Cele mai importante aspecte ale lecției
Definiție: Unghiul înscris în cerc are vârful pe linia cercului și laturile secante acestuia.
Formula fundamentală: Măsura sa este jumătate din arcul tăiat. \( m(\angle \text{înscris}) = \frac{m(\text{arc})}{2} \). Exemplu: Un arc de \(60^\circ\) determină un unghi înscris de \(30^\circ\).
Caz particular: Dacă arcul este un semicerc (\(180^\circ\)), unghiul înscris este dreptunghi (\(90^\circ\)).
Interior / Exterior: Unghiul format de două secante în interiorul cercului folosește semisuma arcelor opuse. Unghiul din exterior folosește semidiferența arcelor cuprinse.
Formula fundamentală: Măsura sa este jumătate din arcul tăiat. \( m(\angle \text{înscris}) = \frac{m(\text{arc})}{2} \). Exemplu: Un arc de \(60^\circ\) determină un unghi înscris de \(30^\circ\).
Caz particular: Dacă arcul este un semicerc (\(180^\circ\)), unghiul înscris este dreptunghi (\(90^\circ\)).
Interior / Exterior: Unghiul format de două secante în interiorul cercului folosește semisuma arcelor opuse. Unghiul din exterior folosește semidiferența arcelor cuprinse.
Un unghi care are vârful pe un cerc și ale cărui laturi sunt secante cercului se numește unghi înscris în cerc.
Arc subîntins: este arcul de cerc cuprins între laturile unui unghi înscris în cerc.
Centrul cercului poate să se afle pe una dintre laturile unghiului, în interiorul său sau în exteriorul său, dar definiția rămâne valabilă.
Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.
Fie unghiul înscris \(\angle ABC\) și arcul subîntins \(\overset{\frown}{AC}\):
\[ m(\angle ABC) = \frac{1}{2} m(\overset{\frown}{AC}) \]
Deoarece unghiul la centru are măsura egală cu arcul subîntins, unghiul înscris va fi mereu la jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc: \(m(\angle ABC) = \frac{1}{2} m(\angle AOC)\).
Dacă arcul cuprins între laturile unghiului înscris are măsura de \(100^\circ\), atunci măsura unghiului va fi \(100^\circ : 2 = 50^\circ\).
Orice unghi înscris într-un semicerc (ale cărui laturi cuprind un diametru al cercului) este un unghi drept.
Dacă laturile subîntind un semicerc, arcul are \(180^\circ\). Aplicând teorema:
\[ m(\angle) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]
Unghi cu vârful în interiorul cercului: Măsura sa este egală cu semisuma dintre măsura arcului cuprins între laturile sale și măsura arcului cuprins între laturile unghiului opus la vârf.
Dacă două coarde \(AB\) și \(CD\) se intersectează în punctul \(P\) aflat în interiorul cercului:
\[ m(\angle APB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD})}{2} \]
Unghi cu vârful în exteriorul cercului: Măsura sa este egală cu modulul semidiferenței dintre măsurile arcelor cuprinse între laturile sale.
Dacă două secante duse din punctul exterior \(P\) taie cercul determinând arcele \(AB\) și \(CD\) între ele:
\[ m(\angle APB) = \frac{|m(\overset{\frown}{AB}) - m(\overset{\frown}{CD})|}{2} \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Un unghi înscris în cerc, \(\angle MNP\), are măsura de \(35^\circ\). Calculați măsura arcului de cerc \(MP\) subîntins de acest unghi.
Conform teoremei, unghiul înscris este jumătate din arcul subîntins:
\( m(\angle MNP) = \frac{m(\overset{\frown}{MP})}{2} \)
Înlocuind cu valoarea dată:
\( 35^\circ = \frac{m(\overset{\frown}{MP})}{2} \)
\( m(\overset{\frown}{MP}) = 35^\circ \cdot 2 = 70^\circ \).
\( m(\angle MNP) = \frac{m(\overset{\frown}{MP})}{2} \)
Înlocuind cu valoarea dată:
\( 35^\circ = \frac{m(\overset{\frown}{MP})}{2} \)
\( m(\overset{\frown}{MP}) = 35^\circ \cdot 2 = 70^\circ \).
Medie: Pe un cerc cu centrul \(O\) se consideră punctele \(A\), \(B\) și \(C\). Știind că unghiul la centru \(\angle AOC\) are măsura de \(130^\circ\), aflați măsura unghiului înscris \(\angle ABC\).
Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale:
\( m(\overset{\frown}{AC}) = m(\angle AOC) = 130^\circ \).
Unghiul \(\angle ABC\) este unghi înscris în cerc și subîntinde același arc \(AC\). Conform proprietății sale:
\( m(\angle ABC) = \frac{m(\overset{\frown}{AC})}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ \).
\( m(\overset{\frown}{AC}) = m(\angle AOC) = 130^\circ \).
Unghiul \(\angle ABC\) este unghi înscris în cerc și subîntinde același arc \(AC\). Conform proprietății sale:
\( m(\angle ABC) = \frac{m(\overset{\frown}{AC})}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ \).
Dificilă: Într-un cerc cu centrul \(O\), segmentul \(AB\) este diametru. Punctul \(C\) se află pe cerc astfel încât măsura arcului \(BC\) este de \(50^\circ\). Determinați măsura unghiurilor triunghiului \(ABC\).
1. Deoarece \(AB\) este diametru, unghiul \(\angle ACB\) este înscris într-un semicerc. Orice unghi înscris într-un semicerc este drept:
\( m(\angle ACB) = 90^\circ \).
2. Unghiul \(\angle BAC\) este înscris în cerc și subîntinde arcul \(BC\). Aplicăm formula unghiului înscris:
\( m(\angle BAC) = \frac{m(\overset{\frown}{BC})}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \).
3. Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este \(180^\circ\).
\( m(\angle ABC) = 180^\circ - (m(\angle ACB) + m(\angle BAC)) = 180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
Observație: Puteam afla \(\angle ABC\) știind că arcul semicerc are \(180^\circ\), deci arcul \(AC\) este \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\). Astfel \(m(\angle ABC) = 130^\circ : 2 = 65^\circ\).
\( m(\angle ACB) = 90^\circ \).
2. Unghiul \(\angle BAC\) este înscris în cerc și subîntinde arcul \(BC\). Aplicăm formula unghiului înscris:
\( m(\angle BAC) = \frac{m(\overset{\frown}{BC})}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \).
3. Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este \(180^\circ\).
\( m(\angle ABC) = 180^\circ - (m(\angle ACB) + m(\angle BAC)) = 180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
Observație: Puteam afla \(\angle ABC\) știind că arcul semicerc are \(180^\circ\), deci arcul \(AC\) este \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\). Astfel \(m(\angle ABC) = 130^\circ : 2 = 65^\circ\).
