Lecția IX.2 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( P = \{x \in \mathbb{N} \mid -2x + 4 \ge -5\} \)
\( -2x + 4 \ge -5 \)
\( -2x \ge -5 - 4 \)
\( -2x \ge -9 \mid : (-2) \)
\( x \le \frac{-9}{-2} \)
\( x \le 4,5 \)
Deoarece \( x \in \mathbb{N} \), rezultă \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
\( \text{card}(P) = 5 \)
Rezolvare detaliată
Pentru a afla cardinalul mulțimii \( P \), trebuie să determinăm numărul de elemente ale acesteia. Mulțimea este definită prin condiția ca \( x \) să fie un număr natural care satisface o inecuație.
Pasul 1: Rezolvarea inecuației
Pornim de la inecuația dată în definiția mulțimii: \[ -2x + 4 \ge -5 \] Mai întâi, izolăm termenul care conține pe \( x \) prin scăderea numărului \( 4 \) din ambele părți ale inegalității: \[ -2x \ge -5 - 4 \] \[ -2x \ge -9 \] Acum, trebuie să împărțim întreaga inegalitate la \( -2 \). Deoarece împărțim la un număr negativ, sensul inegalității se va schimba din \( \ge \) în \( \le \): \[ x \le \frac{-9}{-2} \] \[ x \le 4,5 \]Pasul 2: Determinarea elementelor mulțimii
Mulțimea \( P \) conține numerele care sunt simultan numere naturale (\( x \in \mathbb{N} \)) și respectă condiția \( x \le 4,5 \). Știm că mulțimea numerelor naturale este \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \). Elementele care sunt mai mici sau egale cu \( 4,5 \) sunt: \[ P = \{0, 1, 2, 3, 4\} \]Pasul 3: Calcularea cardinalului
Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul de elemente din acea mulțime. Numărând elementele găsite la pasul anterior: - Elementul 1: \( 0 \) - Elementul 2: \( 1 \) - Elementul 3: \( 2 \) - Elementul 4: \( 3 \) - Elementul 5: \( 4 \) Așadar, cardinalul mulțimii \( P \), notat \( \text{card}(P) \) sau \( |P| \), este \( 5 \).Rezolvare scurtă:
\( -2x + 4 \ge -5 \Rightarrow -2x \ge -9 \Rightarrow x \le 4,5 \)
\( x \in \mathbb{N} \Rightarrow P = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
\( \text{card}(P) = 5 \)
