IV.6. Recapitulăm Prin Probleme

Rezolvare: Pasul 1: Proprietățile rombului și strategia de rezolvare În orice romb, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Dacă notăm rombul cu \( ABCD \) și punctul de intersecție al diagonalelor cu \( O \), atunci diagonalele \( d_1 = AC \) și \( d_2 = BD \) formează patru triunghiuri dreptunghice congruente în jurul punctului \( O \). În oricare dintre aceste triunghiuri (de exemplu, \( \triangle AOB \)), catetele sunt jumătăți din diagonale: \[ AO = \frac{d_1}{2} \text{ și } BO = \frac{d_2}{2} \] Ipotenuza acestui triunghi este chiar latura rombului, pe care o vom nota cu \( l \). Conform Teoremei lui Pitagora: \[ l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \] a) Lungimea laturii unui romb cu diagonalele de 4 cm și 6 cm Pasul 2: Calcularea jumătăților diagonalelor Avem diagonalele \( d_1 = 4 \text{ cm} \) și \( d_2 = 6 \text{ cm} \). Calculăm lungimile semidiagonalelor: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm} \] \[ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \] Pasul 3: Aplicarea Teoremei lui Pitagora pentru a găsi latura Aplicăm formula \( l^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 \): \[ l^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] Prin urmare, lungimea laturii este: \[ l = \sqrt{13} \text{ cm} \] b) Lungimea diagonalei unui romb cu latura de 5 cm și cealaltă diagonală de 6 cm Pasul 4: Identificarea datelor cunoscute Cunoaștem latura \( l = 5 \text{ cm} \) și una dintre diagonale, \( d_1 = 6 \text{ cm} \). Trebuie să aflăm \( d_2 \). Calculăm mai întâi semidiagonala cunoscută: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ …