Lecția VII.7 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( \begin{cases} 2x+y=4 \\ x+2y=5 \end{cases} \), \( (x, y) = (1, 2) \)
\( 2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4 \) (Adevărat)
\( 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \) (Adevărat)
Perechea \( (1, 2) \) este soluție.
b)
\( \begin{cases} 4x-y=2 \\ 3x+y=5 \end{cases} \), \( (x, y) = (1, 2) \)
\( 4 \cdot 1 - 2 = 4 - 2 = 2 \) (Adevărat)
\( 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5 \) (Adevărat)
Perechea \( (1, 2) \) este soluție.
c)
\( \begin{cases} y+4=6x \\ x+5=3y \end{cases} \), \( (x, y) = (1, 2) \)
\( 2 + 4 = 6 \); \( 6 \cdot 1 = 6 \implies 6 = 6 \) (Adevărat)
\( 1 + 5 = 6 \); \( 3 \cdot 2 = 6 \implies 6 = 6 \) (Adevărat)
Perechea \( (1, 2) \) este soluție.
Rezolvare detaliată
Pentru a verifica dacă o pereche de numere \( (x, y) = (1, 2) \) este soluție a unui sistem, trebuie să înlocuim \( x \) cu \( 1 \) și \( y \) cu \( 2 \) în ambele ecuații. Dacă ambele relații devin egalități adevărate, atunci perechea este soluție a sistemului.
a) Sistemul \( \begin{cases} 2x+y=4 \\ x+2y=5 \end{cases} \)
Pasul 1: Verificarea primei ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): \( 2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4 \). Deoarece \( 4 = 4 \), prima ecuație este verificată.Pasul 2: Verificarea celei de-a doua ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): \( 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \). Deoarece \( 5 = 5 \), a doua ecuație este verificată. Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea \( (1, 2) \) este soluție pentru sistemul a).b) Sistemul \( \begin{cases} 4x-y=2 \\ 3x+y=5 \end{cases} \)
Pasul 1: Verificarea primei ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): \( 4 \cdot 1 - 2 = 4 - 2 = 2 \). Deoarece \( 2 = 2 \), prima ecuație este verificată.Pasul 2: Verificarea celei de-a doua ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): \( 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5 \). Deoarece \( 5 = 5 \), a doua ecuație este verificată. Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea \( (1, 2) \) este soluție pentru sistemul b).c) Sistemul \( \begin{cases} y+4=6x \\ x+5=3y \end{cases} \)
Pasul 1: Verificarea primei ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): Membru stâng: \( y + 4 = 2 + 4 = 6 \). Membru drept: \( 6 \cdot x = 6 \cdot 1 = 6 \). Deoarece \( 6 = 6 \), prima ecuație este verificată.Pasul 2: Verificarea celei de-a doua ecuații
Înlocuim \( x = 1 \) și \( y = 2 \): Membru stâng: \( x + 5 = 1 + 5 = 6 \). Membru drept: \( 3 \cdot y = 3 \cdot 2 = 6 \). Deoarece \( 6 = 6 \), a doua ecuație este verificată. Ambele egalități sunt adevărate, deci perechea \( (1, 2) \) este soluție pentru sistemul c).Rezolvare scurtă:
a) \( 2(1)+2=4 \) și \( 1+2(2)=5 \implies (1, 2) \) este soluție.
b) \( 4(1)-2=2 \) și \( 3(1)+2=5 \implies (1, 2) \) este soluție.
c) \( 2+4=6(1) \) și \( 1+5=3(2) \implies (1, 2) \) este soluție.
