Cele mai importante aspecte ale lecției
Relația Paralelism - Proporționalitate:
\(\bullet\) Teorema lui Thales (Cauză \(\rightarrow\) Efect): Dacă avem paralele (\(MN \parallel BC\)), rezultă proporții matematice (\( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \)). Folosită pentru aflarea lungimilor unor segmente.
\(\bullet\) Reciproca lui Thales (Cauză \(\rightarrow\) Efect): Dacă rapoartele segmentelor sunt egale (\( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \)), atunci rezultă că dreptele sunt paralele (\(MN \parallel BC\)). Folosită pentru a demonstra paralelismul.
\(\bullet\) Teorema bisectoarei: Linia bisectoare din unghiul \( A \) taie baza \( BC \) în raport egal cu laturile laterale: \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).
\(\bullet\) Teorema lui Thales (Cauză \(\rightarrow\) Efect): Dacă avem paralele (\(MN \parallel BC\)), rezultă proporții matematice (\( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \)). Folosită pentru aflarea lungimilor unor segmente.
\(\bullet\) Reciproca lui Thales (Cauză \(\rightarrow\) Efect): Dacă rapoartele segmentelor sunt egale (\( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \)), atunci rezultă că dreptele sunt paralele (\(MN \parallel BC\)). Folosită pentru a demonstra paralelismul.
\(\bullet\) Teorema bisectoarei: Linia bisectoare din unghiul \( A \) taie baza \( BC \) în raport egal cu laturile laterale: \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \).
Punctul \( M \) împarte un segment \( AB \) în raportul \( \frac{p}{q} \) (unde \( p > 0, q > 0 \)) dacă punctul aparține segmentului și lungimile segmentelor formate sunt proporționale cu numerele date.
\[ M \in AB \Rightarrow \frac{AM}{p} = \frac{MB}{q} \]
*Aceasta înseamnă că lungimile segmentelor \( AM \) și \( MB \) sunt direct proporționale cu numerele \( p \), respectiv \( q \).
Punctul \( M \) aparține segmentului \( AB \) cu lungimea de 20 cm. Știind că \( M \) împarte segmentul în raportul \( \frac{2}{3} \), aflați lungimile segmentelor \( AM \) și \( MB \).
Avem proporția: \( \frac{AM}{2} = \frac{MB}{3} = k \), unde \( k \) este coeficientul de proporționalitate.
Rezultă că \( AM = 2k \) și \( MB = 3k \).
Deoarece \( M \in AB \), avem \( AM + MB = AB \), deci \( 2k + 3k = 20 \Rightarrow 5k = 20 \Rightarrow k = 4 \).
Prin urmare, \( AM = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \) și \( MB = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm} \).
Rezultă că \( AM = 2k \) și \( MB = 3k \).
Deoarece \( M \in AB \), avem \( AM + MB = AB \), deci \( 2k + 3k = 20 \Rightarrow 5k = 20 \Rightarrow k = 4 \).
Prin urmare, \( AM = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \) și \( MB = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm} \).
O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe dreptele determinate de acestea) segmente proporționale.
\[ \text{În } \triangle ABC, M \in AB, N \in AC \text{ și } MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Din proporția de bază, se pot obține, prin proprietățile proporțiilor, alte forme foarte utile în rezolvarea problemelor:
- Raportul părții de sus la toată latura: \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)
- Raportul părții de jos la toată latura: \( \frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC} \)
În triunghiul \( ABC \), ducem \( MN \parallel BC \) (\( M \in AB, N \in AC \)). Știind că \( AM = 6 \text{ cm} \), \( MB = 4 \text{ cm} \) și \( AC = 15 \text{ cm} \), aflați \( AN \) și \( NC \).
Folosind proporția derivată față de toată latura:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]
Calculăm latura întreagă \( AB = AM + MB = 6 + 4 = 10 \text{ cm} \).
Înlocuim în proporție:
\[ \frac{6}{10} = \frac{AN}{15} \Rightarrow AN = \frac{6 \cdot 15}{10} = \frac{90}{10} = 9 \text{ cm} \]
Cum \( AC = AN + NC \Rightarrow NC = 15 - 9 = 6 \text{ cm} \).
Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi (sau pe dreptele determinate de acestea) segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu a treia latură a triunghiului.
\[ \text{În } \triangle ABC, M \in AB, N \in AC, \text{ dacă } \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BC \]
Această teoremă este folosită exclusiv pentru a demonstra că două drepte sunt paralele. Calculați rapoartele separat; dacă rezultatele sunt egale, dreptele sunt paralele.
Fie triunghiul \( ABC \) și punctele \( E \in AB \), \( F \in AC \). Știind că \( AE = 2 \text{ cm} \), \( EB = 5 \text{ cm} \), \( AF = 4 \text{ cm} \) și \( FC = 10 \text{ cm} \), stabiliți dacă \( EF \parallel BC \).
Calculăm separat cele două rapoarte:
\( \frac{AE}{EB} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{AF}{FC} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) (după simplificare cu 2)
Deoarece \( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \), conform Reciprocei Teoremei lui Thales, rezultă că \( EF \parallel BC \).
