IV.6. Recapitulăm Prin Probleme

Pasul 1: Proprietățile rombului și strategia de rezolvare

În orice romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Dacă notăm rombul cu \( ABCD \) și punctul de intersecție al diagonalelor cu \( O \), atunci diagonalele \( d_1 = AC \) și \( d_2 = BD \) formează patru triunghiuri dreptunghice congruente în jurul punctului \( O \). În oricare dintre aceste triunghiuri (de exemplu, \( \triangle AOB \)), catetele sunt jumătăți din diagonale: \[ AO = \frac{d_1}{2} \text{ și } BO = \frac{d_2}{2} \] Ipotenuza acestui triunghi este chiar latura rombului, pe care o vom nota cu \( l \). Conform Teoremei lui Pitagora: \[ l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \]

a) Lungimea laturii unui romb cu diagonalele de 4 cm și 6 cm

Pasul 2: Calcularea jumătăților diagonalelor

Avem diagonalele \( d_1 = 4 \text{ cm} \) și \( d_2 = 6 \text{ cm} \). Calculăm lungimile semidiagonalelor: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \] \[ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \]

Pasul 3: Aplicarea Teoremei lui Pitagora pentru a găsi latura

Aplicăm formula \( l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \): \[ l^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] Prin urmare, lungimea laturii este: \[ l = \sqrt{13} \text{ cm} \]

b) Lungimea diagonalei unui romb cu latura de 5 cm și cealaltă diagonală de 6 cm

Pasul 4: Identificarea datelor cunoscute

Cunoaștem latura \( l = 5 \text{ cm} \) și una dintre diagonale, \( d_1 = 6 \text{ cm} \). Trebuie să aflăm \( d_2 \). Calculăm mai întâi semidiagonala cunoscută: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \]

Pasul 5: Aplicarea Teoremei lui Pitagora pentru semidiagonala necunoscută

În triunghiul dreptunghic format, cunoaștem ipotenuza (latura) și o catetă (semidiagonala). Notăm semidiagonala necunoscută cu \( x = \frac{d_2}{2} \): \[ l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + x^2 \] \[ 5^2 = 3^2 + x^2 \] \[ 25 = 9 + x^2 \] \[ x^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ x = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \]

Pasul 6: Calcularea lungimii întregii diagonale

Deoarece \( x \) este doar jumătatea diagonalei, lungimea totală a celei de-a doua diagonale este: \[ d_2 = 2 \cdot x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \]

a)

\( l^2 = (\frac{4}{2})^2 + (\frac{6}{2})^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \implies l = \sqrt{13} \text{ cm} \)

b)

\( 5^2 = (\frac{6}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \implies 25 = 9 + (\frac{d_2}{2})^2 \implies (\frac{d_2}{2})^2 = 16 \implies \frac{d_2}{2} = 4 \implies d_2 = 8 \text{ cm} \)