Cele mai importante aspecte ale lecției
Produs cartezian: \( A \times B = \{(x, y) \mid x \in A, y \in B\} \). Atenție: ordinea elementelor contează, \( A \times B \neq B \times A \).
Sistem cartezian: Orice punct este definit de abscisă (pe \( Ox \)) și ordonată (pe \( Oy \)): \( P(x, y) \).
Formule geometrice:
- Distanța: \( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Mijlocul: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
Dependență funcțională: O regulă prin care fiecărui element dintr-o mulțime i se asociază un singur element din altă mulțime. Poate fi analizată folosind tabele de frecvență sau reprezentată vizual (ex. poligonul frecvențelor).
Sistem cartezian: Orice punct este definit de abscisă (pe \( Ox \)) și ordonată (pe \( Oy \)): \( P(x, y) \).
Formule geometrice:
- Distanța: \( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Mijlocul: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
Dependență funcțională: O regulă prin care fiecărui element dintr-o mulțime i se asociază un singur element din altă mulțime. Poate fi analizată folosind tabele de frecvență sau reprezentată vizual (ex. poligonul frecvențelor).
Fiind date două mulțimi nevide, \( A \) și \( B \), mulțimea ale cărei elemente sunt perechi ordonate de forma \( (x, y) \), cu \( x \in A \) și \( y \in B \), se numește produsul cartezian al mulțimilor \( A \) și \( B \).
Se notează: \( A \times B = \{(x, y) \mid x \in A \text{ și } y \in B\} \)
- Două perechi ordonate sunt egale dacă au aceleași elemente pe aceleași poziții: \( (a, b) = (c, d) \) dacă și numai dacă \( a = c \) și \( b = d \).
- În general, produsul cartezian nu este comutativ: \( A \times B \neq B \times A \).
- Numărul de elemente (cardinalul): \( \text{card}(A \times B) = \text{card } A \cdot \text{card } B \).
Dacă \( A = \{1, 2\} \) și \( B = \{m, n\} \):
\( A \times B = \{(1, m), (1, n), (2, m), (2, n)\} \)
\( B \times A = \{(m, 1), (m, 2), (n, 1), (n, 2)\} \)
\( \text{card}(A \times B) = 2 \cdot 2 = 4 \) elemente.
\( A \times B = \{(1, m), (1, n), (2, m), (2, n)\} \)
\( B \times A = \{(m, 1), (m, 2), (n, 1), (n, 2)\} \)
\( \text{card}(A \times B) = 2 \cdot 2 = 4 \) elemente.
Fie mulțimea \( M = \{0, 5\} \) și \( N = \{3\} \). Determinați \( M \times N \) și \( \text{card}(N \times M) \).
\( M \times N = \{(0, 3), (5, 3)\} \)
Deoarece \( \text{card } N = 1 \) și \( \text{card } M = 2 \), \( \text{card}(N \times M) = 1 \cdot 2 = 2 \).
Deoarece \( \text{card } N = 1 \) și \( \text{card } M = 2 \), \( \text{card}(N \times M) = 1 \cdot 2 = 2 \).
Două drepte perpendiculare prevăzute cu o origine comună, o unitate de măsură și sensuri pozitive formează un sistem de coordonate ortogonale (sau plan cartezian).
- Originea: Punctul de intersecție \( O(0, 0) \).
- Axa absciselor (\( Ox \)): Axa orizontală. Primul număr dintr-o pereche se numește abscisă.
- Axa ordonatelor (\( Oy \)): Axa verticală. Al doilea număr dintr-o pereche se numește ordonată.
Puncte particulare și simetrie:
- Un punct situat pe axa \( Ox \) are ordonata zero: \( P(x, 0) \).
- Un punct situat pe axa \( Oy \) are abscisa zero: \( Q(0, y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de axa \( Ox \) este \( A'(x, -y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de axa \( Oy \) este \( A''(-x, y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de origine este \( A'''(-x, -y) \).
Se dă punctul \( A(-3, 4) \). Determinați coordonatele simetricului său față de axa absciselor.
Simetricul față de axa \( Ox \) păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei. Deci, simetricul este \( A'(-3, -4) \).
Distanța dintre două puncte \( A(x_1, y_1) \) și \( B(x_2, y_2) \):
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de proiecțiile punctelor pe axe.
Coordonatele mijlocului unui segment \( AB \), notat cu \( M \):
\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{și} \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor.
Pentru \( A(1, 2) \) și \( B(4, 6) \):
Distanța: \( AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Mijlocul \( M \): \( x_M = \frac{1+4}{2} = 2,5 \); \( y_M = \frac{2+6}{2} = 4 \). Deci \( M(2,5; 4) \).
Distanța: \( AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Mijlocul \( M \): \( x_M = \frac{1+4}{2} = 2,5 \); \( y_M = \frac{2+6}{2} = 4 \). Deci \( M(2,5; 4) \).
Calculați distanța dintre originea sistemului de coordonate \( O(0,0) \) și punctul \( P(-6, 8) \).
\( OP = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
Între două mulțimi \( A \) și \( B \) are loc o dependență funcțională dacă, printr-o regulă, fiecărui element din \( A \) îi corespunde un singur element din \( B \). Graficul unei astfel de dependențe este format dintr-o mulțime de puncte de forma \( (x, y) \).
Termeni statistici:
- Frecvența absolută: De câte ori apare o anumită valoare într-un set de date.
- Frecvența relativă (în procente): Raportul dintre frecvența absolută și numărul total de elemente, înmulțit cu 100.
- Poligonul frecvențelor: Linia frântă obținută prin unirea succesivă a punctelor ce reprezintă datele pe un grafic.
S-au centralizat notele obținute de 20 de elevi.
Pentru a afla frecvența procentuală a elevilor cu nota 8: \( \frac{8}{20} \cdot 100 = 40\% \).
| Nota | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Număr elevi (frecvența absolută) | 4 | 8 | 6 | 2 |
Exerciții
Ușoară: Determinați coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele \( A(-2, 5) \) și \( B(4, 1) \).
Aplicăm formulele pentru mijlocul segmentului:
\( x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( M(1, 3) \)
\( x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( M(1, 3) \)
Medie: Fie mulțimile \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 2\} \) și \( B = \{-1, 1\} \). Scrieți elementele produsului cartezian \( A \times B \) și calculați \( \text{card}(A \times B) \).
Identificăm elementele mulțimii \( A \): \( A = \{0, 1, 2\} \).
Formăm perechile ordonate cu primul element din \( A \) și al doilea din \( B \):
\( A \times B = \{(0, -1), (0, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -1), (2, 1)\} \).
Numărul de elemente este \( 3 \cdot 2 = 6 \).
Răspuns: \( \text{card}(A \times B) = 6 \)
Formăm perechile ordonate cu primul element din \( A \) și al doilea din \( B \):
\( A \times B = \{(0, -1), (0, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -1), (2, 1)\} \).
Numărul de elemente este \( 3 \cdot 2 = 6 \).
Răspuns: \( \text{card}(A \times B) = 6 \)
Dificilă: Într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \) se dau punctele \( A(0, 3) \), \( B(-4, 0) \) și \( C(4, 0) \). Calculați perimetrul triunghiului \( ABC \).
Calculăm lungimile laturilor folosind formula distanței:
Răspuns: Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( 18 \) (unități de măsură).
- \( AB = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8 \) (sau se poate observa direct că sunt pe axa \( Ox \), deci distanța este \( |-4| + |4| = 8 \))
Răspuns: Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( 18 \) (unități de măsură).