\( \frac{AE}{EB} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{AF}{FC} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) (după simplificare cu 2)
Deoarece \( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \), conform Reciprocei Teoremei lui Thales, rezultă că \( EF \parallel BC \).
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
\[ \text{Dacă } AD \text{ este bisectoarea unghiului } \angle A \Rightarrow \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
În triunghiul \( ABC \) cu \( AB = 12 \text{ cm} \) și \( AC = 16 \text{ cm} \), \( AD \) este bisectoarea unghiului \( A \) (\( D \in BC \)). Dacă \( BC = 14 \text{ cm} \), aflați lungimile segmentelor \( BD \) și \( DC \).
Conform teoremei bisectoarei:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{BD}{DC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]
Aplicăm proprietăți ale proporțiilor (adunăm numărătorul la numitor):
\[ \frac{BD}{BD + DC} = \frac{3}{3 + 4} \Rightarrow \frac{BD}{BC} = \frac{3}{7} \]
\[ \frac{BD}{14} = \frac{3}{7} \Rightarrow BD = \frac{14 \cdot 3}{7} = 6 \text{ cm} \]
Astfel, \( DC = BC - BD = 14 - 6 = 8 \text{ cm} \).
Se spune că un punct \( M \) determină pe un segment \( AB \) proporția de aur dacă raportul dintre întregul segment și partea mai mare este egal cu raportul dintre partea mai mare și partea mai mică.
\[ \frac{AB}{AM} = \frac{AM}{MB} = \phi \]
Numărul de aur \( \phi \) (phi) este un număr irațional cu valoarea \( \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618 \).
Probleme propuse
Ușoară: În triunghiul \( ABC \), se consideră punctele \( M \in AB \) și \( N \in AC \) astfel încât \( MN \parallel BC \). Știind că \( \frac{AM}{MB} = \frac{3}{5} \) și \( AN = 6 \text{ cm} \), calculați lungimea segmentului \( NC \).
Deoarece \( MN \parallel BC \), aplicăm Teorema lui Thales:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Înlocuim datele cunoscute:
\[ \frac{3}{5} = \frac{6}{NC} \Rightarrow 3 \cdot NC = 5 \cdot 6 \Rightarrow 3 \cdot NC = 30 \]
\[ NC = 10 \text{ cm} \]
Medie: Fie triunghiul \( MNP \) și punctele \( R \in MN \) și \( S \in MP \). Se dau următoarele lungimi: \( MN = 12 \text{ cm} \), \( MR = 4 \text{ cm} \), \( MP = 15 \text{ cm} \) și \( SP = 10 \text{ cm} \). Demonstrați că dreptele \( RS \) și \( NP \) sunt paralele.
Pentru a demonstra paralelismul, vom folosi Reciproca Teoremei lui Thales, dar avem nevoie de lungimile segmentelor de pe laturi.\(\)
Aflăm lungimile segmentelor lipsă:
\( RN = MN - MR = 12 - 4 = 8 \text{ cm} \)
\( MS = MP - SP = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \)
Calculăm rapoartele:
\( \frac{MR}{RN} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{MS}{SP} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Deoarece \( \frac{MR}{RN} = \frac{MS}{SP} \), conform Reciprocei Teoremei lui Thales, obținem că \( RS \parallel NP \).
\( RN = MN - MR = 12 - 4 = 8 \text{ cm} \)
\( MS = MP - SP = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \)
Calculăm rapoartele:
\( \frac{MR}{RN} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{MS}{SP} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Deoarece \( \frac{MR}{RN} = \frac{MS}{SP} \), conform Reciprocei Teoremei lui Thales, obținem că \( RS \parallel NP \).
Dificilă: În triunghiul \( ABC \), pe laturile \( AB \) și \( AC \) se iau punctele \( D \), respectiv \( E \), astfel încât \( DE \parallel BC \). Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Segmentul \( AM \) intersectează pe \( DE \) în punctul \( N \). Demonstrați că \( N \) este mijlocul segmentului \( DE \).
Pasul 1: În triunghiul \( ABM \), avem \( DN \parallel BM \) (deoarece \( DE \parallel BC \)). Aplicând o formă derivată a Teoremei lui Thales, obținem:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{DN}{BM} \]
Pasul 2: În triunghiul \( ACM \), avem \( NE \parallel MC \). Similar, obținem:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{NE}{MC} \]
Pasul 3: În triunghiul mare \( ABC \), \( DE \parallel BC \), deci din Teorema lui Thales avem:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]
Pasul 4: Din relațiile de mai sus rezultă că:
\[ \frac{DN}{BM} = \frac{NE}{MC} \]
Deoarece \( M \) este mijlocul lui \( BC \), știm că \( BM = MC \). Dacă numitorii fracțiilor egale sunt egali, atunci și numărătorii trebuie să fie egali.
Prin urmare, \( DN = NE \), ceea ce înseamnă că \( N \) este mijlocul segmentului \( DE \).
