Cele mai importante aspecte ale lecției
Linia mijlocie: Segmentul care unește mijloacele a două laturi. Este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea (\(MN = \frac{BC}{2}\)).
Reciproca: Dacă o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi și este paralelă cu baza, ea intersectează a treia latură exact în mijlocul ei.
Centrul de greutate (\(G\)): Punctul de intersecție a celor trei mediane.
Proprietatea centrului de greutate: Se află la \(\frac{2}{3}\) de vârful triunghiului și la \(\frac{1}{3}\) de bază (\(AG = \frac{2}{3}AD\)).
Reciproca: Dacă o dreaptă trece prin mijlocul unei laturi și este paralelă cu baza, ea intersectează a treia latură exact în mijlocul ei.
Centrul de greutate (\(G\)): Punctul de intersecție a celor trei mediane.
Proprietatea centrului de greutate: Se află la \(\frac{2}{3}\) de vârful triunghiului și la \(\frac{1}{3}\) de bază (\(AG = \frac{2}{3}AD\)).
Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul determinat de mijloacele a două dintre laturile triunghiului.
Orice triunghi are trei linii mijlocii (deoarece are trei perechi de laturi).
Teorema liniei mijlocii: Linia mijlocie determinată de mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralelă cu cea de-a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
Dacă \(M\) este mijlocul lui \(AB\) și \(N\) este mijlocul lui \(AC\), atunci:
\[ MN \parallel BC \]
\[ MN = \frac{BC}{2} \]
Reciproca teoremei liniei mijlocii: Paralela la o latură a unui triunghi dusă prin mijlocul altei laturi intersectează a treia latură în mijlocul ei (este linie mijlocie a triunghiului).
Într-un triunghi \(ABC\), latura \(BC = 12 \text{ cm}\). Dacă \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AC\), atunci segmentul \(MN\) este linie mijlocie.
Lungimea sa va fi \(MN = 12 : 2 = 6 \text{ cm}\).
Lungimea sa va fi \(MN = 12 : 2 = 6 \text{ cm}\).
Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de intersecție a celor trei mediane ale triunghiului. Se notează de obicei cu \(G\).
Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct \(G\), care este situat pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de bază.
Fie \(AD\) o mediană a triunghiului \(ABC\) (\(D \in BC\)) și \(G\) centrul de greutate. Relațiile de proporționalitate sunt:
\[ AG = \frac{2}{3} \cdot AD \]
\[ GD = \frac{1}{3} \cdot AD \]
De aici derivă și relația: \(AG = 2 \cdot GD\).
Într-un triunghi \(ABC\), lungimea medianei \(AD\) este de \(15 \text{ cm}\). Calculați lungimile segmentelor \(AG\) și \(GD\), unde \(G\) este centrul de greutate.
Aplicăm teorema centrului de greutate:
\(GD = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \text{ cm}\)
\(AG = \frac{2}{3} \cdot AD = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm}\)
Verificare: \(AG + GD = 10 + 5 = 15 \text{ cm}\) (corect).
\(GD = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \text{ cm}\)
\(AG = \frac{2}{3} \cdot AD = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm}\)
Verificare: \(AG + GD = 10 + 5 = 15 \text{ cm}\) (corect).
Probleme de antrenament
Ușoară: Se notează cu \(M, N, P\) mijloacele laturilor \(AB, BC\), respectiv \(CA\) ale unui triunghi \(ABC\). Demonstrați că perimetrul triunghiului \(MNP\) este jumătate din perimetrul triunghiului \(ABC\).
Folosim teorema liniei mijlocii pentru fiecare segment al triunghiului \(MNP\):
- \(MN\) unește mijloacele lui \(AB\) și \(BC\), deci \(MN = \frac{AC}{2}\)
- \(NP\) unește mijloacele lui \(BC\) și \(CA\), deci \(NP = \frac{AB}{2}\)
- \(PM\) unește mijloacele lui \(CA\) și \(AB\), deci \(PM = \frac{BC}{2}\)
Perimetrul triunghiului \(MNP\) este: \[ P_{MNP} = MN + NP + PM = \frac{AC}{2} + \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{P_{ABC}}{2} \]
- \(MN\) unește mijloacele lui \(AB\) și \(BC\), deci \(MN = \frac{AC}{2}\)
- \(NP\) unește mijloacele lui \(BC\) și \(CA\), deci \(NP = \frac{AB}{2}\)
- \(PM\) unește mijloacele lui \(CA\) și \(AB\), deci \(PM = \frac{BC}{2}\)
Perimetrul triunghiului \(MNP\) este: \[ P_{MNP} = MN + NP + PM = \frac{AC}{2} + \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{P_{ABC}}{2} \]
Medie: Punctele \(D\) și \(E\) sunt mijloacele laturilor \(BC\), respectiv \(AC\) ale unui triunghi \(ABC\). Știind că \(\measuredangle B = 34^\circ\), \(\measuredangle C = 46^\circ\) și \(DE = 4 \text{ cm}\), calculați lungimea segmentului \(AB\) și măsura unghiului \(\measuredangle DEC\).
a) Deoarece \(D\) și \(E\) sunt mijloacele laturilor \(BC\) și \(AC\), \(DE\) este linie mijlocie în \(\triangle ABC\).
