Cele mai importante aspecte ale lecției
- Definiție: Două triunghiuri sunt asemenea (\( \sim \)) dacă au unghiurile corespondente egale și laturile corespondente proporționale.
- Raport de asemănare: Fracția formată din lungimile a două laturi omoloage (\( \frac{l_1}{l_2} = k \)). Dacă \( k = 1 \), triunghiurile sunt identice (congruente).
- Teorema Fundamentală a Asemănării (T.F.A.): Orice dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi formând un triunghi mic asemenea cu triunghiul mare.
- Aplicație practică: T.F.A ne permite să scriem rapoarte de forma \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \) pentru a afla laturi necunoscute.
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate unghiurile corespondente congruente și laturile corespondente proporționale.
Pentru triunghiurile \( ABC \) și \( A'B'C' \):
\[ \measuredangle A \equiv \measuredangle A', \quad \measuredangle B \equiv \measuredangle B', \quad \measuredangle C \equiv \measuredangle C' \]
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \]
Dacă triunghiurile sunt asemenea, notăm: \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \).
Laturi omoloage: Laturile care se opun unghiurilor congruente din cele două triunghiuri asemenea (de exemplu, \( BC \) și \( B'C' \) care se opun unghiurilor congruente \( A \) și \( A' \)).
Raport de asemănare: Valoarea obținută prin împărțirea lungimilor a două laturi omoloage din două triunghiuri asemenea. Se notează de obicei cu \( k \).
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \]
Dacă raportul de asemănare a două triunghiuri asemenea este egal cu \( 1 \) (\( k = 1 \)), atunci triunghiurile sunt congruente (\( \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \)) și reciproc.
Dacă \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) și \( AB = 6 \text{ cm} \), iar \( DE = 3 \text{ cm} \), raportul de asemănare este \( \frac{6}{3} = 2 \). Aceasta înseamnă că toate laturile triunghiului \( ABC \) sunt de două ori mai mari decât laturile omoloage din \( \triangle DEF \).
O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile acestora) un triunghi asemenea cu triunghiul inițial.
Fie \( \triangle ABC \) și o dreaptă \( DE \parallel BC \).
Atunci: \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \), ceea ce implică: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
Atunci: \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \), ceea ce implică: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
Dreapta paralelă \( DE \) poate intersecta triunghiul în trei moduri:
- Pe laturile propriu-zise ale triunghiului (în interior).
- Pe semidreptele opuse laturilor (dincolo de baza triunghiului).
- Pe semidreptele opuse laturilor (dincolo de vârful opus bazei).
Probleme practice
Ușoară: Se știe că \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \). Dacă \( \measuredangle A = 50^\circ \) și \( \measuredangle N = 70^\circ \), determinați măsura unghiului \( \measuredangle P \).
Deoarece triunghiurile sunt asemenea, unghiurile corespondente sunt congruente:
\( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \implies \measuredangle B = 70^\circ \).
În \( \triangle ABC \), suma unghiurilor este \( 180^\circ \):
\( \measuredangle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Din asemănare, \( \measuredangle P \equiv \measuredangle C \implies \measuredangle P = 60^\circ \).
\( \measuredangle B \equiv \measuredangle N \implies \measuredangle B = 70^\circ \).
În \( \triangle ABC \), suma unghiurilor este \( 180^\circ \):
\( \measuredangle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Din asemănare, \( \measuredangle P \equiv \measuredangle C \implies \measuredangle P = 60^\circ \).
Medie: În \( \triangle ABC \), se duce dreapta \( DE \parallel BC \), cu \( D \in AB \) și \( E \in AC \). Se cunosc următoarele lungimi: \( AD = 4 \text{ cm} \), \( DB = 2 \text{ cm} \) și \( BC = 12 \text{ cm} \). Calculați lungimea segmentului \( DE \).
Calculăm mai întâi lungimea laturii \( AB \):
\( AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 \text{ cm} \).
Conform Teoremei fundamentale a asemănării (deoarece \( DE \parallel BC \)), rezultă că \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
Scriem rapoartele de proporționalitate: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] Înlocuim cu valorile cunoscute: \[ \frac{4}{6} = \frac{DE}{12} \] Simplificăm \( \frac{4}{6} \) la \( \frac{2}{3} \): \[ \frac{2}{3} = \frac{DE}{12} \implies DE = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \). \]
\( AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 \text{ cm} \).
Conform Teoremei fundamentale a asemănării (deoarece \( DE \parallel BC \)), rezultă că \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
Scriem rapoartele de proporționalitate: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] Înlocuim cu valorile cunoscute: \[ \frac{4}{6} = \frac{DE}{12} \] Simplificăm \( \frac{4}{6} \) la \( \frac{2}{3} \): \[ \frac{2}{3} = \frac{DE}{12} \implies DE = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \). \]
Dificilă: Fie \( \triangle MNP \sim \triangle QRS \) având un raport de asemănare de \( \frac{3}{5} \). Se cunoaște că laturile triunghiului \( MNP \) sunt \( MN = 6 \text{ cm} \), \( NP = 9 \text{ cm} \), și \( PM = 12 \text{ cm} \). Determinați lungimile laturilor triunghiului \( QRS \).
Deoarece triunghiurile sunt asemenea, raportul oricăror două laturi omoloage este egal cu raportul de asemănare:
\[ \frac{MN}{QR} = \frac{NP}{RS} = \frac{PM}{SQ} = \frac{3}{5} \]
Calculăm fiecare latură separat:
1) \( \frac{6}{QR} = \frac{3}{5} \implies QR = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10 \text{ cm} \).
2) \( \frac{9}{RS} = \frac{3}{5} \implies RS = \frac{9 \cdot 5}{3} = 15 \text{ cm} \).
3) \( \frac{12}{SQ} = \frac{3}{5} \implies SQ = \frac{12 \cdot 5}{3} = 20 \text{ cm} \).
1) \( \frac{6}{QR} = \frac{3}{5} \implies QR = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10 \text{ cm} \).
2) \( \frac{9}{RS} = \frac{3}{5} \implies RS = \frac{9 \cdot 5}{3} = 15 \text{ cm} \).
3) \( \frac{12}{SQ} = \frac{3}{5} \implies SQ = \frac{12 \cdot 5}{3} = 20 \text{ cm} \).
