\), deci \(MA \equiv MD\).
Într-un patrulater (\(ABDC\)), dacă diagonalele se înjumătățesc, patrulaterul este un paralelogram.
Știm din ipoteză că \( \measuredangle BAC = 90^\circ \) (triunghiul \(ABC\) este dreptunghic).
Un paralelogram (\(ABDC\)) care are un unghi drept (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) este, prin definiție, un dreptunghi.
Deoarece \(D\) este simetricul lui \(A\) față de \(M\), rezultă că \(M\) este și mijlocul segmentului \(AD\), deci \(MA \equiv MD\).
Într-un patrulater (\(ABDC\)), dacă diagonalele se înjumătățesc, patrulaterul este un paralelogram.
Știm din ipoteză că \( \measuredangle BAC = 90^\circ \) (triunghiul \(ABC\) este dreptunghic).
Un paralelogram (\(ABDC\)) care are un unghi drept (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) este, prin definiție, un dreptunghi.