Conform teoremei, \(DE = \frac{AB}{2} \Rightarrow AB = 2 \cdot DE = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}\).
b) Tot din teorema liniei mijlocii, știm că \(DE \parallel AB\).
Considerăm \(AC\) secantă, unghiurile \(\measuredangle DEC\) și \(\measuredangle BAC\) sunt unghiuri corespondente, deci \(\measuredangle DEC \equiv \measuredangle BAC\).
În \(\triangle ABC\), suma măsurilor unghiurilor este \(180^\circ\):
\(\measuredangle BAC = 180^\circ - (34^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Prin urmare, \(\measuredangle DEC = 100^\circ\).
Conform teoremei, \(DE = \frac{AB}{2} \Rightarrow AB = 2 \cdot DE = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}\).
b) Tot din teorema liniei mijlocii, știm că \(DE \parallel AB\).
Considerăm \(AC\) secantă, unghiurile \(\measuredangle DEC\) și \(\measuredangle BAC\) sunt unghiuri corespondente, deci \(\measuredangle DEC \equiv \measuredangle BAC\).
În \(\triangle ABC\), suma măsurilor unghiurilor este \(180^\circ\):
\(\measuredangle BAC = 180^\circ - (34^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Prin urmare, \(\measuredangle DEC = 100^\circ\).
Dificilă: Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(AC\) ale unui triunghi \(ABC\). Se notează cu \(P\) mijlocul liniei mijlocii \(EF\) și cu \(D\) intersecția dreptelor \(BC\) și \(AP\). Demonstrați că segmentul \(AD\) este mediană a triunghiului \(ABC\).
Pentru a demonstra că \(AD\) este mediană, trebuie să demonstrăm că \(D\) este mijlocul lui \(BC\) (\(BD = DC\)).
Deoarece \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AC\), \(EF\) este linie mijlocie, deci \(EF \parallel BC\).
Punctele aparțin dreptelor astfel: \(E \in AB\), \(F \in AC\), \(P \in AD\). Avem \(EP \parallel BD\) și \(PF \parallel DC\).
Aplicăm Teorema fundamentală a asemănării (sau Teorema lui Thales) în două triunghiuri:
1) În \(\triangle ABD\), \(EP \parallel BD \Rightarrow \triangle AEP \sim \triangle ABD \Rightarrow \frac{EP}{BD} = \frac{AP}{AD}\)
2) În \(\triangle ADC\), \(PF \parallel DC \Rightarrow \triangle AFP \sim \triangle ADC \Rightarrow \frac{PF}{DC} = \frac{AP}{AD}\)
Din cele două relații deducem că: \(\frac{EP}{BD} = \frac{PF}{DC}\).
Cum \(P\) este mijlocul lui \(EF\), avem \(EP = PF\). Înlocuind în proporție, obținem obligatoriu că \(BD = DC\).
Așadar, \(D\) este mijlocul laturii \(BC\), ceea ce înseamnă că \(AD\) este mediană.
Deoarece \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AC\), \(EF\) este linie mijlocie, deci \(EF \parallel BC\).
Punctele aparțin dreptelor astfel: \(E \in AB\), \(F \in AC\), \(P \in AD\). Avem \(EP \parallel BD\) și \(PF \parallel DC\).
Aplicăm Teorema fundamentală a asemănării (sau Teorema lui Thales) în două triunghiuri:
1) În \(\triangle ABD\), \(EP \parallel BD \Rightarrow \triangle AEP \sim \triangle ABD \Rightarrow \frac{EP}{BD} = \frac{AP}{AD}\)
2) În \(\triangle ADC\), \(PF \parallel DC \Rightarrow \triangle AFP \sim \triangle ADC \Rightarrow \frac{PF}{DC} = \frac{AP}{AD}\)
Din cele două relații deducem că: \(\frac{EP}{BD} = \frac{PF}{DC}\).
Cum \(P\) este mijlocul lui \(EF\), avem \(EP = PF\). Înlocuind în proporție, obținem obligatoriu că \(BD = DC\).
Așadar, \(D\) este mijlocul laturii \(BC\), ceea ce înseamnă că \(AD\) este mediană.
